要旨

フルーリオ解析学の第六論文から第九論文で確立した Frourio チャネル（決定的乗算 $M_m$ と混合畳み込み $C_{\nu }$ の合成）と 再パラ不変 BV 作用の枠組みの上に，対称＝保存／曲率下＝散逸という Noether 型法則と，連続–離散を貫く Ward 同一性を構成する。主成果はつぎの 4 点：

1. Frourio–Noether 第1定理（可逆部）：${\mathcal{C}}_{\Phi }=\alpha {\mathsf{R}\acute{\mathsf{e}}\mathsf{nyi}}_2+\beta {\mathrm{W}}_{\delta }+\gamma {\mathcal{D}}_{\sigma }$ が連続群 $G$ に不変なら，最小作用曲線上で Noether 量

   $\boxed{Q_X(f):=⟨\frac{\delta {\mathcal{C}}_{\Phi }}{\delta f}(f),X\cdot f⟩}$

   は保存（幅は滑らか近似 ${\mathrm{W}}_{\delta ,\epsilon }$ を経由し BV 極限で回収）。

2. Frourio–Noether 第2定理（散逸付き）：Bakry–Émery 曲率 CD $(\lambda ,\infty )$ を満たす OU 正規化の下では $Q_X$ が指数減衰（Noether–Dissipation）。平行移動生成子では $\dot{Q}=-\lambda Q$ が鋭い。

3. Ward 同一性（連続・離散）：連続の弱形式 Ward を Zak–Mellin 繊維（離散差分 Ward）へ移し，Γ-収束で極限恒等式と減衰定数の下方半連続を保証。

4. Talagrand（輸送–エントロピー）を Noether 的に再解釈：IX の LSI ⇒ $T_2(\lambda )$ を Noether–Dissipation の時間積分版として位置付ける。

0. 予備・規約（VIII–IX と整合）

• ヒルベルト空間 $H_{\sigma }$，Mellin 等長 $U_{\sigma }$，エネルギー ${\mathcal{D}}_{\sigma }$，STMT（ガウス窓 $w_{\eta }$）。

• Rényi-2（Lebesgue 基準）：${\mathsf{R}\acute{\mathsf{e}}\mathsf{nyi}}_2(f):=-\log {\int }_{\mathbb{R}}{p}_f(\tau {)}^{2}d\tau$（$p_f\propto |U_{\sigma }f{|}^2$）。
  OU 節では 基準を ${\mu }_{\lambda }(d\tau )\propto e^{-\frac{\lambda }{2}{\tau }^2}d\tau$ に替え，${\mathsf{R}\acute{\mathsf{e}}\mathsf{nyi}}_2^{({\mu }_{\lambda })}(q):=-\log \int q^{2}d{\mu }_{\lambda }$ を用いる。以後，内積・ノルム $⟨\cdot ,\cdot ⟩,\Vert \cdot {\Vert }_2$ は各節で明記の基準測度に従う。

• 正規化幅：${\mathrm{W}}_{\delta }(f)=\mathrm{meas}\{\tau :|{\mathcal{M}}_w[f](\sigma +i\tau ;\xi )|\ge \delta \}$。微分は直接行わず，滑らか近似

  ${\mathrm{W}}_{\delta ,\epsilon }(f):=\int {\chi }_{\epsilon }(|{\mathcal{M}}_w[f]|-\delta )d\tau$

  で行い，$\epsilon \downarrow 0$ の BV 極限で回収（VIII–IX の下半連続性）。

• 作用（BV 版）：${\mathcal{S}}_{\mathrm{BV}}(f_{\cdot })={\mathrm{Var}}_{[0,1]}({\mathcal{C}}_{\Phi }(f_t))$（再パラ不変）。

• チャネル：$\mathcal{T}=M_m{C}_{\nu }$。混合は複素有限測度 $\nu$ の全変動ノルム $\Vert \nu {\Vert }_{TV}$ を用いる（関数の $L^1$ と混同しない）。曲率・収束を扱う節では 確率核（$\int \nu =1$）に限定。

• Zak–Mellin：${\mathbb{T}}_a=[0,2\pi /\log a]$ で 未正規化の $d\theta$。Haar 平均は $(\log a/2\pi ){\int }_{{\mathbb{T}}_a}\cdot d\theta$。

• 幅と平行移動：固定窓 $(w,\xi )$ の下で $\tau$-平行移動は STMT の等変性により ${\mathrm{W}}_{\delta }$ を厳密不変に保つ。

1. 対称群・生成子・Noether 量

1.1 対称の例

• 位相 $U(1)$：$|m|\equiv 1$。

• $\tau$-平行移動：$S_h:F(\tau )\mapsto F(\tau +h)$（実空間は $x^{ih}$ 乗）。

• 対数スケール：$\tau \mapsto c\tau$。

  • (A) 真の対称：密度の押し出し・基準測度・STMT 窓幅を同時再スケールして ${\mathcal{C}}_{\Phi }$ を不変化
  • (B) 準対称：${\mathcal{C}}_{\Phi }$ は厳密不変でなく，Noether–Dissipation の事例へ（OU 曲率 $\lambda$ が破れ強度）

1.2 Noether 量の標準定義

$\boxed{Q_X(f):=⟨\frac{\delta {\mathcal{C}}_{\Phi }}{\delta f}(f),X\cdot f⟩}$

幅は ${\mathrm{W}}_{\delta ,\epsilon }$ 経由の汎関数微分で扱い，$\epsilon \downarrow 0$ で BV 意味に回収。これにより「原始 $\mathcal{J}$ 依存」の曖昧さは消失。

具体例

• 位相：$X_{\mathrm{ph}}\cdot f=if$。${\mathcal{C}}_{\Phi }$ が位相不変なら $Q_{X_{\mathrm{ph}}}=0$。一方，質量 $\Vert f{\Vert }_{H_{\sigma }}^2$ は Markov 混合で厳密保存。

• 平行移動（Lebesgue 基準）：

  $Q_{X_{\mathrm{tr}}}=⟨\frac{\delta {\mathcal{C}}_{\Phi }}{\delta p},{\partial }_{\tau }p⟩,p=p_f.$

• スケール：$Q_{X_{\mathrm{dil}}}=⟨\delta {\mathcal{C}}_{\Phi }/\delta p,\tau {\partial }_{\tau }p⟩$。 （OU 節では ${\mu }_{\lambda }$ 基準に置換。）

2. Frourio–Noether 第1定理（可逆部）

定理 2.1（保存則）

$|m_t|=1,{\nu }_t={\delta }_0$（可逆部のみ）で最小作用曲線 $f_t$ が生成され，${\mathcal{C}}_{\Phi }$ が連続群 $G$ に不変なら，任意の生成子 $X$ に対し $t\mapsto Q_X(f_t)$ は保存。

証の骨子：BV 作用の鎖則は等式。群不変性で第一変分が消え，境界項一定。□

3. Frourio–Noether 第2定理（散逸付き；OU / CD $(\lambda ,\infty )$）

以降，基準は ${\mu }_{\lambda }$，${\mathsf{R}\acute{\mathsf{e}}\mathsf{nyi}}_2^{({\mu }_{\lambda })}$ を用いる。

定理 3.1（Noether–Dissipation）

OU Markov 正規化（CD $(\lambda ,\infty )$）のもとで

$\frac{d}{dt}{Q}_X(q_t)=-{\mathcal{R}}_X(q_t),{\mathcal{R}}_X\ge \lambda {\mathcal{Q}}_X\ge 0,$

とくに $|Q_X(q_t)|\le e^{-\lambda t}|Q_X(q_0)|$。

明示例（平行移動）：

$Q_{X_{\mathrm{tr}}}(q)=\int \tau qd{\mu }_{\lambda }$。OU の運動学から

$\frac{d}{dt}{Q}_{X_{\mathrm{tr}}}=-\lambda Q_{X_{\mathrm{tr}}}(\text{等号鋭い}).$

（脚注）${\mathcal{R}}_X=⟨\Gamma ({\Psi }_X),q⟩\ge \lambda Q_X^2/{\mathrm{Var}}_{{\mu }_{\lambda }}(\tau )$ の正値形で表せる。□

4. Ward 同一性：連続と離散

4.1 連続 Ward（弱形式）

任意の $\phi \in C_c^{\infty }(\mathbb{R})$ に対し

$\boxed{⟨\frac{\delta {\mathcal{C}}_{\Phi }}{\delta p}(p)\phi ,X\cdot p⟩=⟨{\mathfrak{W}}_X[p],{\partial }_{\tau }\phi ⟩,}$

すなわち （変分×テスト）＝流束の発散。平行移動の明示流束：

$\boxed{{\mathfrak{W}}_{X_{\mathrm{tr}}}[p]=\alpha \frac{\delta {\mathsf{R}\acute{\mathsf{e}}\mathsf{nyi}}_2}{\delta p}p+\beta \frac{\delta {\mathrm{W}}_{\delta ,\epsilon }}{\delta p}p+\gamma \frac{\delta {\mathcal{D}}_{\sigma }}{\delta p}p}$

（幅は正則化版。 $\epsilon \downarrow 0$ で BV 意味に回収。）

4.2 離散 Ward と Γ-収束

Zak–Mellin 繊維 $c(\theta )\in {\ell }^2(\mathbb{Z})$ 上で ${\nabla }_{d}u(n)=u(n+1)-u(n)$, ${\mathrm{div}}_{d}J(n)=J(n)-J(n-1)$ とすると，任意の離散テスト $\phi$ に対し

$\boxed{⟨\frac{\delta {\mathcal{C}}_{\Phi }}{\delta c}\phi ,X\cdot c⟩=⟨{\mathfrak{W}}_X[c],{\mathrm{div}}_d\phi ⟩.}$

VII–VIII の Γ-収束により ${\mathfrak{W}}_X^{\mathrm{disc}}\to {\mathfrak{W}}_X^{\mathrm{cont}}$。Talagrand・LSI・減衰定数は下方半連続で安定（誤差定数はフレーム比 $B/A$ のみに依存）。

5. 輸送–エントロピー（Talagrand）と Noether の関係

定理 5.1（$T_2(\lambda )$：Otto–Villani 型）

$W_2^2(q,{\mu }_{\lambda })\le \frac{2}{\lambda }{\mathrm{Ent}}_{{\mu }_{\lambda }}(q).$

右辺は ${\mathsf{R}\acute{\mathsf{e}}\mathsf{nyi}}_2^{({\mu }_{\lambda })}$ と単調同値。Noether–Dissipation を時間積分した 距離版 と読める（IX の LSI ⇒ $T_2$）。

6. 設計指針：対称保護（SP）混合

• 可換性判定：$[L,X]=0$ あるいは $⟨\Gamma ({\Psi }_X),q⟩=0$ を満たす核を選び $Q_X$ を保護。
• 位相操作：$|m|\equiv 1$ に限り，${\mathsf{R}\acute{\mathsf{e}}\mathsf{nyi}}_2$ 増分は二次小。
• 離散化：フレーム比 $B/A$ を揃え，Ward 誤差 $C_{A,B}=O(\log (B/A))$ を抑制（Γ 極限で定数安定）。

7. 等号剛性（Noether–Young）

• 保存側：可逆部が生成子 $X$ と可換（位相一様，平行移動一様）。
• 散逸側（OU）：ガウス不変族上でのみ等号（IX の Young 等号と同時成立）。平行移動なら平均のみ，スケールなら分散のみが動く族。

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付録

A. 幅の正則化と BV 極限

${\chi }_{\epsilon }$ を滑らか Heaviside 近似に取り，

$\frac{\delta {\mathrm{W}}_{\delta ,\epsilon }}{\delta p}={\chi }_{\epsilon }^{\prime }\left(|{\mathcal{M}}_w[f]|-\delta \right)\cdot \frac{\partial |{\mathcal{M}}_w[f]|}{\partial p}.$

第八論文と第九論文の下半連続性により $\epsilon \downarrow 0$ で BV 極限が存在。

B. 汎関数微分の明確化（エネルギー重み経由）

${\mathcal{D}}_{\sigma }$ は実質 $|U_{\sigma -1}f{|}^2$ に依存する。エネルギー側の確率化

$r_f(\tau ):=\frac{|U_{\sigma -1}f(\tau ){|}^2}{\frac{1}{2\pi }\int |U_{\sigma -1}f{|}^{2}d\tau },\int r_{f}d\tau =1$

を用いると

$\boxed{{\mathcal{D}}_{\sigma }(f)=\int |S_{-(\sigma +i\tau )}{|}^2{r}_f(\tau )d\tau ,\frac{\delta {\mathcal{D}}_{\sigma }}{\delta r_f}(\tau )=|S_{-(\sigma +i\tau )}{|}^2-\int |S_{-(\sigma +is)}{|}^2{r}_f(s)ds}.$

もし本文で $\delta {\mathcal{D}}_{\sigma }/\delta p$ を用いる場合は，連鎖則により $p$ の摂動を $r_f$ の摂動へ写して評価する（IX の方針に一致）。
（注）本稿の主不等式では ${\mathcal{D}}_{\sigma }$ は保守的扱いとし，右辺を大きくしない下界で用いた。

C. Ward の弱形式と測度

連続版は Lebesgue もしくは ${\mu }_{\lambda }$ の $L^2$ 内積で評価し，離散版は ${\ell }^2$ 内積で評価する（本文各節に基準測度を明記）。弱形式では常にテスト関数 $\phi$ を左辺にも掛けた形

$⟨(\delta {\mathcal{C}}_{\Phi }/\delta p)\phi ,X\cdot p⟩$

で記述し，右辺は（連続）$⟨{\mathfrak{W}}_X,{\partial }_{\tau }\phi ⟩$，（離散）$⟨{\mathfrak{W}}_X,{\mathrm{div}}_d\phi ⟩$ と対応させる。

D. Γ-収束と定数安定

liminf：フレーム両側評価＋Jensen。回復列：Zak–Mellin サンプリング。誤差定数 $C_{A,B}$ はフレーム比 $B/A$ のみ依存（第八論文と第九論文に整合）。

結語

本稿は，第八論文と第九論文の変分・曲率フレームに 対称—保存—散逸 と Ward 同一性を接続し，連続–離散にわたる 定数安定を保証した。Noether 量の保存／指数減衰の二相は，Frourio チャネル設計の第一級ガイドである。