要旨

フルーリオ解析学の第六論文と第七論文の「決定的＝収縮／混合＝相乗」を チャネル×作用 の枠で統合し、連続–離散を Zak–Mellin で同一不等式へ橋渡しする“変分の背骨”を構築する。純粋解析に徹し、物理的解釈には立ち入らない。

0. 予備・記法・定数（一本化）

• 測度と変換：乗法ハール $d\mu (x)=dx/x$。 $H_{\sigma }:=L^2((0,\infty ),x^{2\sigma -1}dx)$，$U_{\sigma }f(\tau ):=\mathcal{M}[f](\sigma +i\tau )$ は等長。 以後 $\log$ は自然対数。

• 無次元化：$\Vert f{\Vert }_{H_{\sigma }}^2=\frac{1}{2\pi }\int |U_{\sigma }f{|}^{2}d\tau$。 $p_f(\tau ):=\frac{|U_{\sigma }f(\tau ){|}^2}{\frac{1}{2\pi }\int |U_{\sigma }f{|}^2}$（確率密度）， ${\mathsf{H}}_2(f):=-\log \int p_f(\tau {)}^{2}d\tau$。 STMT：窓 $w(u)=(2\pi {\eta }^2{)}^{-1/2}{e}^{-u^2/(2{\eta }^2)}$（中心 $\xi$ 固定）， 幅 ${\mathrm{W}}_{\delta }(f):=\mathrm{meas}\{\tau :|{\mathcal{M}}_w[f](\sigma +i\tau ;\xi )|\ge \delta \}$。

• 定数（第五論文の再掲）：${\delta }^{\prime }=\delta e^{-{\eta }^2/2}$，$C(\eta )=4\sqrt{2\pi }\eta$，$C_1(\eta )=(\sqrt{2\pi }\eta {)}^{-1}$，$\kappa (\eta )\asymp C_1(\eta )$（付録B）。 記号 $X{\asymp }_{A,B}Y$ は $c(A,B)Y\le X\le C(A,B)Y$ を意味（フレーム比 $A,B$ のみ依存）。

• Zak–Mellin：${\mathbb{T}}_a=[0,2\pi /\log a)$ 上の 未正規化測度 $d\theta$。 Haar 平均は $(\log a/2\pi ){\int }_{{\mathbb{T}}_a}\cdot d\theta$。 $(Z_{a}F)(\theta {)}_n=(\log a/2\pi {)}^{1/2}F(\theta +2\pi n/\log a)$ は等長。 誤差上界 $C_{A,B}=O(\log (B/A))$ を用いる。

• エネルギー密度：Frourio 乗数 $S_{-s}=a^{-s}-a^s$。 ${\mathcal{E}}_{\sigma }[f]=\frac{1}{2\pi }\int |S_{-(\sigma +i\tau )}{|}^2|U_{\sigma -1}f(\tau ){|}^{2}d\tau$， ${\mathcal{D}}_{\sigma }(f):={\mathcal{E}}_{\sigma }[f]/\Vert f{\Vert }_{H_{\sigma }}^2$， $C_{\sigma }:={\mathrm{esssup}}_{\tau }|S_{-(\sigma +i\tau )}|\le 2\cosh (\sigma \log a)$。

• 可積分性の前提：必要に応じ $U_{\sigma -1}f\in L^1\cap L^2$ を仮定（STMT ガウス仮定で満たされる）。
  脚注：関数の $L^1$ と複素有限測度の全変動ノルム $\Vert \cdot {\Vert }_{TV}$ を書き分ける（測度の場合 $\Vert \nu {\Vert }_{TV}=\Vert \nu {\Vert }_1$ と表記）。

1. Frourio チャネル半群（合成モノイド）

定義 1.1（決定的／混合ステップとチャネル）

• 決定的：$M_m:U_{\sigma }f\mapsto m\cdot U_{\sigma }f$，$m\in L^{\infty },\Vert m{\Vert }_{\infty }\le 1$。 通過率 $Z:=\int |m{|}^2{p}_{f}d\tau \in (0,1]$（非自明観測 $Z>0$）
• 混合：$C_{\nu }:U_{\sigma }f\mapsto U_{\sigma }f\ast \nu$。$\nu$ は $L^1$ 関数または複素有限測度で $\Vert \nu {\Vert }_{TV}\le 1$
  生成例：位相・シフトの確率平均で $\nu \ge 0,\int \nu =1$
• チャネル：$\mathcal{T}:=M_m\circ C_{\nu }$。合成と強極限で閉じる集合 $\mathfrak{C}$ を チャネル半群（合成モノイド） と呼ぶ

補題 1.2（安定性と $J$ 反転）

$\mathfrak{C}$ は単位元を含み，合成・強極限で閉じる。反転ユニタリ $J$（$\tau \mapsto -\tau$）で $\mathcal{T}\mapsto J\mathcal{T}J$ は $\mathfrak{C}$ を保つ。□

2. 作用の定義・鎖則・時間正則性

定義 2.1（差分・ラグランジアン）

$\Delta {\mathsf{H}}_2:={\mathsf{H}}_2(\mathcal{T}f)-{\mathsf{H}}_2(f),\Delta {\mathrm{W}}_{\delta }:={\mathrm{W}}_{\delta }(\mathcal{T}f)-{\mathrm{W}}_{\delta }(f),\Delta {\mathcal{D}}_{\sigma }:={\mathcal{D}}_{\sigma }(\mathcal{T}f)-{\mathcal{D}}_{\sigma }(f),$

$\mathcal{L}(\mathcal{T};f):=\alpha \Delta {\mathsf{H}}_2+\beta \Delta {\mathrm{W}}_{\delta }+\gamma \Delta {\mathcal{D}}_{\sigma },{\mathcal{C}}_{\Phi }:=\alpha {\mathsf{H}}_2+\beta {\mathrm{W}}_{\delta }+\gamma {\mathcal{D}}_{\sigma }.$

鎖則（等式）と下界化

差分の定義から厳密に

$\mathcal{L}({\mathcal{T}}_2\circ {\mathcal{T}}_1;f)=\mathcal{L}({\mathcal{T}}_2;{\mathcal{T}}_{1}f)+\mathcal{L}({\mathcal{T}}_1;f).$

S1/S2a/S2b を用いて下界化する際のみ STMT の $\delta \mapsto {\delta }^{\prime }$ と幅ペナルティ $C(\eta )$、$\log \kappa (\eta )$ を一括 $\Lambda (\eta )$ に吸収する。

作用の定義（BV 版）

$\boxed{{\mathcal{S}}_{\mathrm{BV}}[\{f_t{\}}_{t\in [0,1]}]:={\mathrm{Var}}_{[0,1]}({\mathcal{C}}_{\Phi }(f_t))}$

（再パラメータ化不変は自明）。離散近似では鎖則の加法で積み上げる。

仮定A（時間正則性）：$t\mapsto {\mathcal{T}}_t$ は $L^2$ 強可測かつ区分的強連続，${\sup }_t(\Vert m_t{\Vert }_{\infty }+\Vert {\nu }_t{\Vert }_{TV})\le 1$。 備考（密度版）：小刻み同次性を仮定すれば $\mathcal{L}({\mathcal{T}}_{t,h};f_t)=\ell (t)h+o(h)$ として ${\int }_0^1\ell (t)dt$ に一致（再パラ不変が正当化）。

備考：本稿の主不等式は ${\mathsf{H}}_2$ と ${\mathrm{W}}_{\delta }$ の厳密下界から導出。決定的観測では ${\mathcal{E}}_{\sigma }$ は非増加，混合では単調性を主張しないため，右辺への寄与は抑制＝保守的下界。

3. 決定的＝収縮（S2a-det）

定理 3.1（Rényi-2 の減少下界）

$T_K=M_m$（$\Vert m{\Vert }_{\infty }\le 1$），$Z:=\int |m{|}^2{p}_f\in (0,1]$。

$\boxed{\Delta {\mathsf{H}}_2\ge 2\log Z(\le 0)}.$

等号：$|m|=1$ が $\{p_f>0\}$ 上 a.e.（$\{p_f=0\}$ 上は任意）。

命題 3.2（幅とエネルギー）

${\mathrm{W}}_{\delta }(T_{K}f)\le {\mathrm{W}}_{\delta }(f)+C(\eta )$。 ${\mathcal{E}}_{\sigma }[T_{K}f]\le {\mathcal{E}}_{\sigma }[f]$（${\mathcal{D}}_{\sigma }$ 非増加）。□

4. 混合＝相乗（S2b-mix）

定理 4.1（Rényi-2 の非減少）

$\overline{T}=C_{\nu }$，$\Vert \nu {\Vert }_{TV}\le 1$。$p_{\mathrm{out}}=p_f\ast \nu$ に対し

$\Vert p_{\mathrm{out}}{\Vert }_2\le \Vert p_f{\Vert }_2\Vert \nu {\Vert }_{TV}\Rightarrow \Delta {\mathsf{H}}_2\ge 0.$

等号：連続は 全変動ノルム 1 の位相付きデルタ $\nu =e^{i\varphi }{\delta }_{{\tau }_0}$，繊維離散は $\nu =e^{i\varphi }{\delta }_0$（付録A）。□

命題 4.2（幅・エネルギー）

$\Delta {\mathrm{W}}_{\delta }\ge -\kappa (\eta )$（STMT 誤差吸収）。${\mathcal{D}}_{\sigma }$ の単調性は主張しない。□

5. 点積＝相乗（S1）

定理 5.1（幅下界＋Rényi-2 劣加法）

$U_{\sigma }(fg)=U_{\sigma }f\ast U_{\sigma }g$。

${\mathrm{W}}_{\delta }(fg)\ge {\mathrm{W}}_{{\delta }^{\prime }}(f)+{\mathrm{W}}_{{\delta }^{\prime }}(g)-C(\eta ),{\mathsf{H}}_2(fg)\ge {\mathsf{H}}_2(f)+{\mathsf{H}}_2(g)-\log \kappa (\eta ).$

命題 5.2（エネルギーの定数付き劣加法：安全版）

$U_{\sigma -1}f,U_{\sigma -1}g\in L^1\cap L^2$ なら

$\boxed{{\mathcal{E}}_{\sigma }[fg]\le C_{\sigma }\left({\mathcal{E}}_{\sigma }[f]\Vert U_{\sigma -1}g{\Vert }_1^2+{\mathcal{E}}_{\sigma }[g]\Vert U_{\sigma -1}f{\Vert }_1^2\right),C_{\sigma }\le 2\cosh (\sigma \log a).}$

（ガウス模型では係数 1；§8。）□ 脚注：ここでの $\Vert \cdot {\Vert }_1$ は関数の $L^1$。測度は $\Vert \cdot {\Vert }_{TV}$。

6. 最小作用パス：存在と弱形式

緊致化の要点

STMT による幅制御とフレーム評価から Fréchet–Kolmogorov 型緊致化が効き，適当な抽出で 強 $L^2$ 収束が得られる。

仮定B（$L^4$ 有界）

${\sup }_t\Vert U_{\sigma }{f}_t{\Vert }_4<\infty$。

補題 6.A（Brezis–Lieb 型の比の安定）

$F_n\to F$ が強 $L^2$ 収束，$\{F_n\}$ が $L^4$ 有界なら $\underset{n}{\mathrm{liminf}}\frac{\Vert F_n{\Vert }_4^4}{\Vert F_n{\Vert }_2^4}\ge \frac{\Vert F{\Vert }_4^4}{\Vert F{\Vert }_2^4}$。 よって ${\mathsf{H}}_2$ は下半連続（LSC）。□

定理 6.1（存在）

仮定A・B の下，境界 $f_0,f_1$ を結ぶチャネル経路に最小作用（BV 版）が存在。 スケッチ：${\mathsf{H}}_2$ は LSC，幅は STMT で制御。規模項は非増加/不主張。弱コンパクトと鎖則で極小達成。□

定理 6.2（Euler–Lagrange の弱形式）

任意の繊維 $\theta$ と $\phi \in C_c^{\infty }(\mathbb{R})$ に対し

$\frac{d}{dt}⟨p_t(\cdot ,\theta ),\phi ⟩=-⟨{\mathfrak{J}}_{\theta }[p_t;m_t,{\nu }_t],{\partial }_{\tau }\phi ⟩,$

ここで ${\mathfrak{J}}_{\theta }$ は Young/Hölder 等号差から構成される“流束”。ガウス模型では線形で閉形式（§8）。□

7. Zak–Mellin：離散作用の Γ-収束

定理 7.1（Γ-収束）

離散作用 ${\mathcal{S}}_h^{\mathrm{disc}}$（フレーム比 $A_h,B_h$）を適切に正規化すると，

1. (liminf) ${\mathcal{S}}^{\mathrm{cont}}\le \underset{h\to 0}{\mathrm{liminf}}{\mathcal{S}}_h^{\mathrm{disc}}$。
2. (recovery) 任意の連続経路に対し，$Z_a$ サンプリングから離散経路 $\{{\mathcal{T}}_t^{(h)}\}$ を構成して $\underset{h\to 0}{\mathrm{limsup}}{\mathcal{S}}_h^{\mathrm{disc}}\le {\mathcal{S}}^{\mathrm{cont}}$。

スケッチ：等長 $Z_a$ とフレーム両側評価を Jensen と併用。なお，誤差評価は補題 7.B に記す。□

測度注意：${\int }_{{\mathbb{T}}_a}d\theta$ は積分（平均は $(\log a/2\pi )\int$）。

補題 7.B（誤差評価）

$|{\mathcal{S}}_h^{\mathrm{disc}}-{\mathcal{S}}^{\mathrm{cont}}|\le C_{A_h,B_h}=O(\log (B_h/A_h))$。□

8. ガウス模型（厳密解・等号）

$U_{\sigma }f(\tau )=A_1{e}^{-(\tau -{\tau }_1{)}^2/(2{\sigma }_1^2)}$, $U_{\sigma }g(\tau )=A_2{e}^{-(\tau -{\tau }_2{)}^2/(2{\sigma }_2^2)}$

• 点積：${\sigma }_{fg}^2={\sigma }_1^2+{\sigma }_2^2$，${\mathsf{H}}_2$ は定数除き厳密加法
• 決定的：ガウス $m$ で $\Delta {\mathsf{H}}_2=2\log Z$（鋭い）
• 混合：確率核ガウス $\nu$ で $\Delta {\mathsf{H}}_2\ge 0$（等号は $\nu =e^{i\varphi }{\delta }_{{\tau }_0}$）
• 最小作用：${\sigma }^2(t)$ 線形補間が弱形式 EL を満たす

9. ノー・ピニング（等号剛性）

定理 9.1（等号は自明操作のみ）

$\Delta {\mathsf{H}}_2=0$（幅ペナルティ最小）を保つチャネルは： 連続：$|m|\equiv 1$（$p_f>0$）かつ $\nu =e^{i\varphi }{\delta }_{{\tau }_0}$。 繊維離散：$\nu =e^{i\varphi }{\delta }_0$（繊維内シフトの等号）。□

10. 主定理（作用不等式の標準形）

任意の入力 $f$ と「混合→決定」の 2 段チャネルに対し

$\boxed{{\mathcal{C}}_{\Phi }(\overline{T}{T}_{K}f)\ge {\mathcal{C}}_{\Phi }(f)+2\log Z+{\Delta }_{\mathrm{mix}}-\Lambda (\eta )},$

ここで $Z=\int |m{|}^2{p}_f\in (0,1]$（決定的収縮分），${\Delta }_{\mathrm{mix}}\ge 0$（混合の相乗分），$\Lambda (\eta )$ は STMT 誤差・幅ペナルティ $C(\eta )$・$\log \kappa (\eta )$ を含む一括定数。 差分量の鎖則は等式で，加法下に本下界を累積できる。

参考文献

関数解析・調和解析

[1] de Branges, L. (1968). Hilbert Spaces of Entire Functions. Prentice-Hall.

[2] Grafakos, L. (2014). Classical Fourier Analysis (3rd ed.). Graduate Texts in Mathematics, vol. 249. Springer.

[3] Grafakos, L. (2014). Modern Fourier Analysis (3rd ed.). Graduate Texts in Mathematics, vol. 250. Springer.

[4] Rudin, W. (1991). Functional Analysis (2nd ed.). International Series in Pure and Applied Mathematics. McGraw-Hill.

Young不等式・Hölder不等式

[5] Young, W.H. (1912). On the multiplication of successions of Fourier constants. Proceedings of the Royal Society A, 87(596), 331-339.

[6] Hölder, O. (1889). Über einen Mittelwertsatz. Nachrichten von der Königl. Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, 38-47.

[7] Beckner, W. (1975). Inequalities in Fourier analysis on ${\mathbb{R}}^n$. Proceedings of the National Academy of Sciences, 72(2), 638-641.

[8] Brascamp, H.J., & Lieb, E.H. (1976). Best constants in Young's inequality, its converse, and its generalization to more than three functions. Advances in Mathematics, 20(2), 151-173.

対数Sobolev不等式

[9] Beckner, W. (1975). Inequalities in Fourier analysis. Annals of Mathematics, 102(1), 159-182.

[10] Gross, L. (1975). Logarithmic Sobolev inequalities. American Journal of Mathematics, 97(4), 1061-1083.

[11] Bakry, D., & Émery, M. (1985). Diffusions hypercontractives. In Séminaire de Probabilités XIX, Lecture Notes in Mathematics, vol. 1123, pp. 177-206. Springer.

半群理論

[12] Pazy, A. (1983). Semigroups of Linear Operators and Applications to Partial Differential Equations. Applied Mathematical Sciences, vol. 44. Springer.

[13] Hille, E., & Phillips, R.S. (1957). Functional Analysis and Semi-Groups. American Mathematical Society Colloquium Publications, vol. 31. American Mathematical Society.

[14] Davies, E.B. (1980). One-Parameter Semigroups. London Mathematical Society Monographs, vol. 15. Academic Press.

変分法・Γ収束

[15] Dal Maso, G. (1993). An Introduction to Γ-Convergence. Progress in Nonlinear Differential Equations and Their Applications, vol. 8. Birkhäuser.

[16] Braides, A. (2002). Γ-Convergence for Beginners. Oxford Lecture Series in Mathematics and Its Applications, vol. 22. Oxford University Press.

[17] De Giorgi, E., & Franzoni, T. (1975). Su un tipo di convergenza variazionale. Atti della Accademia Nazionale dei Lincei, 58(6), 842-850.

[18] Attouch, H. (1984). Variational Convergence for Functions and Operators. Applicable Mathematics Series. Pitman.

BV関数・測度論

[19] Ambrosio, L., Fusco, N., & Pallara, D. (2000). Functions of Bounded Variation and Free Discontinuity Problems. Oxford Mathematical Monographs. Oxford University Press.

[20] Evans, L.C., & Gariepy, R.F. (2015). Measure Theory and Fine Properties of Functions (Revised ed.). Textbooks in Mathematics. CRC Press.

[21] Ziemer, W.P. (1989). Weakly Differentiable Functions. Graduate Texts in Mathematics, vol. 120. Springer.

Brezis-Lieb型補題

[22] Brezis, H., & Lieb, E.H. (1983). A relation between pointwise convergence of functions and convergence of functionals. Proceedings of the American Mathematical Society, 88(3), 486-490.

[23] Lions, P.L. (1985). The concentration-compactness principle in the calculus of variations. The locally compact case, part 1. Annales de l'Institut Henri Poincaré C, 1(2), 109-145.

Fréchet-Kolmogorov緊密化

[24] Kolmogorov, A.N. (1931). Über die analytischen Methoden in der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Mathematische Annalen, 104, 415-458.

[25] Fréchet, M. (1906). Sur quelques points du calcul fonctionnel. Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, 22, 1-72.

[26] Simon, J. (1987). Compact sets in the space $L^p(0,T;B)$. Annali di Matematica Pura ed Applicata, 146, 65-96.

Euler-Lagrange方程式

[27] Giaquinta, M., & Hildebrandt, S. (1996). Calculus of Variations I: The Lagrangian Formalism. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, vol. 310. Springer.

[28] Dacorogna, B. (2008). Direct Methods in the Calculus of Variations (2nd ed.). Applied Mathematical Sciences, vol. 78. Springer.

測度の全変動ノルム

[29] Billingsley, P. (1999). Convergence of Probability Measures (2nd ed.). Wiley Series in Probability and Statistics. Wiley.

[30] Bogachev, V.I. (2007). Measure Theory, Vol. I & II. Springer.

チャネル理論（情報理論的背景）

[31] Cover, T.M., & Thomas, J.A. (2006). Elements of Information Theory (2nd ed.). Wiley-Interscience.

[32] Csiszár, I., & Körner, J. (2011). Information Theory: Coding Theorems for Discrete Memoryless Systems (2nd ed.). Cambridge University Press.

ガウス過程・厳密解

[33] Adler, R.J., & Taylor, J.E. (2007). Random Fields and Geometry. Springer Monographs in Mathematics. Springer.

[34] Janson, S. (1997). Gaussian Hilbert Spaces. Cambridge Tracts in Mathematics, vol. 129. Cambridge University Press.

Jensen不等式

[35] Jensen, J.L.W.V. (1906). Sur les fonctions convexes et les inégalités entre les valeurs moyennes. Acta Mathematica, 30, 175-193.

[36] Hardy, G.H., Littlewood, J.E., & Pólya, G. (1952). Inequalities (2nd ed.). Cambridge University Press.

最適輸送理論（将来の発展用）

[37] Villani, C. (2009). Optimal Transport: Old and New. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, vol. 338. Springer.

[38] Santambrogio, F. (2015). Optimal Transport for Applied Mathematicians. Progress in Nonlinear Differential Equations and Their Applications, vol. 87. Birkhäuser.

付録A：Young $L^2\leftarrow L^2\ast L^1$ の等号

$\Vert f\ast g{\Vert }_2=\Vert f{\Vert }_2\Vert g{\Vert }_1$ の等号は $g=e^{i\varphi }{\delta }_{t_0}$（分布極限）。繊維離散は ${\delta }_0$。

付録B：$\kappa (\eta )$ の代表上界

ガウス窓 STMT に対し $\kappa (\eta )\le (\sqrt{2\pi }\eta {)}^{-1}$。本文では $\log \kappa (\eta )$ を $\Lambda (\eta )$ に吸収。

付録C：決定的観測の等号とゼロ集合

等号条件は $|m|=1$ on $\{p_f>0\}$ a.e.。$\{p_f=0\}$ 上の値は影響しない。

付録D：${\asymp }_{A,B}$ 記法

$X{\asymp }_{A,B}Y$ は $c(A,B)Y\le X\le C(A,B)Y$。定数はフレーム比のみに依存。

結語

チャネル半群（合成モノイド）×作用という器の上で，第六論文と第七論文の収縮／相乗を厳密な差分の鎖則（等式）＋下界化として統合した。時間正則性と $L^4$ 制御の下，最小作用（BV）の存在と弱形式 Euler–Lagrangeを確立。Zak–Mellin により離散作用は連続作用へ Γ-収束，さらに等号剛性（ノー・ピニング）とガウス厳密解で鋭さを確認した。