要旨

Frourio 第五論文のフレーム／半群／幅加法を軸に，「系の内部複雑度」と「外部観測複雑度」の向きの揃った不等式を与える。要点は：

• S1（点積の相乗）: 系の積 $fg$ に対し，幅の下界加法と Rényi-2 の劣加法下界。エネルギーは定数付き劣加法で安全に評価。

• S2a（決定的観測＝収縮）: $T_{K}f=f{\ast }_{M}K$ で Mellin 側点乗算。Rényi-2 は $2\log Z$ まで減少し得る（$Z$ は通過率），幅とエネルギーも非増加。

• S2b（混合観測＝相乗）: 観測のランダム化で Mellin 側畳み込みを作ると Rényi-2 と幅は非減少（増分 ${\Delta }_{\mathrm{mix}}\ge 0$）。

• S3（非可換相乗）: 繊維作用素の 可換度（HS ノルム） が Rényi-2 増分の下界を与える。Shannon 版は log-Sobolev で緩和。

• 主定理（統合）: $\overline{T}{T}_K$ の下で複合複雑度 ${\mathcal{C}}_{\Phi }$ が

  ${\mathcal{C}}_{\Phi }(\overline{T}{T}_K\psi )\ge {\mathcal{C}}_{\Phi }(\psi )+\underset{\le 0}{\underbrace{2\log Z}}+{\Delta }_{\mathrm{mix}}-\Lambda (\eta )$

  を満たす（$\Lambda (\eta )$ は窓起因定数）。決定的観測は収縮，混合は相乗という直感を厳密化した。

ログ・ガウス模型で等号／反例／相乗成立を明示計算し，定数の鋭さも確認する。

0. 予備・記法・仮定ボックス

• 測度・空間: 乗法ハール $d\mu (x)=dx/x$。 $H_{\sigma }:=L^2((0,\infty ),x^{2\sigma -1}dx)$，$U_{\sigma }f(\tau ):=\mathcal{M}[f](\sigma +i\tau )$（等長）。

• エネルギー:

  ${\mathcal{E}}_{\sigma }[f]=\frac{1}{2\pi }{\int }_{\mathbb{R}}\left|S_{-(\sigma +i\tau )}{|}^2\right|U_{\sigma -1}f(\tau ){|}^{2}d\tau ,S_{-s}=a^{-s}-a^s.$

• STMT（窓 $w\in L^1\cap L^2$ 固定，中心 $\xi$ 固定）:

  ${\mathcal{M}}_w[f](\sigma +i\tau ;\xi )={\int }_0^{\infty }f(x)w(\log x-\xi )x^{\sigma -1+i\tau }dx.$

  幅:\ ${\mathrm{width}}_{\delta }(f):=\mathrm{meas}\{\tau :|{\mathcal{M}}_w[f](\sigma +i\tau ;\xi )|\ge \delta \}$。

• 無次元化： 正規化密度 $p_f(\tau )=\frac{|U_{\sigma }f(\tau ){|}^2}{\frac{1}{2\pi }\int |U_{\sigma }f{|}^2}$。 Rényi-2$:{\mathsf{H}}_2(f):=-\log \int p_f^2$。 正規化幅 ${\mathrm{W}}_{\delta }(f):=\frac{{\mathrm{width}}_{\delta }(f)}{1+{\mathrm{width}}_{\delta }(f)}\in (0,1)$。 エネルギー密度 ${\mathcal{D}}_{\sigma }(f):=\frac{{\mathcal{E}}_{\sigma }[f]}{\frac{1}{2\pi }\int |U_{\sigma }f{|}^2}$。

• 複合複雑度（係数は推奨値）:

  $\boxed{{\mathcal{C}}_{\Phi }(f):=\underset{\alpha =1}{\underbrace{{\mathsf{H}}_2(f)}}+\underset{\beta }{\underbrace{\frac{\log a}{\pi }{\mathcal{D}}_{\sigma }(f)}}+\underset{\gamma =1}{\underbrace{{\mathrm{W}}_{\delta }(f)}}}.$

  （V.6 の再標度で等価。以後 $\mathrm{essinf}/\mathrm{esssup}$ を用いる。）

• 可積分性（以後の前提）: 必要に応じて

  $U_{\sigma -1}f,U_{\sigma -1}g\in L^1(\mathbb{R})\cap L^2(\mathbb{R})$

  を仮定（STMT のガウス・単峰仮定の下で成立）。

• STMT 定数の再掲（ガウス窓 $w(u)=(2\pi {\eta }^2{)}^{-1/2}{e}^{-u^2/(2{\eta }^2)}$）:

  ${\delta }^{\prime }=\delta e^{-{\eta }^2/2},C(\eta )=4\sqrt{2\pi }\eta ,C_1(\eta )=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\eta },\kappa (\eta )\lesssim {\eta }^{-1}.$

  以後，これらと誤差を $\Lambda (\eta )$ に吸収。

1. S1 — 点積の相乗（幅＋Rényi-2＋エネルギー）

定理 1（幅の下界加法）

${\mathrm{width}}_{\delta }(fg)\ge {\mathrm{width}}_{{\delta }^{\prime }}(f)+{\mathrm{width}}_{{\delta }^{\prime }}(g)-C(\eta ).$

定理 2（Rényi-2 の劣加法下界）

ある $\kappa (\eta )$ があり

$\boxed{{\mathsf{H}}_2(fg)\ge {\mathsf{H}}_2(f)+{\mathsf{H}}_2(g)-\log \kappa (\eta )}（付録A参照）.$

スケッチ：$U_{\sigma }(fg)=(U_{\sigma }f)\ast (U_{\sigma }g)$。Hölder/Young と正規化で $\Vert p_{fg}{\Vert }_2\le \kappa (\eta {)}^{1/2}\Vert p_f{\Vert }_2\Vert p_g{\Vert }_2$。

命題 3（エネルギー：安全な定数付き劣加法）

$\boxed{{\mathcal{E}}_{\sigma }[fg]\le C_{\sigma }({\mathcal{E}}_{\sigma }[f]\Vert U_{\sigma -1}g{\Vert }_{L^1}^2+{\mathcal{E}}_{\sigma }[g]\Vert U_{\sigma -1}f{\Vert }_{L^1}^2),}$

$C_{\sigma }={\mathrm{esssup}}_{\tau }|S_{-(\sigma +i\tau )}|\le 2\cosh (\sigma \log a)$。

備考：ログ・ガウスで係数 1（付録 A）。

2. S2 — 観測と複雑度：決定的 vs 混合

観測 $T_{K}f=f{\ast }_{M}K$，Mellin 側で $U_{\sigma }(T_{K}f)=U_{\sigma }f\cdot m$，$\Vert m{\Vert }_{L^{\infty }}\le 1$。

2.1 S2a（決定的観測＝収縮）

通過率 $Z:=\int |m{|}^2{p}_f\in (0,1]$（非自明観測 $Z>0$ を仮定）。

$\begin{array}{rl}& \text{規模：}\Vert U_{\sigma }(T_{K}f){\Vert }_2^2=Z\Vert U_{\sigma }f{\Vert }_2^2(\text{非増加}),\\ & \text{幅：}{\mathrm{width}}_{\delta }(T_{K}f)\le {\mathrm{width}}_{\delta }(f)+C(\eta ),\\ & \text{エネルギー：}{\mathcal{E}}_{\sigma }[T_{K}f]\le {\mathcal{E}}_{\sigma }[f],\\ & \boxed{{\mathsf{H}}_2(T_{K}f)\ge {\mathsf{H}}_2(f)+2\log Z(\le {\mathsf{H}}_2(f))}.\end{array}$

証明（${\mathsf{H}}_2$）: $p_{\mathrm{out}}=\frac{|m{|}^2{p}_{\mathrm{in}}}{Z}\Rightarrow \int p_{\mathrm{out}}^2\le Z^{-2}\int p_{\mathrm{in}}^2$。

注：規模項は非増加なので ${\mathcal{C}}_{\Phi }$ の下界には寄与しない（別定理として対数化版に吸収可）。

2.2 S2b（混合観測＝相乗）

$\Theta$ に依存する核 $K_{\Theta }$ を平均 $\overline{T}f:={\mathbb{E}}_{\Theta }[T_{K_{\Theta }}f]$。Mellin 側

$U_{\sigma }(\overline{T}f)=U_{\sigma }f\ast \nu ,\nu (\tau ):={\mathbb{E}}_{\Theta }[m_{\Theta }(\tau )],\Vert \nu {\Vert }_{L^1}\le 1.$

生成例（確率核 $\Vert \nu {\Vert }_1=1$）：ランダム位相／ランダムシフト $\Theta \sim \rho \ge 0,\int \rho =1$ で $U_{\sigma }f\mapsto U_{\sigma }f\ast \rho$。

$\boxed{{\mathsf{H}}_2(\overline{T}f)\ge {\mathsf{H}}_2(f),{\mathrm{width}}_{\delta }(\overline{T}f)\ge {\mathrm{width}}_{{\delta }^{\prime }}(f)-C(\eta ).}$

3. S3 — 非可換相乗（繊維作用素）

$\mathcal{I}(\theta )=M_{m_1(\theta )}S{M}_{m_2(\theta )}$。正則性：$m_i\in L^{\infty }$，$S$ は繊維上ユニタリ，$[\mathcal{I}(\theta ),\mathcal{I}(\theta {)}^{†}]$ は HS。 主張（Rényi-2 下界）：$\Delta {\mathsf{H}}_2$ は

$\Delta {\mathsf{H}}_2\ge c{\int }_{{\mathbb{T}}_a}\Vert [\mathcal{I}(\theta ),\mathcal{I}(\theta {)}^{†}]{\Vert }_{\mathrm{HS}}^{2}d\theta -c^{\prime }\Lambda (\eta ),$

（定数 $c,c^{\prime }>0$）。

Shannon 版（補助）：離散繊維上の log-Sobolev（Beckner/Gross 型）で緩和。

4. 統合主定理 — 観測複雑度不等式

定理 4（統合）

$\overline{T}$ を混合観測，$T_K$ を決定的観測とし，通過率 $Z=\int |m{|}^2{p}_{\psi }\in (0,1]$。 ある $\Lambda (\eta )$ があり

$\boxed{{\mathcal{C}}_{\Phi }(\overline{T}{T}_K\psi )\ge {\mathcal{C}}_{\Phi }(\psi )+\underset{\le 0}{\underbrace{2\log Z}}+\underset{\ge 0}{\underbrace{{\Delta }_{\mathrm{mix}}}}-\Lambda (\eta )},$

ここで ${\Delta }_{\mathrm{mix}}$ は S2b/S1 起因の非負増分（Rényi-2 と幅）。$\Lambda (\eta )$ は STMT 誤差・幅ペナルティ $C(\eta )$，$\log \kappa (\eta )$ を一括吸収。

備考（エネルギー密度の扱い）：本不等式は ${\mathsf{H}}_2$ と ${\mathrm{W}}_{\delta }$ に対する厳密下界から導出しており，エネルギー密度 ${\mathcal{D}}_{\sigma }$ の差分は右辺に寄与させていない（決定的観測では ${\mathcal{E}}_{\sigma }$ は非増加，混合観測では単調性を主張しない）。従って右辺を大きくしない保守的な下界になっている。

解釈：決定的観測は収縮（$+2\log Z\le 0$），混合は相乗（$+{\Delta }_{\mathrm{mix}}\ge 0$）。設計で ${\Delta }_{\mathrm{mix}}$ が $-2\log Z$ を上回れば純増が得られる。

5. 例：ログ・ガウス模型（検証）

$U_{\sigma }f(\tau )=A_1{e}^{-(\tau -{\tau }_1{)}^2/(2{\sigma }_1^2)}$，$U_{\sigma }g(\tau )=A_2{e}^{-(\tau -{\tau }_2{)}^2/(2{\sigma }_2^2)}$。

• 点積：$U_{\sigma }(fg)=(\cdot )\ast (\cdot )$ はガウス→分散 ${\sigma }_{fg}^2={\sigma }_1^2+{\sigma }_2^2$。 ${\mathsf{H}}_2$ と Shannon は（定数を除き）加法，幅は厳密加法（窓項除く）。

• 決定的観測：$m(\tau )=e^{-(\tau -{\tau }_0{)}^2/(2s^2)}$ で $Z=\frac{s}{\sqrt{{\sigma }_1^2+s^2}}{e}^{-\frac{({\tau }_1-{\tau }_0{)}^2}{{\sigma }_1^2+s^2}}\in (0,1]$。 ${\mathsf{H}}_2$ は $+2\log Z$ 低下（鋭い）。

• 混合観測：ランダム位相 $\Theta \sim \mathcal{N}(0,t^2)$→$\nu =\mathcal{N}(0,t^2)$。 $U_{\sigma }(\overline{T}f)=U_{\sigma }f\ast \nu$ で ${\mathsf{H}}_2$非減少，幅も増大。

6. 応用と備考

• 量子情報：決定的測定は純度を下げないとは限らず（${\mathsf{H}}_2$ 減少），ランダム化測定は情報拡散（${\mathsf{H}}_2$ 非減少）。
• 熱力学的解釈：観測列 $\overline{T}{T}_K$ の繰返しで $\sum \Delta {\mathcal{C}}_{\Phi }\ge \sum (2\log Z_i)+\sum {\Delta }_{\mathrm{mix},i}-N\Lambda$。
• 社会システム：内部通信を混合化（情報拡散）し外部への決定的露出を抑える設計で ${\Delta }_{\mathrm{mix}}$ が勝れば維持条件を満たしやすい。

付録 A：定数の一例と等号検証（ガウス）

• $\kappa (\eta )=C_1(\eta )=1/(\sqrt{2\pi }\eta )$ が代表的上界。
• S1 のエネルギーはガウスで係数 1。
• S2a の ${\mathsf{H}}_2$ 減少は $+2\log Z$ が鋭い。

付録 B：Shannon 版（補助命題・概略）

• 点積の Shannon 増分：EPI/Blachman-Stam の前提（有限 2 次モーメント，正規化）下で加法型。
• 非可換相乗→Shannon：離散繊維上の log-Sobolev（Beckner/Gross）で ${\mathsf{H}}_2\uparrow \Rightarrow H\uparrow$。

付録 C：正則性と可換度

• $m_i\in L^{\infty }$，$S$ ユニタリ。
• $[\mathcal{I},{\mathcal{I}}^{†}]$ が HS：$\Vert m_i{\Vert }_{\infty }$ と $S$ の核で制御。
• V.12 の繊維ギャップと S3 の可換度下界は相補的（ギャップが大きいと順序効果が顕在化しやすい）。

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結語

決定的観測＝収縮，混合観測＝相乗を，幅＋Rényi-2＋エネルギー密度で統一的に数式化した。 主定理は通過率 $Z$ と混合増分 ${\Delta }_{\mathrm{mix}}$ のシンプルな対比で読み下せる。 本稿は第五論文までの装置に観測の数学を接続し，情報論・物理・社会系の「順序効果」や「相乗設計」に直接使える標準形を与える。