要旨

本稿はフルーリオ解析学第六論文から第十論文の「Frourio チャネル × 変分理論 × Ward 同一性」を 非可換（行列値）対称へ拡張し，ゲージ化 Frourio 解析を構成する。主成果は：

1. Hilbert 束・ゲージ接続に基づく 共変 Frourio チャネル ${\mathcal{T}}^A=M_m^A{C}_{\nu }^A$ の定式化（可逆部 $m(\tau )\in U(d)$，Markov 混合 $\nu$）
2. 行列値の場合のスカラー化規約（Hilbert–Schmidt/トレース内積）に基づく ゲージ不変複合指標 ${\mathcal{C}}_{\Phi }=\alpha {\mathsf{R}\acute{\mathsf{e}}\mathsf{nyi}}_2+\beta {\mathrm{W}}_{\delta }+\gamma {\mathcal{D}}_{\sigma }$
3. 非可換 Noether–Ward（弱形式）：Ward 流束に ad（交換子）項を分離し，平坦接続で消失
4. 曲率下の安定（非可換 Bakry–Émery）：${\Gamma }_2^A⪰\lambda {\Gamma }^A\Rightarrow$ LSI，$T_2$，Noether 量の指数減衰 $\boxed{|Q_X(f_t)|\le e^{-\lambda t}|Q_X(f_0)|}$
5. Γ-収束（ゲージ化）：連続/離散 Ward・減衰定数の下方半連続性（誤差はフレーム比＋曲率・ホロノミーにのみ依存）
6. Bianchi 同一性と Chern 数（$\theta$–$\tau$ 二次元トーラス），および等号剛性の分類

0. 規約・正則化・内積（行列値の場合のスカラー化）

• 基準測度：エントロピーは Lebesgue 版 ${\mathsf{R}\acute{\mathsf{e}}\mathsf{nyi}}_2(p)=-\log \int p^{2}d\tau$。曲率（OU）を扱う節では ${\mu }_{\lambda }(d\tau )\propto e^{-\lambda {\tau }^2/2}d\tau$ に切替え ${\mathsf{R}\acute{\mathsf{e}}\mathsf{nyi}}_2^{({\mu }_{\lambda })}$ を用いる。以降，各節の $\Vert \cdot {\Vert }_2$・内積はその節の基準に従う。

• 行列値のスカラー化（HS/Tr 規約）：$\hat{f}(\tau )\in {\mathbb{C}}^{d\times d}$ とし

  $p_f(\tau ):=\frac{\mathrm{Tr}({\hat{f}}^{†}\hat{f})}{\frac{1}{2\pi }\int \mathrm{Tr}({\hat{f}}^{†}\hat{f})d\tau },⟨A,B{⟩}_{\mathrm{HS}}:=\Re \mathrm{Tr}(A^{†}B).$

  Noether 量は

  $\boxed{Q_X(f):=\int ⟨\frac{\delta {\mathcal{C}}_{\Phi }}{\delta f}(f),X\cdot f{⟩}_{\mathrm{HS}}d\mu }\in \mathbb{R}.$

• 幅の微分可能化：${\mathrm{W}}_{\delta ,\epsilon }(f)=\int {\chi }_{\epsilon }(|{\mathcal{M}}_w[f]|-\delta )d\tau$（滑らか Heaviside 近似）。$\epsilon \downarrow 0$ の BV 極限で回収（第八論文と第九論文）。

• 混合のノルム：複素有限測度 $\Vert \nu {\Vert }_{TV}$（全変動ノルム）。曲率・LSI を用いる節は 確率核（$\int \nu =1$）に限定。

• 可逆部：$m(\tau )\in U(d)$（$m^{†}m=I$）。

• PSD 順序：$\mathcal{A}⪰\mathcal{B}$ は $⟨v,(\mathcal{A}-\mathcal{B})v{⟩}_{\mathrm{HS}}\ge 0$（全ての $v$）の意。

• 並進輸送子の記号：Mellin の $U_{\sigma }$ と衝突を避け，ゲージ並進輸送は ${\mathcal{U}}^A$ と書く。

• Noether 減衰の符号：指数減衰の結論は絶対値/二乗で記述する（下 §3）。

1. Hilbert 束・ゲージ接続と曲率

1.1 束と接続

$\pi :\mathcal{H}\to {\mathbb{T}}_a\times \mathbb{R},{\mathcal{H}}_{(\theta ,\tau )}\cong {\mathbb{C}}^d,$

ゲージ群 $g(\theta ,\tau )\in U(d)$。共変微分

$D_{\theta }:={\partial }_{\theta }+\mathrm{ad}(A_{\theta }),D_{\tau }:={\partial }_{\tau }+\mathrm{ad}(A_{\tau }),A_{\bullet }\in L^{\infty }(\mathfrak{u}(d)).$

曲率

$\boxed{F_{\theta \tau }={\partial }_{\theta }{A}_{\tau }-{\partial }_{\tau }{A}_{\theta }+[A_{\theta },A_{\tau }]}.$

パス順序積：${\mathcal{U}}^A(\tau \leftarrow \tau -s):=\mathcal{P}\exp \left({\int }_{\tau -s}^{\tau }{A}_{\zeta }d\zeta \right)$（向きを固定；$A\in L^{\infty }$ なら a.e. well-defined）。

1.2 離散殻の差分接続

前進差分で定義：

$D_{n}c(n):=\mathrm{Ad}(e^{B_n})c(n+1)-c(n),F_{ab}:=[D_a,D_b](a,b\in \theta ,\tau ,n).$

2. 共変 Frourio チャネルと複合指標

2.1 共変チャネル

周波数側（Mellin 側）で

$(M_m^{A}f)\hat{}(\tau )=\mathrm{Ad}({\mathcal{U}}^A(\tau \leftarrow \tau ))m(\tau )\hat{f}(\tau )=m(\tau )\hat{f}(\tau ),$

$(C_{\nu }^{A}f)\hat{}(\tau )=\int \mathrm{Ad}({\mathcal{U}}^A(\tau \leftarrow \tau -s))\hat{f}(\tau -s)d\nu (s).$

2.2 複合指標

$\boxed{{\mathcal{C}}_{\Phi }(f)=\alpha {\mathsf{R}\acute{\mathsf{e}}\mathsf{nyi}}_2(p_f)+\beta {\mathrm{W}}_{\delta }(f)+\gamma {\mathcal{D}}_{\sigma }(f)}.$

Noether 量は §0 の HS/Tr 規約で定義。平行移動では STMT 等変性により ${\mathrm{W}}_{\delta }$ は厳密不変。

3. 非可換 Noether と Ward（弱形式）

3.1 Noether（保存と散逸）

定理 3.1（保存；可逆部）

${\mathcal{T}}^A=M_m^A$ で $m(\tau )\in U(d)$・接続が平坦（可逆）・${\mathcal{C}}_{\Phi }$ が群 $G$ に不変なら，最小作用曲線 $f_t$ に沿い $Q_X(f_t)$ は保存。

定理 3.2（散逸付き Noether；CD $(\lambda ,\infty )$）

Markov 正規化（$\int \nu =1$）かつ随伴表現で ${\Gamma }_2^A⪰\lambda {\Gamma }^A$。任意の生成子 $X$ について

$\frac{d}{dt}{Q}_X(f_t)=-{\mathcal{R}}_X(f_t),{\mathcal{R}}_X⪰\lambda {\mathcal{Q}}_X⪰0,$

$\boxed{|Q_X(f_t)|\le e^{-\lambda t}|Q_X(f_0)|}\text{（同値に }{Q}_X(f_t{)}^2\le e^{-2\lambda t}{Q}_X(f_0{)}^2\text{）}.$

例（OU × 平行移動）：$Q_{X_{\mathrm{tr}}}(t)=\int \tau q_{t}d{\mu }_{\lambda }$ は $\dot{Q}=-\lambda Q$（鋭い）。

3.2 Ward 同一性（連続・弱形式）

任意の $\phi \in C_c^{\infty }(\mathbb{R})$ に対し

$\boxed{⟨\frac{\delta {\mathcal{C}}_{\Phi }}{\delta p}(p)\phi ,X\cdot p⟩=⟨{\mathfrak{W}}_X^A[p],{\partial }_{\tau }\phi ⟩+⟨{\mathfrak{K}}_X^A[p],\phi ⟩}$

流束（平行移動の明示例）

${\mathfrak{W}}_{X_{\mathrm{tr}}}^A[p]=\alpha \frac{\delta {\mathsf{R}\acute{\mathsf{e}}\mathsf{nyi}}_2}{\delta p}p+\beta \frac{\delta {\mathrm{W}}_{\delta ,\epsilon }}{\delta p}p+\gamma \frac{\delta {\mathcal{D}}_{\sigma }}{\delta p}p.$

ad 項の一例（交換子起源）：

${\mathfrak{K}}_X^A[p]=-⟨J_X(p),\mathrm{ad}(A_{\tau })\cdot ⟩,J_X(p):=\alpha \frac{\delta {\mathsf{R}\acute{\mathsf{e}}\mathsf{nyi}}_2}{\delta p}p+\cdots$

平坦接続（$A_{\tau }=0$）や $[A_{\tau },J_X]=0$ で消える。

3.3 Ward（離散）

差分演算 ${\nabla }_{d}u(n)=u(n+1)-u(n)$, ${\mathrm{div}}_{d}J(n)=J(n)-J(n-1)$ により

$\boxed{⟨\frac{\delta {\mathcal{C}}_{\Phi }}{\delta c}\phi ,X\cdot c⟩=⟨{\mathfrak{W}}_X^A[c],{\mathrm{div}}_d\phi ⟩+⟨{\mathfrak{K}}_X^A[c],\phi ⟩.}$

4. Bianchi 同一性とトポロジカル量

定理 4.1（Bianchi）

$D_{\theta }{F}_{\tau \theta }+D_{\tau }{F}_{\theta \tau }=0,D_n{F}_{\theta \tau }+D_{\theta }{F}_{\tau n}+D_{\tau }{F}_{n\theta }=0.$

Chern 数（$\tau$ を周期化し ${\mathbb{T}}_{\tau }$ を導入）：

$\boxed{\frac{1}{2\pi i}{\iint }_{{\mathbb{T}}_a\times {\mathbb{T}}_{\tau }}\mathrm{Tr}{F}_{\theta \tau }d\theta d\tau \in \mathbb{Z}}.$

（$\theta ,\tau$ の 2 変数のみでは 3 形式 $d_{A}F$ は自明化；離散方向 $n$ を含めた混在式では非自明化。）

5. 曲率下の安定（非可換 Bakry–Émery）

仮定（CD $(\lambda ,\infty )$；随伴表示）：${\Gamma }_2^A⪰\lambda {\Gamma }^A$（${\Gamma }^A$ は $D_{\tau }$ による carré-du-champ の随伴持ち上げ）。 スコープ：本稿の LSI/SG は HS スカラー化した古典密度に適用（繊維ごと可換化される場合を十分条件とする）。量子的 LSI（Carlen–Maas 型）は射程外とする。

定理 5.1（LSI・Talagrand・Noether 減衰）

1. LSI：$\mathrm{Ent}(q)\le \frac{1}{2\lambda }\int \frac{\Vert D_{\tau }q{\Vert }_{\mathrm{HS}}^2}{q}d{\mu }_{\lambda }$
2. $T_2(\lambda )$：$W_2^2(q,{\mu }_{\lambda })\le \frac{2}{\lambda }\mathrm{Ent}(q)$
3. 任意の $X$ で $|Q_X(t)|\le e^{-\lambda t}|Q_X(0)|$

6. アノマリー（対称の破れ）の評価

定理 6.1（破れの上界）

$|{\dot{Q}}_X+{\mathcal{R}}_X|\le c_1\Vert [X,m]{\Vert }_{L^{\infty }}\Vert p{\Vert }_2^2+c_2\Vert \nu {\Vert }_{TV}\Vert [X,\mathrm{Hol}]{\Vert }_{\mathrm{op}},$

$\mathrm{Hol}={\mathcal{U}}^A(\tau \leftarrow \tau -s)$ は $\tau$ 並進のホロノミー。可換核・平坦接続で右辺 0（対称保護）。

7. Γ-収束（ゲージ化）

定理 7.1（Ward と定数の安定）

ゲージ化 Zak–Mellin 離散化に対し

• (liminf) 連続 Ward 左辺 $\le$ 離散 Ward の $\mathrm{liminf}$
• (recovery) 連続曲線のサンプリングで $\mathrm{limsup}$ 一致

誤差定数 は フレーム比 $B/A$ と $\Vert F{\Vert }_{L^{\infty }}$, $\Vert \mathrm{Hol}{\Vert }_{\mathrm{op}}$ にのみ依存（第十論文と第七論文の枠組みと整合）。

8. 等号剛性と設計指針

• 保存側：平坦接続 $F\equiv 0$，$[X,m]=0$，$\nu ={\delta }_0$ ⇒ Ward 等号
• 散逸側：OU でガウス不変族（平均・分散のみ可動）に等号；定曲率・可換核で指数減衰が鋭い
• SP（対称保護）設計：$[X,m]=0$ を満たす核設計/$\Vert F{\Vert }_{\infty }$・$\Vert \mathrm{Hol}\Vert$ の最小化/離散では $\mathrm{Ad}(e^{B_n})$ の定数化で Γ 誤差を抑制

付録

A. 幅 ${\mathrm{W}}_{\delta }$ の正則化と BV 極限

${\mathrm{W}}_{\delta ,\epsilon }$ の Gâteaux 微分は ${\chi }_{\epsilon }^{\prime }$ と共変 STMT の導関数の連鎖で与えられる。第九論文の下半連続性により $\epsilon \downarrow 0$ で BV 意味に収束。

B. エネルギー項の汎関数微分（重み経由）

$r_f(\tau ):=\frac{|U_{\sigma -1}f(\tau ){|}^2}{\frac{1}{2\pi }\int |U_{\sigma -1}f{|}^2},\frac{\delta {\mathcal{D}}_{\sigma }}{\delta r_f}(\tau )=|S_{-(\sigma +i\tau )}{|}^2-\int |S_{-(\sigma +is)}{|}^2{r}_f(s)ds.$

$\delta {\mathcal{D}}_{\sigma }/\delta p$ は連鎖で $p\mapsto r_f$ に写して評価（第八論文と第九論文に整合）。

C. 離散差分の弱形式

${\nabla }_{d}u(n)=u(n+1)-u(n)$, ${\mathrm{div}}_{d}J(n)=J(n)-J(n-1)$。内積は ${\ell }^2$ で評価。

D. パス順序積の可測性

$\mathcal{P}\exp \left({\int }_{{\tau }_0}^{{\tau }_1}{A}_{\zeta }d\zeta \right)$ は $A\in L^{\infty }$ で a.e. 定義可能（標準 ODE 理論に従う）。向きは $({\tau }_0\to {\tau }_1)$ に固定。

参考文献

ゲージ理論・接続・曲率

[1] Yang, C.N., & Mills, R.L. (1954). Conservation of isotopic spin and isotopic gauge invariance. Physical Review, 96(1), 191-195.

[2] Kobayashi, S., & Nomizu, K. (1963, 1969). Foundations of Differential Geometry, Vol. I & II. Interscience Publishers.

[3] Atiyah, M.F. (1979). Geometry of Yang-Mills Fields. Lezioni Fermiane. Accademia Nazionale dei Lincei & Scuola Normale Superiore, Pisa.

[4] Nakahara, M. (2003). Geometry, Topology and Physics (2nd ed.). Graduate Student Series in Physics. Institute of Physics Publishing.

[5] Bleecker, D. (1981). Gauge Theory and Variational Principles. Dover Publications.

[6] Baez, J., & Muniain, J.P. (1994). Gauge Fields, Knots and Gravity. Series on Knots and Everything, vol. 4. World Scientific.

Bianchi恒等式

[7] Bianchi, L. (1902). Sui simboli a quattro indici e sulla curvatura di Riemann. Rendiconti della Accademia Nazionale dei Lincei, 11, 3-7.

[8] Cartan, É. (1923). Sur les variétés à connexion affine et la théorie de la relativité généralisée. Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure, 40, 325-412.

[9] Chern, S.S. (1944). A simple intrinsic proof of the Gauss-Bonnet formula for closed Riemannian manifolds. Annals of Mathematics, 45(4), 747-752.

Chern類・トポロジカル不変量

[10] Chern, S.S. (1946). Characteristic classes of Hermitian manifolds. Annals of Mathematics, 47(1), 85-121.

[11] Milnor, J.W., & Stasheff, J.D. (1974). Characteristic Classes. Annals of Mathematics Studies, vol. 76. Princeton University Press.

[12] Eguchi, T., Gilkey, P.B., & Hanson, A.J. (1980). Gravitation, gauge theories and differential geometry. Physics Reports, 66(6), 213-393.

Ward-Takahashi恒等式（非可換版）

[13] Ward, J.C. (1950). An identity in quantum electrodynamics. Physical Review, 78(2), 182.

[14] Takahashi, Y. (1957). On the generalized Ward identity. Il Nuovo Cimento, 6(2), 371-375.

[15] Slavnov, A.A. (1972). Ward identities in gauge theories. Theoretical and Mathematical Physics, 10(2), 99-104.

[16] Taylor, J.C. (1971). Ward identities and charge renormalization of the Yang-Mills field. Nuclear Physics B, 33(2), 436-444.

Bakry-Émery理論（非可換拡張）

[17] Bakry, D., & Émery, M. (1985). Diffusions hypercontractives. In Séminaire de Probabilités XIX, Lecture Notes in Mathematics, vol. 1123, pp. 177-206. Springer.

[18] Bakry, D., Gentil, I., & Ledoux, M. (2014). Analysis and Geometry of Markov Diffusion Operators. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, vol. 348. Springer.

[19] Carlen, E.A., & Maas, J. (2014). An analog of the 2-Wasserstein metric in non-commutative probability under which the fermionic Fokker-Planck equation is gradient flow for the entropy. Communications in Mathematical Physics, 331(3), 887-926.

[20] Carlen, E.A., & Maas, J. (2017). Gradient flow and entropy inequalities for quantum Markov semigroups with detailed balance. Journal of Functional Analysis, 273(5), 1810-1869.

対数Sobolev不等式（LSI）

[21] Gross, L. (1975). Logarithmic Sobolev inequalities. American Journal of Mathematics, 97(4), 1061-1083.

[22] Gross, L. (1993). Logarithmic Sobolev inequalities and contractivity properties of semigroups. In Dirichlet Forms, Lecture Notes in Mathematics, vol. 1563, pp. 54-88. Springer.

最適輸送理論

[23] Otto, F., & Villani, C. (2000). Generalization of an inequality by Talagrand and links with the logarithmic Sobolev inequality. Journal of Functional Analysis, 173(2), 361-400.

[24] Villani, C. (2009). Optimal Transport: Old and New. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, vol. 338. Springer.

パス順序積・ホロノミー

[25] Wilson, K.G. (1974). Confinement of quarks. Physical Review D, 10(8), 2445-2459.

[26] Dyson, F.J. (1949). The radiation theories of Tomonaga, Schwinger, and Feynman. Physical Review, 75(3), 486-502.

[27] Magnus, W. (1954). On the exponential solution of differential equations for a linear operator. Communications on Pure and Applied Mathematics, 7(4), 649-673.

格子ゲージ理論

[28] Kogut, J., & Susskind, L. (1975). Hamiltonian formulation of Wilson's lattice gauge theories. Physical Review D, 11(2), 395-408.

[29] Creutz, M. (1983). Quarks, Gluons and Lattices. Cambridge Monographs on Mathematical Physics. Cambridge University Press.

[30] Rothe, H.J. (2012). Lattice Gauge Theories: An Introduction (4th ed.). World Scientific Lecture Notes in Physics, vol. 82. World Scientific.

離散勾配流

[31] Erbar, M., & Maas, J. (2012). Ricci curvature of finite Markov chains via convexity of the entropy. Archive for Rational Mechanics and Analysis, 206(3), 997-1038.

[32] Maas, J. (2011). Gradient flows of the entropy for finite Markov chains. Journal of Functional Analysis, 261(8), 2250-2292.

Γ-収束理論

[33] Dal Maso, G. (1993). An Introduction to Γ-Convergence. Progress in Nonlinear Differential Equations and Their Applications, vol. 8. Birkhäuser.

[34] Braides, A. (2002). Γ-Convergence for Beginners. Oxford Lecture Series in Mathematics and Its Applications, vol. 22. Oxford University Press.

半群理論

[35] Pazy, A. (1983). Semigroups of Linear Operators and Applications to Partial Differential Equations. Applied Mathematical Sciences, vol. 44. Springer.

Young不等式・Hölder不等式

[36] Grafakos, L. (2014). Classical Fourier Analysis (3rd ed.). Graduate Texts in Mathematics, vol. 249. Springer.

アノマリー

[37] Adler, S.L. (1969). Axial-vector vertex in spinor electrodynamics. Physical Review, 177(5), 2426-2438.

[38] Bell, J.S., & Jackiw, R. (1969). A PCAC puzzle: π⁰→γγ in the σ-model. Il Nuovo Cimento A, 60(1), 47-61.

[39] Fujikawa, K. (1979). Path-integral measure for gauge-invariant fermion theories. Physical Review Letters, 42(18), 1195-1198.

Hilbert束・ファイバー束

[40] Husemoller, D. (1994). Fibre Bundles (3rd ed.). Graduate Texts in Mathematics, vol. 20. Springer.

[41] Steenrod, N. (1951). The Topology of Fibre Bundles. Princeton Mathematical Series, vol. 14. Princeton University Press.

行列値関数・Hilbert-Schmidt内積

[42] Simon, B. (2005). Trace Ideals and Their Applications (2nd ed.). Mathematical Surveys and Monographs, vol. 120. American Mathematical Society.

[43] Reed, M., & Simon, B. (1972). Methods of Modern Mathematical Physics I: Functional Analysis. Academic Press.

結語

本稿は，非可換対称/ゲージを取り込み，Noether—Ward—Bianchi—曲率安定の 統一骨格を完成させた。連続・離散・対称・散逸の二相は，設計指針として運用可能である。