要旨

フルーリオ解析学の第六論文までを束ね、連続（Mellin）と離散（Zak–Mellin 繊維）を等号条件まで一致させる橋渡し理論を構築する。第六論文の「決定的＝収縮／混合＝相乗」を離散側へ鏡像化し、両側での等号条件をノー・ピニング原理として確立する。黄金比・フィボナッチは、任意底 $a>1$ と任意線形漸化式の特殊例に過ぎないことを明示する。

0. 予備・記法・仮定（定数の一本化）

• 底 $a>1$、実部 $\sigma \in \mathbb{R}$。 $H_{\sigma }:=L^2((0,\infty ),x^{2\sigma -1}dx)$, $U_{\sigma }f(\tau )=\mathcal{M}[f](\sigma +i\tau )$（等長）。

• Frourio 作用素エネルギー

  ${\mathcal{E}}_{\sigma }[f]=\frac{1}{2\pi }{\int }_{\mathbb{R}}|S_{-(\sigma +i\tau )}{|}^2|U_{\sigma -1}f(\tau ){|}^{2}d\tau ,S_{-s}=a^{-s}-a^s.$

• STMT（窓 $w$ 固定）と幅 ${\mathrm{W}}_{\delta }(f)$ は第六論文と同じ。

• Rényi-2（衝突）エントロピー：

  $p_f(\tau )=\frac{|U_{\sigma }f(\tau ){|}^2}{\frac{1}{2\pi }\int |U_{\sigma }f{|}^{2}d\tau },{\mathsf{H}}_2(f):=-\log {\int }_{\mathbb{R}}{p}_f(\tau {)}^{2}d\tau .$

• 定数の束ね（第六論文と整合）： ${\delta }^{\prime }=\delta e^{-{\eta }^2/2}$, $C(\eta )$ は代表値 $4\sqrt{2\pi }\eta$ を用いて良い（本文では $\simeq \eta$ と上界束ね）。 $\kappa (\eta )\lesssim {\eta }^{-1}$（付録A）。 $\Lambda (\eta ):=\log \kappa (\eta )+C(\eta )$。

• 可積分性前提：必要に応じ $U_{\sigma -1}f\in L^1\cap L^2$（ガウス／STMT 単峰で満たされる）。

• 対数の底：以後の $\log$ は自然対数。

1. 連続–離散の辞書（Zak–Mellin ブリッジ）

定理 1.1（Zak–Mellin 等長分解）

$Z_a:L^2({\mathbb{R}}_{\tau })\stackrel{\cong }{\to }{\int }_{\theta \in {\mathbb{T}}_a}^{\oplus }{\ell }^2(\mathbb{Z})d\theta ,{\mathbb{T}}_a:=[0,\frac{2\pi }{\log a})$

を

$(Z_{a}F)(\theta {)}_n=(\frac{\log a}{2\pi }{)}^{1/2}F(\theta +\frac{2\pi n}{\log a})$

で定めると等長。注：ここで ${\int }_{{\mathbb{T}}_a}\cdot d\theta$ は未正規化の積分であり、Haar 平均は $\frac{\log a}{2\pi }{\int }_{{\mathbb{T}}_a}\cdot d\theta$。

これにより

$U_{\sigma }f⟷\{c_n(\theta ){\}}_{n\in \mathbb{Z}},p_f(\tau )⟷p_f^{\mathrm{disc}}(\theta ,n):=\frac{|c_n(\theta ){|}^2}{{\sum }_k|c_k(\theta ){|}^2}.$

補題 1.2（作用素の写像則）

• 点積 $fg$：$\tau$-側畳み込み $\ast$ に対応、離散畳み込み $(c{\ast }_{\theta }d{)}_n={\sum }_k{c}_{n-k}(\theta )d_k(\theta )$。
• 決定的観測 $T_{K}f=f{\ast }_{M}K$：$\tau$-側点乗算 $U_{\sigma }f\cdot m$（$\Vert m{\Vert }_{\infty }\le 1$）。離散は対角乗算 $c_n\mapsto m(\theta +2\pi n/\log a)c_n$。
• 混合観測 $\overline{T}$：$\tau$-側畳み込み $U_{\sigma }f\ast \nu$（$\Vert \nu {\Vert }_{L^1}\le 1$）。離散は各 $\theta$ で ${\ell }^2\leftarrow {\ell }^2\ast {\ell }^1$。

2. 離散側の複雑度と幅

• 離散 Rényi-2（繊維ごと）：

  ${\mathsf{H}}_2^{\mathrm{disc}}(\theta ):=-\log {\sum }_{n\in \mathbb{Z}}(p_f^{\mathrm{disc}}(\theta ,n){)}^2,{\overline{\mathsf{H}}}_2^{\mathrm{disc}}:={\int }_{{\mathbb{T}}_a}{\mathsf{H}}_2^{\mathrm{disc}}(\theta )d\theta .$

  注：バーはθ-繊維積分（平均ではない）。

• 離散幅：${\mathrm{W}}_{\delta }^{\mathrm{disc}}(\theta ):=\#\{n:|c_n(\theta )|\ge \delta \}$, ${\overline{\mathrm{W}}}_{\delta }^{\mathrm{disc}}:={\int }_{{\mathbb{T}}_a}{\mathrm{W}}_{\delta }^{\mathrm{disc}}(\theta )d\theta$。

定理 2.1（連続–離散の二方向推移）

フレーム定数 $A,B$ に依存する定数 $C_{A,B}$ で

$|{\mathsf{H}}_2(f)-{\overline{\mathsf{H}}}_2^{\mathrm{disc}}|\le C_{A,B},{\mathrm{W}}_{\delta }(f){\asymp }_{A,B}{\overline{\mathrm{W}}}_{\delta \sqrt{A/B}}^{\mathrm{disc}}\pm C_{A,B}.$

依存の明示：$C_{A,B}$ は比 $B/A$ のみに依存し、典型上界は $O(\log (B/A))$。

証拠の筋：繊維ごとの ${\ell }^2$ 正規化と全体 $L^2$ 正規化のズレを Jensen とフレーム両側評価で挟む。

3. 相乗の定理（離散版）：第六論文の鏡像

以下、$\Vert \nu {\Vert }_{L^1}\le 1$。必要に応じ $U_{\sigma -1}f,U_{\sigma -1}g\in L^1\cap L^2$ を仮定。

S1-disc（点積の相乗）

$\begin{array}{rl}{\overline{\mathsf{H}}}_2^{\mathrm{disc}}(fg)& \ge {\overline{\mathsf{H}}}_2^{\mathrm{disc}}(f)+{\overline{\mathsf{H}}}_2^{\mathrm{disc}}(g)-\log \kappa (\eta )-C_{A,B},\\ {\overline{\mathrm{W}}}_{\delta }^{\mathrm{disc}}(fg)& \ge {\overline{\mathrm{W}}}_{{\delta }^{\prime }}^{\mathrm{disc}}(f)+{\overline{\mathrm{W}}}_{{\delta }^{\prime }}^{\mathrm{disc}}(g)-C(\eta )-C_{A,B}.\end{array}$

安全版エネルギー：

${\mathcal{E}}_{\sigma }[fg]\le C_{\sigma }\left({\mathcal{E}}_{\sigma }[f]\Vert U_{\sigma -1}g{\Vert }_{L^1}^2+{\mathcal{E}}_{\sigma }[g]\Vert U_{\sigma -1}f{\Vert }_{L^1}^2\right),$

ここで

$\boxed{C_{\sigma }\le 2\cosh (\sigma \log a)}$

（連続・離散いずれの記述でもこの上界で足りる）。

S2a-disc（決定的観測＝収縮）

繊維通過率

$Z(\theta ):={\sum }_n|m(\theta +2\pi n/\log a){|}^2{p}_f^{\mathrm{disc}}(\theta ,n)\in (0,1].$

すると

${\mathsf{H}}_2^{\mathrm{disc}}(T_{K}f;\theta )\ge {\mathsf{H}}_2^{\mathrm{disc}}(f;\theta )+2\log Z(\theta ),$

平均化して ${\overline{\mathsf{H}}}_2^{\mathrm{disc}}$ にも同様。

等号条件：$|m|=1$ on $\{p_f^{\mathrm{disc}}>0\}$（ゼロ集合上は任意）。

S2b-disc（混合観測＝相乗）

${\mathsf{H}}_2^{\mathrm{disc}}(\overline{T}f;\theta )\ge {\mathsf{H}}_2^{\mathrm{disc}}(f;\theta ),{\mathrm{W}}_{\delta }^{\mathrm{disc}}(\overline{T}f;\theta )\ge {\mathrm{W}}_{{\delta }^{\prime }}^{\mathrm{disc}}(f;\theta )-C(\eta ).$

等号条件の厳密形：

• 連続側：$\nu =e^{i\varphi }{\delta }_{{\tau }_0}$（全変動ノルム1の位相付きデルタ平行移動）
• 離散側：$\nu =e^{i\varphi }{\delta }_0$（繊維内シフトを別記する場合はその演算で等号）
• 生成例：
  • ランダムシフト：$\nu =\rho \ge 0,\int \rho =1$（確率核）
  • ランダム位相：$\nu =e^{i\varphi }\rho$（$|\rho |$ は確率核、$\nu$ は一般に非負ではない）、等号条件は $\nu =e^{i\varphi }{\delta }_{{\tau }_0}$／$e^{i\varphi }{\delta }_0$ に限る（確率核に限定するなら $\varphi =0$）

S3-disc（順序非可換の相乗）

$\mathcal{I}(\theta )=M_{m_1(\cdot +\theta )}S{M}_{m_2(\cdot +\theta )}$（$S$ ユニタリ、$m_i\in L^{\infty }$）。正則性の下で

$\boxed{\Delta {\overline{\mathsf{H}}}_2^{\mathrm{disc}}\ge c{\int }_{{\mathbb{T}}_a}\Vert [\mathcal{I}(\theta ),\mathcal{I}(\theta {)}^{†}]{\Vert }_{\mathrm{HS}}^{2}d\theta -c^{\prime }\Lambda (\eta )}.$

（Shannon 版は円周群 log-Sobolev で緩和。）

4. ノー・ピニング原理（連続＝離散で一致）

定理 4.1（決定的観測の等号は自明）

$T_{K}f$ が ${\mathsf{H}}_2$ または ${\overline{\mathsf{H}}}_2^{\mathrm{disc}}$ を全く変えないなら、$|m|=1$ a.e.（位相乗算のみ）—観測は情報を運んでいない。 （条件は $\{p_{\mathrm{in}}>0\}$ 上での意味。）

定理 4.2（混合観測の等号は自明）

$\overline{T}f$ が ${\mathsf{H}}_2$ あるいは ${\overline{\mathsf{H}}}_2^{\mathrm{disc}}$ を全く変えないのは、$\nu =e^{i\varphi }{\delta }_{{\tau }_0}$（連続）／$\nu =e^{i\varphi }{\delta }_0$（離散）のみ。—混合なし＝恒等。

系：主複合指標 ${\mathcal{C}}_{\Phi }:={\mathsf{H}}_2+{\mathrm{W}}_{\delta }$（無次元化版）について第六論文の主定理

$>{\mathcal{C}}_{\Phi }(\overline{T}{T}_{K}f)\ge {\mathcal{C}}_{\Phi }(f)+2\log Z+{\Delta }_{\mathrm{mix}}-\Lambda (\eta )>$

の等号は、位相乗算と恒等のみで達成。外部が自由意志で内部複雑度に一致させることは、この線形・有界の観測クラスでは不可能。

5. 任意底・任意漸化式への一般化

定理 5.1（底 $a>1$ の不変性）

V.6 のユニタリ $W=U_{{\sigma }^{\prime }}^{-1}{S}_c{U}_{\sigma }$（$c=\log a^{\prime }/\log a$）により、 ${\mathsf{H}}_2,{\mathrm{W}}_{\delta },{\overline{\mathsf{H}}}_2^{\mathrm{disc}},{\overline{\mathrm{W}}}_{\delta }^{\mathrm{disc}}$ は有界定数の範囲で等価。全定理は任意底で同値に成り立つ。

定理 5.2（線形漸化式の Frourio 同型）

線形漸化式

$x_n={\sum }_{k=1}^r{b}_k{x}_{n-k}$

の符号規約を固定して特性多項式 $P(z)=z^r-{\sum }_{k=1}^r{b}_k{z}^{r-k}$ をとる。

格子上の有限符号付き測度（分布）

$\boxed{T_P:={\delta }_{x=a^{n_0+r}}-\sum _{k=1}^r{b}_k{\delta }_{x=a^{n_0+r-k}}}$

を対応させると、Mellin 側乗数は

$m(\tau )=P\left(e^{i\tau \log a}\right),$

すなわち乗算 $U_{\sigma }\mapsto m(\tau )U_{\sigma }$。よって第六論文と本稿の不等式（相乗・収縮・ノー・ピニング）は任意漸化式でそのまま有効。

特例：フィボナッチ $x_n=x_{n-1}+x_{n-2}$ は $P(z)=z^2-z-1$、上式の一例。

6. 主定理（連続–離散統合）

定理 6.1（観測複雑度の統合下界）

$f\in H_{\sigma }$。決定的観測 $T_K$ と混合観測 $\overline{T}$ を連続または離散で施すと

$\boxed{{\mathcal{C}}_{\Phi }(\overline{T}{T}_{K}f)\ge {\mathcal{C}}_{\Phi }(f)+2\log Z+{\Delta }_{\mathrm{mix}}-\Lambda (\eta )\pm C_{A,B}}.$

ここで $Z=\int |m{|}^2{p}_f\in (0,1]$（離散なら ${\int }_{{\mathbb{T}}_a}{\sum }_n|m{|}^2{p}_f^{\mathrm{disc}}$）、 ${\Delta }_{\mathrm{mix}}\ge 0$ は混合由来の増分（Young 等号以外で厳密増）、 $\Lambda (\eta )=\log \kappa (\eta )+C(\eta )$（STMT・幅ペナルティ）。

備考：本不等式は ${\mathsf{H}}_2$ と ${\mathrm{W}}_{\delta }$ の厳密下界から導いており、エネルギー密度 ${\mathcal{D}}_{\sigma }$ の差分は右辺に寄与させていない（決定的観測では ${\mathcal{E}}_{\sigma }$ 非増加、混合では単調性を主張しない）。従って保守的な下界である。

7. ガウス模型での等号・鋭さ（検証）

• 連続：$U_{\sigma }f=A_1{e}^{-(\tau -{\mu }_1{)}^2/2s_1^2}$, $U_{\sigma }g=A_2{e}^{-(\tau -{\mu }_2{)}^2/2s_2^2}$。
  点積 $\Rightarrow$ 分散 $s_{fg}^2=s_1^2+s_2^2$ で ${\mathsf{H}}_2$ は厳密加法（定数を除く）。
  決定的観測 $m(\tau )=e^{-(\tau -\mu {)}^2/2t^2}$ では $2\log Z=\log \frac{t^2}{t^2+s_1^2}-\frac{2({\mu }_1-\mu {)}^2}{t^2+s_1^2}\le 0$ （中心一致 $\mu ={\mu }_1$ のとき $2\log Z=-\log (1+s_1^2/t^2)$）。
  混合観測 $\nu$ ガウス：${\mathsf{H}}_2$ 厳密増、等号は $\nu =e^{i\varphi }{\delta }_{{\tau }_0}$ のみ。
• 離散：各 $\theta$ で離散ガウス列。${\ell }^2$*${\ell }^1$ Young 等号・${\delta }_0$・ユニモジュラ対角で連続と等号条件が一致。

8. まとめと展望

• 到達点：

  1. 連続–離散の等長ブリッジ（測度正規化を明示）。
  2. 第六論文の S1/S2/S3 を離散で鏡像化し、等号条件も一致。
  3. ノー・ピニング原理：一致を強いると観測は自明化（位相/恒等）—連続・離散で同じ。
  4. 任意底 $a>1$・任意線形漸化式への完全一般化（分布 $T_P$ による乗数化）。

• 含意： 外部が「自由意志で内部複雑度に一致」させるほど、観測は成立しない（情報を運べない）。この構図は連続／離散で同型に成立。

• 今後：非線形・非有界操作の不可能性を CP 写像・情報幾何で厳密化。確率核の学習（実験データ）から $\nu$ 推定と最適観測設計へ。

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付録A：$\kappa (\eta )$ の代表上界（ガウス窓）

ガウス窓 $w(u)=(2\pi {\eta }^2{)}^{-1/2}{e}^{-u^2/2{\eta }^2}$ の STMT で $\kappa (\eta )\le C/\eta$（一定 $C$）。本文の $\Lambda (\eta )=\log \kappa (\eta )+C(\eta )$ に吸収可能。

付録B：Young 等号条件（$L^2\leftarrow L^2\ast L^1$／${\ell }^2\leftarrow {\ell }^2\ast {\ell }^1$）

• 連続：$\Vert f\ast \nu {\Vert }_2=\Vert f{\Vert }_2\Vert \nu {\Vert }_1$ の等号は $\Vert \nu {\Vert }_1=1$ かつ $\nu =e^{i\varphi }{\delta }_{{\tau }_0}$（位相付きデルタ平行移動）。
• 離散：$\Vert \mathbf{c}\ast \mathbf{\nu }{\Vert }_{{\ell }^2}=\Vert \mathbf{c}{\Vert }_{{\ell }^2}\Vert \mathbf{\nu }{\Vert }_{{\ell }^1}$ の等号は $\Vert \mathbf{\nu }{\Vert }_{{\ell }^1}=1$ かつ $\mathbf{\nu }=e^{i\varphi }{\delta }_0$。

付録C：決定的観測の等号（$2\log Z$）と零集合

$p_{\mathrm{out}}=\frac{|m{|}^2{p}_{\mathrm{in}}}{Z},\int p_{\mathrm{out}}^2=\frac{1}{Z^2}\int |m{|}^4{p}_{\mathrm{in}}^2\le \frac{1}{Z^2}\int p_{\mathrm{in}}^2$

より ${\mathsf{H}}_2(\mathrm{out})\ge {\mathsf{H}}_2(\mathrm{in})+2\log Z$。等号は $|m|=1$ on $\{p_{\mathrm{in}}>0\}$（零集合 $\{p_{\mathrm{in}}=0\}$ 上は任意）。