要旨

フルーリオ解析学の第八論文で導入した Frourio チャネル（合成モノイド） と 再パラ不変作用（BV 版） を基盤に，本稿では 第二変分・曲率・安定性の体系を構築する。主要な修正点は：

1. 一次変分の中心化（決定的部の正規化に起因する項を $p^2$ 重みで厳密化）
2. 混合部の質量保存の明示（$\int \kappa =0$）
3. 二次変分の Fisher/Hessian 重みを $p^2$ に統一
4. OU/CD$(\lambda ,\infty )$ 節で基準測度 ${\mu }_{\lambda }$ と相対 Rényi-2の整合化
5. エネルギー項は $L^1\cap L^2$ 前提の安全版に整理

その上で：

1. 二次変分公式：決定的（乗算）と混合（畳み込み）の小変形に対する ${\mathsf{H}}_2$ の厳密二次展開（Fisher 型分散 $+$ 混合の $L^2$ 凸性 $+$ 交差の Young 制御）
2. Frourio–Bakry–Émery 曲率：繊維上 OU 型正規化混合で CD$(\lambda ,\infty )$ を確立し LSI/SG を導出
3. $\lambda$-凸性・勾配流：Frourio–Otto 距離（＝Benamou–Brenier の $W_2$）に対し ${\mathsf{H}}_2$ が $\lambda$-凸，最小作用パスは一意・指数安定
4. Γ-収束と曲率定数の安定：Zak–Mellin 離散化は連続理論の Γ-極限で，曲率下界・LSI/SG 定数は下方半連続に保存

0. 予備・記法・仮定（第八論文と整合）

• 乗法ハール $d\mu (x)=dx/x$。Hilbert 空間 $H_{\sigma }$，等長写像 $U_{\sigma }$（Mellin–Plancherel）。 $\log$ は自然対数。STMT はガウス窓 $w_{\eta }$（$\eta >0$）で固定，$\xi$ も固定。

• 確率化と密度：$F:=U_{\sigma }f$。既定の基準測度を $\lambda$ に依らず Lebesgue とし

  $p_f(\tau ):=\frac{|F(\tau ){|}^2}{\int |F{|}^2\frac{d\tau }{2\pi }},{\mathsf{H}}_2(f):=-\log \int p_f(\tau {)}^{2}d\tau .$

  ただし §3（OU/曲率）では基準測度を ${\mu }_{\lambda }$（後述）に替えた相対版 ${\mathsf{H}}_2^{({\mu }_{\lambda })}$ を用いる（整合のため）。

• 幅とエネルギー密度：${\mathrm{W}}_{\delta }$ は STMT 超レベル集合長。 ${\mathcal{E}}_{\sigma }[f]=\frac{1}{2\pi }\int |S_{-(\sigma +i\tau )}{|}^2|U_{\sigma -1}f(\tau ){|}^{2}d\tau$， ${\mathcal{D}}_{\sigma }:={\mathcal{E}}_{\sigma }/\Vert f{\Vert }_{H_{\sigma }}^2$。 既知の上界 $C_{\sigma }\le 2\cosh (\sigma \log a)$。

• チャネル：$\mathcal{T}=M_m\circ C_{\nu }$。決定的部 $M_m$ は $m\in L^{\infty }$（$\Vert m{\Vert }_{\infty }\le 1$）。混合部 $C_{\nu }$ は $\tau$-側畳み込み（複素有限測度 $\nu$，全変動ノルム $\Vert \nu {\Vert }_{TV}\le 1$）。
  曲率・LSI/SG を扱う節では $\nu$ は確率核（$\nu \ge 0,\int \nu =1$）に限定。

• 時間正則性（仮定A）：$t\mapsto {\mathcal{T}}_t$ は区分的強連続，${\sup }_t(\Vert m_t{\Vert }_{\infty }+\Vert {\nu }_t{\Vert }_{TV})\le 1$。
  $L^4$ 有界（仮定B）：${\sup }_t\Vert U_{\sigma }{f}_t{\Vert }_4<\infty$（下半連続性のため）。

• 作用（BV 版）：${\mathcal{C}}_{\Phi }:=\alpha {\mathsf{H}}_2+\beta {\mathrm{W}}_{\delta }+\gamma {\mathcal{D}}_{\sigma }$。 ${\mathcal{S}}_{\mathrm{BV}}(f_{\cdot }):={\mathrm{Var}}_{[0,1]}({\mathcal{C}}_{\Phi }(f_t))$（再パラ不変）。 鎖則は差分の厳密加法。下界化では STMT に伴う $\delta \mapsto {\delta }^{\prime }$，幅ペナルティ $C(\eta )=4\sqrt{2\pi }\eta$，および $\log \kappa (\eta )$（代表 $\kappa (\eta )\lesssim (\sqrt{2\pi }\eta {)}^{-1}$）を一括定数 $\Lambda (\eta )$ に吸収。

• Zak–Mellin：${\mathbb{T}}_a=[0,2\pi /\log a)$ に未正規化測度 $d\theta$（Haar 平均は $(\log a/2\pi )\int d\theta$）。 フレーム比 $A,B$ のみに依存する誤差 $C_{A,B}=O(\log (B/A))$。

記号メモ：${\mathbb{E}}_p[\phi ]:=\int \phi pd\tau$， ${\mu }_2:d{\mu }_2=\frac{p^2}{\int p^2}d\tau$（「$p^2$ 重み」）， $⟨f,g⟩:=\int f\overline{g}d\tau$。 測度のノルムは $\Vert \cdot {\Vert }_{TV}$（全変動），関数は $L^1$ と表記。

1. 小チャネル・一次変分（中心化と質量保存）

1.1 小変形のモデル

$m_{\epsilon }=1+\epsilon \varphi +\frac{1}{2}{\epsilon }^2{\varphi }^{(2)}+o({\epsilon }^2),{\nu }_{\epsilon }={\delta }_0+\epsilon \kappa +\frac{1}{2}{\epsilon }^2{\kappa }^{(2)}+o({\epsilon }^2),$

$\varphi \in L^{\infty }$（$\Re \varphi \le 0$ 近傍），$\kappa$ は有限全変動測度。混合は質量保存 $\int \kappa =0$。

補題 1.2（一次変分の厳密式）

$\boxed{\frac{d}{d\epsilon }{|}_0{\mathsf{H}}_2\left(M_{m_{\epsilon }}f\right)=-4({\mathbb{E}}_{{\mu }_2}[\Re \varphi ]-{\mathbb{E}}_p[\Re \varphi ])}$

$\boxed{\frac{d}{d\epsilon }{|}_0{\mathsf{H}}_2\left(C_{{\nu }_{\epsilon }}f\right)=-2\frac{⟨p,p\ast \kappa ⟩}{\Vert p{\Vert }_2^2}}(\int \kappa =0).$

証概略：決定的部は正規化係数 $Z_{\epsilon }=\int |m_{\epsilon }{|}^{2}pd\tau$ を展開すると $p^{\prime }=(1+2\epsilon (\Re \varphi -{\mathbb{E}}_p\Re \varphi ))p+o(\epsilon )$。 $\int p^{\prime 2}$ を微分して表示された 「$p^2$ 加重平均 − $p$ 加重平均」 が現れる。混合は質量保存で一次の正規化補正が消え，上式。□

2. 二次変分（Hessian 形式：Fisher $+$ 凸性 $+$ 交差）

定理 2.1（二次変分の主公式）

仮定 A–B の下，${\mathcal{T}}_{\epsilon }=M_{m_{\epsilon }}{C}_{{\nu }_{\epsilon }}$ に対し

$\boxed{\frac{d^2}{d{\epsilon }^2}{|}_0{\mathsf{H}}_2({\mathcal{T}}_{\epsilon }f)=4{\mathrm{Var}}_{{\mu }_2}(\Re \varphi )+2\frac{\Vert p\ast \kappa {\Vert }_2^2}{\Vert p{\Vert }_2^2}+\frac{4}{\Vert p{\Vert }_2^2}⟨(\Re \varphi -{\mathbb{E}}_{{\mu }_2}\Re \varphi )p,p\ast \kappa ⟩}.$

交差項は Cauchy–Schwarz と Young により

$|\frac{4}{\Vert p{\Vert }_2^2}⟨(\cdots ),p\ast \kappa ⟩|\le 2{\mathrm{Var}}_{{\mu }_2}(\Re \varphi )+2\frac{\Vert p\ast \kappa {\Vert }_2^2}{\Vert p{\Vert }_2^2},$

ゆえに 全体は非負（凸）。等号条件は §8 参照。□

3. FBE 曲率・LSI/SG（基準測度の整合）

3.1 OU 正規化混合と基準測度

$L={\partial }_{\tau \tau }-\lambda \tau {\partial }_{\tau }(\lambda >0),d{\mu }_{\lambda }(\tau )=Z_{\lambda }^{-1}{e}^{-\frac{\lambda }{2}{\tau }^2}d\tau .$

${\mathcal{P}}_t=e^{tL}$ は $L^2({\mu }_{\lambda })$ で対称な 確率（Markov） 半群。以降この節では

${\mathsf{H}}_2^{({\mu }_{\lambda })}(q):=-\log \int q^{2}d{\mu }_{\lambda }$

（$\int qd{\mu }_{\lambda }=1$）を用いる。

定義 3.1（Carré du champ）

$\Gamma (u)=\frac{1}{2}(L{u}^2-2uLu)=|{\partial }_{\tau }u{|}^2,{\Gamma }_2(u)=\frac{1}{2}(L\Gamma (u)-2\Gamma (u,Lu)).$

定理 3.2（Frourio–Bakry–Émery：CD $(\lambda ,\infty )$）

OU に対し ${\Gamma }_2\ge \lambda \Gamma$。Consequently，

${\mathrm{Ent}}_{{\mu }_{\lambda }}(g^2)\le \frac{2}{\lambda }\int |{\partial }_{\tau }g{|}^{2}d{\mu }_{\lambda }(\mathrm{LSI}),{\mathrm{Var}}_{{\mu }_{\lambda }}(g)\le \frac{1}{\lambda }\int |{\partial }_{\tau }g{|}^{2}d{\mu }_{\lambda }(\mathrm{SG}).$

$\Rightarrow$ ${\mathsf{H}}_2^{({\mu }_{\lambda })}(q_t)$ と相対エントロピーは指数減衰。繊維積分（$\theta$）しても定数 $\lambda$ は保たれる。□

備考：Lebesgue 版 ${\mathsf{H}}_2$ を用いる場合は ${\mu }_{\lambda }$ への測度変換でポテンシャル補正が入るが，凸性・収束率 $\lambda$ 自体は不変。

4. Frourio–Otto 距離と $\lambda$-凸性・勾配流

定義 4.1（Frourio–Otto 距離）

連続方程式 ${\partial }_t{q}_t+{\partial }_{\tau }{J}_t=0$，作用

$\mathcal{A}[q,J]={\int }_0^1\int \frac{|J_t{|}^2}{q_t}d{\mu }_{\lambda }dt$

の最小値の平方根を距離 $W_F$ と定義（実質 $W_2$：Benamou–Brenier に一致）。

定理 4.2（$\lambda$-凸性と指数収束）

${\mathcal{P}}_t$ のもとで ${\mathsf{H}}_2^{({\mu }_{\lambda })}$ は $W_F$-$\lambda$-凸：

$\frac{d^2}{d{t}^2}{\mathsf{H}}_2^{({\mu }_{\lambda })}(q_t)\ge \lambda \Vert {\partial }_t{q}_t{\Vert }_{T_{q_t}}^2\ge 2\lambda ({\mathsf{H}}_2^{({\mu }_{\lambda })}(q_t)-{\mathsf{H}}_{2,\min }^{({\mu }_{\lambda })}),$

よって ${\mathsf{H}}_2^{({\mu }_{\lambda })}(q_t)-{\mathsf{H}}_{2,\min }^{({\mu }_{\lambda })}\le e^{-2\lambda t}(\cdots )$。 最小作用パスは一意，指数安定。□

5. エネルギー項 ${\mathcal{D}}_{\sigma }$ の二次評価（安全版）

命題 5.1（${\mathcal{D}}_{\sigma }$ は二次小）

小変形に対し

$\boxed{{\Delta }^2{\mathcal{D}}_{\sigma }\lesssim C_{\sigma }(\Vert U_{\sigma -1}f{\Vert }_1^2\Vert \kappa {\Vert }_{TV}^2+{\mathcal{D}}_{\sigma }[f]\Vert \varphi {\Vert }_{\infty }^2)}.$

したがって主指標 ${\mathsf{H}}_2+{\mathrm{W}}_{\delta }$ の二次凸性に対し ${\mathcal{D}}_{\sigma }$ の寄与は可吸収。□

6. 離散繊維：曲率・LSI/SG の安定

定理 6.1（離散 OU と CD $(\lambda ,\infty )$）

${\ell }^2(\mathbb{Z},{\mu }_{\lambda }^{\mathrm{disc}})$ 上の生成元 $L_d={\Delta }_d-\lambda n{\nabla }_d$（不変測度 ${\mu }_{\lambda }^{\mathrm{disc}}\propto e^{-\frac{\lambda }{2}{n}^2}$）は離散版の CD$(\lambda ,\infty )$ を満たす。したがって LSI/SG は連続と同一定数 $\lambda$ をもつ（Erbar–Maas 型勾配流／Bakry–Émery 離散版の標準理論に従う）。□

定理 6.2（Γ-収束と定数の下方半連続）

Zak–Mellin 離散作用 ${\mathcal{S}}_h^{\mathrm{disc}}$ は ${\mathcal{S}}^{\mathrm{cont}}$ に Γ-収束： (liminf) ${\mathcal{S}}^{\mathrm{cont}}\le {\mathrm{liminf}}_{h\to 0}{\mathcal{S}}_h^{\mathrm{disc}}$； (recovery) 連続経路に対し適切なサンプリングで ${\mathrm{limsup}}_{h\to 0}{\mathcal{S}}_h^{\mathrm{disc}}\le {\mathcal{S}}^{\mathrm{cont}}$。 さらに CD$(\lambda ,\infty )$・LSI/SG の定数は $h\to 0$ で下方半連続に保存。 （誤差評価は補題 7.B：$|{\mathsf{H}}_2-{\overline{\mathsf{H}}}_2^{\mathrm{disc}}|\le C_{A_h,B_h}=O(\log (B_h/A_h))$ を併用。）□

7. 線形化安定性とスペクトルギャップ

定理 7.1（線形化生成元とギャップ）

最小点 $q^{\ast }$ 周りの線形化生成元 ${\mathcal{L}}^{\ast }$ は $\mathrm{gap}\ge \lambda$ を満たし

$\Vert q_t-q^{\ast }{\Vert }_{L^2({\mu }_{\lambda })}\le e^{-\lambda t}\Vert q_0-q^{\ast }{\Vert }_{L^2({\mu }_{\lambda })}.$

従って二次変分の正定性 $\Rightarrow$ 指数的安定。□

8. 等号剛性（ノー・ピニング：二次版）

定理 8.1（Hessian 等号の特徴づけ）

$\frac{d^2}{d{\epsilon }^2}{|}_0{\mathsf{H}}_2({\mathcal{T}}_{\epsilon }f)=0$ が成立するのは
(i) 決定的部：$\{p>0\}$ 上 $|m|\equiv 1$ かつ $\Re \varphi$ は ${\mu }_2$-定数（位相一様），
(ii) 混合部：$\kappa$ が位相付きデルタ（連続：$e^{i\varphi }{\delta }_{{\tau }_0}$，離散：$e^{i\varphi }{\delta }_0$）のとき，に限る。
（Young 等号条件と一次中心化の両立が必要十分。）□

9. まとめ：設計則と実装ガイド

• 設計 A（混合）：OU 正規化で CD $(\lambda ,\infty )$ を確保 $\Rightarrow$ LSI/SG により ${\mathsf{H}}_2$ は指数減衰。
• 設計 B（決定的）：$|m|\approx 1$（位相操作）に保ち 一次中心化で情報損失を抑え，二次小にとどめる。
• 設計 C（離散化）：Zak–Mellin は Γ-安定，曲率定数 $\lambda$ を保つ。
• 設計 D（作用）：BV 作用 ${\mathcal{S}}_{\mathrm{BV}}$ は再パラ不変，最小作用パスは $W_2$ に沿った一意の勾配流。

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付録

付録 A：一次・二次変分の計算

• 正規化 $Z_{\epsilon }=\int |m_{\epsilon }{|}^{2}pd\tau$ の展開から $p^{\prime }=(1+2(\Re \varphi -{\mathbb{E}}_p\Re \varphi ))p$。
• ${\mu }_2$ 重みの出現：$\frac{d}{d\epsilon }{|}_0\int p^{\prime 2}=4\int (\Re \varphi -{\mathbb{E}}_p\Re \varphi )p^2$。
• 二次は連鎖・積の微分，交差項は Young で吸収。

付録 B：Young 等号（$L^2\leftarrow L^2\ast L^1$）

$\Vert f\ast g{\Vert }_2=\Vert f{\Vert }_2\Vert g{\Vert }_1$ の等号は $g$ が位相付きデルタ（分布極限）に限る。離散は ${\delta }_0$。

付録 C：下半連続性の技術補題（Brezis–Lieb 型）

強 $L^2$ 収束と一様 $L^4$ 有界から $\Vert F_n{\Vert }_4^4/\Vert F_n{\Vert }_2^4$ の liminf 制御。 （強収束は STMT による幅制御＋フレーム緊致化で得る。）

付録 D：Γ-収束のスケッチ

フレーム両側評価と Jensen で liminf。回復列は Zak–Mellin サンプルで構成。誤差 $C_{A,B}$ はフレーム比のみ依存。

結語

本稿は，第八論文の一次変分理論を中心化された一次式と $p^2$ 重みの二次式 へ正確化し，FBE 曲率—LSI/SG—$\lambda$-凸性—指数安定という解析の王道鎖を Frourio チャネルに確立した。連続・離散の双方で曲率定数の安定と最小作用の唯一性が保証され，次の研究への基盤が完成した。