要旨

金属比 $\Lambda >1$ によるスケール較正を備えたフルーリオ幾何（FG）を束・接続・曲率でゲージ化し，

1. 共変 Frourio 変換の非拡大性と測度（準）不変の仮定（M1–M3）を明示（Jensen による一行根拠を追記）
2. 第一変分から定まる Noether 流によるWard 弱同一性と曲率線形アノマリーを定式化（${\mathcal{K}}_X$ の道しるべ付）
3. 収縮は常に基底測度側で評価し，曲率優越仮定（Assumption）から ${\lambda }_{\mathrm{base}}$ を導入
4. Frourio–Dirac 指数を「Chern 数＋クラッチング次数」として標準化
5. 離散化で位相不変量が最終的に一定となる規格化閾値を提示
6. OU 型基底などの短い計算例を補い，フルーリオ幾何学第一論文から第三論文との橋渡し節

を追加した。幾何語彙のみで自足し，フルーリオ幾何学第三論文までのスケール骨格と整合する。

0. 規約・符号・記法の統一

• 基底幾何：完備測地空間 $(X,d)$，確率測度 $\mu$。

• スケール：連続流は ${\Phi }_s$，離散は $S_{{\Lambda }^k}$ を用いる（以後この使い分けに固定）。

• Wasserstein：本稿の $W_2$ は常に基底の確率測度空間 ${\mathcal{P}}_2(X)$ の距離。

• 束と接続：Hermitian ベクトル束 $\pi :E\to X$，繊維計量 $h$，接続 $\nabla$，曲率 $F\in {\Omega }^2(X,\mathfrak{u}(E))$。

• 準不変性の記号：$({\Phi }_s{)}_{\#}\mu =\vartheta (s)\mu$（$\vartheta >0$）で統一。

• スケール係数（掲示は一度のみ）：

  $\boxed{{\lambda }_{\mathrm{eff}}={\Lambda }^{(\kappa -2\alpha )k}\lambda }.$

  ここで距離が等長なら $\alpha =0$，相似なら $\alpha >0$。生成子の同次度は $\kappa >0$。

1. 共変 Frourio 変換（定義・非拡大・可換性）

1.1 定義

スケール流の平均と繊維位相回転の合成を

${\mathcal{T}}^{\nabla }={\mathcal{U}}^{\nabla }\circ \mathcal{A}:\Gamma (E)\to \Gamma (E)$

と定める。ここで

$({\mathcal{U}}^{\nabla }\Psi )(x)=\int {\mathrm{Hol}}^A({\Phi }_{-s}(x)\to x)\Psi ({\Phi }_{-s}x)d\upsilon (s),(\mathcal{A}\Psi )(x)=u(x)\Psi (x),u(x)\in \mathrm{U}(E_x),$

$\upsilon$ はスケール方向の確率測度（平均の核）。${\mathrm{Hol}}^A$ は $\nabla$ のホロノミー。

1.2 仮定（M1–M3）と L ${}^2$ -非拡大性

• (M1) $({\Phi }_s{)}_{\#}\mu =\mu$（準不変の場合は $d({\Phi }_s{)}_{\#}\mu /d\mu =\vartheta (s)$ を $\upsilon$ に吸収）。
• (M2) ${\mathrm{Hol}}^A$ は繊維でユニタリ（$h$ を保存）。
• (M3) $\upsilon$ は確率測度。

Jensen 一行：準不変でも ${\mathcal{U}}^{\nabla }$ は「繊維でユニタリの平均」なので $\Vert {\mathcal{U}}^{\nabla }{\Vert }_{L^2\to L^2}\le 1$。よって ${\mathcal{T}}^{\nabla }$ も 非拡大。

1.3 基底との可換性（収縮の分離）

十分条件：${\Phi }_s$ が $(X,d)$ の等長変換で $\mu$ を保ち，生成子 $\mathcal{L}$ に対し

${\Phi }_s^{-1}\circ \mathcal{L}\circ {\Phi }_s=\mathcal{L}.$

（例：Riemann 多様体で Killing 流かつポテンシャル $V\circ {\Phi }_s=V$。）

このとき ${\mathcal{T}}^{\nabla }$ は基底輸送幾何と可換で，収縮評価は基底側に分離できる。

2. Ward–Bianchi 複体（第一変分による弱同一性）

2.1 Noether 流とアノマリー

汎関数 $\mathcal{C}:\Gamma (E)\to \mathbb{R}$ の第一変分 $\mathbf{D}\mathcal{C}(\Psi )\in \Gamma (E^{\vee }\otimes T^{\ast }X)$ から

$\boxed{J_X(\Psi ):={\iota }_X(⟨\mathbf{D}\mathcal{C}(\Psi ),\Psi {⟩}_h)\in {\Omega }^1(X)}.$

Ward（弱形式）：

$\boxed{{\mathrm{div}}^{\nabla }{J}_X(\Psi )={\mathfrak{a}}_X(F;\Psi )},{\mathfrak{a}}_X(F):=⟨{\mathcal{K}}_X(\Psi ),F⟩.$

道しるべ（例）：$\mathcal{C}(\Psi )={\int }_X⟨B(\Psi ),\Psi {⟩}_{h}d\mu$ なら

$\boxed{{\mathcal{K}}_X=\frac{1}{2}({\iota }_{X}B+{\iota }_X{B}^{†})}.$

2.2 Bianchi と閉性

$\nabla F=0$（Bianchi）より ${\mathrm{d}}^{\nabla }{\mathfrak{a}}_X(F)=0$。平坦 $F\equiv 0$ では ${\mathrm{div}}^{\nabla }{J}_X\equiv 0$（保存）。

3. 収縮幾何と Noether 量の指数減衰

3.1 収縮は基底測度で評価

可換性（§1.3）下で，基底の確率測度曲線 $p_t,q_t\in {\mathcal{P}}_2(X)$ に対し

$\frac{1}{2}\frac{d^{+}}{dt}{W}_2^2(p_t,q_t)+{\lambda }_{\mathrm{eff}}{W}_2^2(p_t,q_t)\le 0.$

3.2 Assumption（Curvature dominance）

${\mathrm{Ric}}_{\mu }\ge \lambda g,\Vert \mathrm{ad}(A){\Vert }_{h\to h}\le \rho$

とする。このとき

$\boxed{{\lambda }_{\mathrm{base}}:=\lambda -c{\rho }^2>0}.$

ここで $\Vert \mathrm{ad}(A){\Vert }_{h\to h}$ は各点の繊維計量 $h$ による作用素ノルムの本質上確界。定数 $c$ はBochner–Lichnerowicz／Weitzenböck 型推定に依存し，基底の次元・束階数・等質定数のみに依る。

3.3 Noether 量の指数減衰

$Q_X(\Psi )={\int }_X⟨\mathbf{D}\mathcal{C}(\Psi ),{\mathcal{L}}_X\Psi ⟩d\mu .$

曲線 ${\Psi }_t$ に対し

$\frac{d}{dt}{\mathcal{Q}}_X({\Psi }_t)\le -2{\lambda }_{\mathrm{base}}{\mathcal{Q}}_X({\Psi }_t)\Rightarrow \boxed{|Q_X({\Psi }_t)|\le C{e}^{-{\lambda }_{\mathrm{base}}t}},$

$C={\sup }_t\Vert \mathbf{D}\mathcal{C}({\Psi }_t){\Vert }_{H^1}$（有限と仮定）。

4. Frourio–Dirac 指数：Chern 数＋クラッチング次数

4.1 作用素と作用素論の但し書き

${\mathbb{T}}_{\Lambda }\times \mathbb{T}$ 上で

${\mathcal{D}}_{\mathrm{prin}}^{\nabla }=\left(\begin{array}{cc}0& {\nabla }_{X_{\tau }}+i{\nabla }_{X_{\theta }}\\ {\nabla }_{X_{\tau }}-i{\nabla }_{X_{\theta }}& 0\end{array}\right),{\mathcal{D}}_F^{\nabla }={\mathcal{D}}_{\mathrm{prin}}^{\nabla }+\left(\begin{array}{cc}0& V_{\Lambda }\\ V_{\Lambda }^{†}& 0\end{array}\right),$

$V_{\Lambda }$ は金属較正由来の0 次有界摂動。 ${\mathcal{D}}_{\mathrm{prin}}^{\nabla }$ は $C^{\infty }$ 稠密核上で対称・閉包で自己共役，$V_{\Lambda }$ は有界ゆえ 指数は不変（Kato–Rellich）。

4.2 クラッチング次数 $k$ と指数

金属格子方向のクラッチングで得る U(1) 線束 $L_k\to {\mathbb{T}}_{\Lambda }\times \mathbb{T}$ を取り，一定曲率の平滑接続 $A_k$（$\mathrm{deg}{L}_k=c_1(L_k)=k$）を選ぶ：

$\frac{1}{2\pi i}\int \mathrm{Tr}{F}_{A_k}=k\in \mathbb{Z}.$

合成接続を $\nabla \oplus A_k$ とすれば

$\boxed{\mathrm{ind}{\mathcal{D}}_F^{\nabla }=\frac{1}{2\pi i}{\int }_{{\mathbb{T}}_{\Lambda }\times \mathbb{T}}\mathrm{Tr}F+k}.$

幾何学的意味：$k$ はトーラスの遷移写像（クラッチング）$\mathbb{T}\to \mathrm{U}(1)$ の次数＝$L_k$ の $c_1$。

5. 離散化：Bianchi と最終一定（規格化閾値）

5.1 離散接続と Bianchi

差分接続 $D_n=\mathrm{Ad}(e^{B_n})\circ \mathrm{shift}-\mathrm{id}$ に対し

$D_n{F}_{\theta \tau }+D_{\theta }{F}_{\tau n}+D_{\tau }{F}_{n\theta }=0.$

5.2 位相不変量の安定（規格化十分条件と理由）

離散曲率 $F^{(h)}$ が

$\boxed{|\frac{1}{2\pi i}\int \mathrm{Tr}(F^{(h)}-F\left)\right|<\frac{1}{2}}$

かつホロノミーが $\Vert {\mathrm{Hol}}^{(h)}-\mathrm{Hol}{\Vert }_{\mathrm{op}}$ で一様に小さければ

$\frac{1}{2\pi i}\int \mathrm{Tr}{F}^{(h)}=\frac{1}{2\pi i}\int \mathrm{Tr}F.$

理由：$\frac{1}{2\pi i}\int \mathrm{Tr}F$ は $H^2({\mathbb{T}}^2;\mathbb{Z})\cong \mathbb{Z}$ の整数値不変量。連続近似で半整数未満の摂動では最近整数に丸めても変わらない＝「整数は飛ばない」。

5.3 収縮係数の下方半連続

フレーム比制御・曲率/ホロノミーの一様可積分性の下で ${\lambda }_{\mathrm{eff}}$ は下方半連続。

6. 例と計算の最小骨子

6.1 OU 型基底（Riemann 多様体）

$(X,g)$ Riemann，多様体測度 $d\mu \propto e^{-V}d{\mathrm{vol}}_g$ で $\mathrm{Ric}+{\nabla }^{2}V\ge \lambda g$。 ${\Phi }_s$ を $g$-等長・$V$-不変の流とし，$\mathcal{L}$ は保形対称。$\Vert \mathrm{ad}(A)\Vert \le \rho$ で Assumption が成り立つ。 平行移動ベクトル場 $X_{\mathrm{tr}}$ に対し

$\frac{d}{dt}{\mathcal{Q}}_{X_{\mathrm{tr}}}({\Psi }_t)\le -2{\lambda }_{\mathrm{base}}{\mathcal{Q}}_{X_{\mathrm{tr}}}({\Psi }_t)\Rightarrow |Q_{X_{\mathrm{tr}}}({\Psi }_t)|\le C{e}^{-{\lambda }_{\mathrm{base}}t}.$

6.2 平坦・可換

$F\equiv 0$, $u(x)=e^{i\varphi (x)}\mathrm{id}$。Ward は閉，Noether 量は保存。指数は $\mathrm{ind}=k$。

7. 第一論文から第三論文との橋渡し

• 第一論文（スケールと EVI）：本稿の収縮は常に基底側に置き，${\lambda }_{\mathrm{eff}}$ のスケール則（掲示式）に一致。
• 第二論文（観測複雑度）：決定操作（繊維位相）と混合（スケール平均）は本稿の $\mathcal{A},{\mathcal{U}}^{\nabla }$ に対応し，Ward の等号剛性は Young 等号と整合。
• 第三論文（Γ-収束）：§5 の最終一定と下方半連続は第三論文のモノイド・動的作用の安定性と平行。

付録 A：スケール法則の要約

距離が等長（$\alpha =0$）なら時間再標定のみ，相似（$\alpha >0$）では $W_2$ が ${\Lambda }^{\alpha k}$ 倍にスケールし

$\boxed{{\lambda }_{\mathrm{eff}}={\Lambda }^{(\kappa -2\alpha )k}\lambda }.$

付録 B：金属摂動の定数

金属差分に由来する 0 次端omorphism ${\Xi }_{\Lambda }$ は評価線 $\sigma$ に対し

$\Vert {\Xi }_{\Lambda }{\Vert }_{\infty }=2\cosh (\sigma \log \Lambda ),$

ゆえに $\Lambda =\phi$ で極小（零点格子間隔最大）。

結語

本稿は，(M1)–(M3) に基づく非拡大・準不変・可換の枠で Ward–Bianchi 複体，曲率優越による指数減衰，および「Chern 数＋クラッチング次数」としての Frourio–Dirac 指数を統合した。離散化では規格化閾値 $(<\frac{1}{2})$ とホロノミー近接の下で整数不変量の最終一定を保証し，金属較正（特に $\Lambda =\phi$）が安定設計の保守点となる。

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