要旨

本稿はフルーリオ幾何学（FG）における観測チャネルを、（決定的）乗算と（混合）畳み込みから成る合成モノイドとして定式化し、再パラメータ化不変の $H^{-1}$ 動的作用 の下で最小曲線（最小作用パス）を厳密に扱う。複合指標

${\mathcal{C}}_{\Phi }(p)={\mathsf{H}}_2(p)+\beta {\overline{\mathrm{W}}}_{\delta }(p)+\gamma {\mathcal{D}}_{\sigma }(p)$

（Rényi-2・中心平均幅・エネルギー）を用いて

1. 観測による増減の主不等式
2. 等号の固定不能性原理
3. Noether 保存と曲率下の散逸（Noether II）を二次型で整合させた Ward の弱形式
4. Zak–Mellin 離散化に対するΓ-収束（位相・liminf/limsup 骨子・エクイコアシビティ）

を与える。技術的な要点は次の通り。

• 確率核への統一：混合は確率核（全変動 1）に限定
• 決定的ステップの非退化：正規化係数 $Z=\int |m{|}^{2}p>0$ を明記
• エネルギー辞書の固定：$r={\mathsf{K}}_{\sigma }p$（有界線形）を採用
• $H^{-1}$ 動的作用：${\mathcal{S}}_{\mathrm{dyn}}=\int \Vert {\partial }_t{p}_t{\Vert }_{{\mathsf{L}}^{-1}}dt$ を主作用に
• 変分勾配の定数吸収：確率単体上の曖昧さは常に ${\Pi }_0$（平均ゼロ射影）で規格化
• Noether II（二次型）：${\mathcal{Q}}_X=⟨{\Pi }_0(X\cdot p),{\mathsf{L}}^{-1}{\Pi }_0(X\cdot p)⟩$ に対し $\frac{d}{dt}{\mathcal{Q}}_X\le -2\lambda {\mathcal{Q}}_X$

0. 規約・前提・記法

基空間：スケール円 ${\mathbb{T}}_{\Lambda }=[0,2\pi /\log \Lambda )$（未正規化 Lebesgue）。確率密度 $p\ge 0$, ${\int }_{{\mathbb{T}}_{\Lambda }}p=1$。

ノルム：関数の $L^1,L^2$ は $\Vert \cdot {\Vert }_1,\Vert \cdot {\Vert }_2$。測度核のノルムは全変動 $\Vert \cdot {\Vert }_{TV}$。

射影：${\Pi }_{0}f:=f-\int f$（平均ゼロ）。以後、変分勾配は常に ${\Pi }_0$ をかけて評価する（確率単体上の定数ずれを除去）。

生成子：$\mathsf{L}$ は ${\mathbb{T}}_{\Lambda }$ 上の対称 Markov 生成子（不変測度は Lebesgue）。必要に応じ CD $(\lambda ,\infty )$（Bakry–Émery）を仮定。Poincaré（SG）$:⟨f,-\mathsf{L}f⟩\ge \lambda \Vert {\Pi }_{0}f{\Vert }_2^2$。

$H^{-1}$／$H^1$：$\Vert \varphi {\Vert }_{{\mathsf{L}}^{-1}}^2:=⟨{\Pi }_0\varphi ,{\mathsf{L}}^{-1}{\Pi }_0\varphi ⟩$、$\Vert f{\Vert }_{H^1(\mathsf{L})}^2:=\Vert f{\Vert }_2^2+⟨f,-\mathsf{L}f⟩$。

幅の中心平均と正則化： ${\overline{\mathrm{W}}}_{\delta }(p):=\frac{1}{|{\mathbb{T}}_{\Lambda }|}{\int }_{{\mathbb{T}}_{\Lambda }}{\mathrm{W}}_{\delta }(p;\xi )d\xi$。 変分は滑らか近似 ${\overline{\mathrm{W}}}_{\delta ,\epsilon }$ で行い、式を立てた後 $\epsilon \downarrow 0$ の BV 極限で回収。

エネルギー辞書（固定）：

$r={\mathsf{K}}_{\sigma }p,\Vert {\mathsf{K}}_{\sigma }\Vert \le C_{\sigma }<\infty .$

${\mathcal{D}}_{\sigma }(p)=\int |S_{-(\sigma +i\tau )}{|}^{2}r(\tau )d\tau .$

$\frac{\delta {\mathcal{D}}_{\sigma }}{\delta p}={\Pi }_0{\mathsf{K}}_{\sigma }^{\ast }(|S_{-(\sigma +i\cdot )}{|}^2)(\text{定数加算は }{\Pi }_0\text{で吸収}).$

1. チャネル合成モノイド

混合（Markov）：$C_{\nu }:p\mapsto p\ast \nu$、$\nu \ge 0,\Vert \nu {\Vert }_{TV}=1$。

決定的（等長）：$M_m:p\mapsto |m{|}^{2}p/\int |m{|}^{2}p$、$m\in L^{\infty },\Vert m{\Vert }_{\infty }\le 1$。

非退化条件：$Z:=\int |m{|}^{2}p>0$（十分条件：$p>0$ a.e. または $|m|>0$ が $p$-a.e.）。退化境界は $m_{\epsilon }=\sqrt{|m{|}^2+\epsilon }$ で近似可。

モノイド：$\mathfrak{C}=\overline{⟨M_m,C_{\nu }⟩}$（合成＋強極限で閉）。反転 $\tau \mapsto -\tau$ で共役しても閉じる（${\mathbb{Z}}_2$ 半直積）。

2. 複合指標と変分勾配

$\boxed{{\mathcal{C}}_{\Phi }(p)={\mathsf{H}}_2(p)+\beta {\overline{\mathrm{W}}}_{\delta }(p)+\gamma {\mathcal{D}}_{\sigma }(p)},{\mathsf{H}}_2(p)=-\log \int p^2.$

変分勾配（${\Pi }_0$ 規格化）

$\frac{\delta {\mathsf{H}}_2}{\delta p}={\Pi }_0\left(-\frac{2p}{\int p^2}\right),\frac{\delta {\overline{\mathrm{W}}}_{\delta }}{\delta p}={\lim }_{\epsilon \downarrow 0}{\Pi }_0\left(\frac{\delta {\overline{\mathrm{W}}}_{\delta ,\epsilon }}{\delta p}\right),\frac{\delta {\mathcal{D}}_{\sigma }}{\delta p}={\Pi }_0{\mathsf{K}}_{\sigma }^{\ast }(|S{|}^2).$

3. 主不等式と固定不能性原理

混合（相乗）：$\Vert p\ast \nu {\Vert }_2\le \Vert p{\Vert }_2\Rightarrow {\mathsf{H}}_2(p\ast \nu )\ge {\mathsf{H}}_2(p)$。

決定的（収縮）：${\mathsf{H}}_2(M_{m}p)\ge {\mathsf{H}}_2(p)+2\log Z$（$Z=\int |m{|}^{2}p$）。

幅：${\overline{\mathrm{W}}}_{\delta }(p\ast \nu )\ge {\overline{\mathrm{W}}}_{{\delta }^{\prime }}(p)-C(\eta )$、${\overline{\mathrm{W}}}_{\delta }(M_{m}p)\le {\overline{\mathrm{W}}}_{\delta }(p)+C(\eta )$。

エネルギー：${\mathcal{D}}_{\sigma }$ は安全側に扱い（単調性は主張しない）、右辺へは寄与 0 とする。

主不等式（混合→決定）

$\boxed{{\mathcal{C}}_{\Phi }(C_{\nu }{M}_{m}p)\ge {\mathcal{C}}_{\Phi }(p)+2\log Z+{\Delta }_{\mathrm{mix}}-\Lambda (\eta )}.$

${\Delta }_{\mathrm{mix}}\ge 0$ は混合の寄与、$\Lambda (\eta )$ は STMT 誤差の束ね。

固定不能性原理（等号剛性）

等号は ユニモジュラ位相 $|m|\equiv 1$ と 位相付きデルタ $\nu =e^{i\varphi }{\delta }_{{\tau }_0}$ に限る。

4. 作用と最小曲線（非自明性の確保）

主作用（$H^{-1}$ 動的作用）

$\boxed{{\mathcal{S}}_{\mathrm{dyn}}(p_{\cdot }):={\int }_0^1\Vert {\partial }_t{p}_t{\Vert }_{{\mathsf{L}}^{-1}}dt,\Vert \varphi {\Vert }_{{\mathsf{L}}^{-1}}^2=⟨{\Pi }_0\varphi ,{\mathsf{L}}^{-1}{\Pi }_0\varphi ⟩}.$

• 再パラ不変：時間再パラで不変。
• 距離としての解釈：$d_{{\mathsf{L}}^{-1}}(p_0,p_1):=\inf {\mathcal{S}}_{\mathrm{dyn}}$ は長さ距離（絶対連続曲線で速度 ${\partial }_t{p}_t\in H^{-1}$）。
• 存在：エクイコアシビティ（${\overline{\mathrm{W}}}_{\delta }$ 制御）$\Rightarrow$ Fréchet–Kolmogorov 型緊致化。さらに 仮定（Mosco 収束）：離散生成子 ${\mathsf{L}}^{(h)}$ が Dirichlet 形式で Mosco 収束（≡ resolvent 強収束）$\Rightarrow ({\mathsf{L}}^{(h)}{)}^{-1}\to {\mathsf{L}}^{-1}$。これにより極小が存在。

補助作用（BV 版）：${\mathcal{S}}_{\mathrm{BV}}={\mathrm{Var}}_{[0,1]}({\mathcal{C}}_{\Phi }(p_t))$。鎖則や粗密の上界評価にのみ使用（自明化の回避のため、主作用と分離）。

5. Noether–Ward：保存と散逸

5.1 不変群（例示）

• 位相 $U(1)$：${\mathsf{H}}_2,{\overline{\mathrm{W}}}_{\delta },{\mathcal{D}}_{\sigma }$ すべて不変。
• スケール平行移動（$\tau \mapsto \tau +\theta$）：中心平均により ${\overline{\mathrm{W}}}_{\delta }$ も厳密不変。
• 反転（$\tau \mapsto -\tau$）：三者とも不変。

5.2 Noether I（保存）

可逆チャネルのみ（$|m|=1,\nu ={\delta }_0$）で群 $G$ に対し ${\mathcal{C}}_{\Phi }$ が不変なら

$Q_X(p):=⟨\frac{\delta {\mathcal{C}}_{\Phi }}{\delta p},X\cdot p⟩$

は保存。幅は ${\overline{\mathrm{W}}}_{\delta ,\epsilon }$ 経由で正則化し、$\epsilon \downarrow 0$ の BV 極限で回収。

5.3 Ward 同一性（弱形式）

任意の $\phi \in C_c^{\infty }({\mathbb{T}}_{\Lambda })$ に対し

$⟨\frac{\delta {\mathcal{C}}_{\Phi }}{\delta p}\phi ,X\cdot p⟩=⟨{\mathfrak{W}}_X[p],{\partial }_{\tau }\phi ⟩,$

すなわち（変分×テスト）＝（流束の発散）。右辺は各項の一次変分から構成。幅は $\epsilon \downarrow 0$ 極限で BV 意味に回収。

5.4 Noether II（曲率下の散逸；二次型）

$\boxed{{\mathcal{Q}}_X(p):=⟨{\Pi }_0(X\cdot p),{\mathsf{L}}^{-1}{\Pi }_0(X\cdot p)⟩}.$

CD $(\lambda ,\infty )$ と Poincaré より

$\frac{d}{dt}{\mathcal{Q}}_X(p_t)\le -2\lambda {\mathcal{Q}}_X(p_t)\Rightarrow {\mathcal{Q}}_X(p_t)\le e^{-2\lambda t}{\mathcal{Q}}_X(p_0).$

さらに Cauchy–Schwarz で

$|Q_X(p_t)|\le \Vert \frac{\delta {\mathcal{C}}_{\Phi }}{\delta p}(p_t){\Vert }_{H^1(\mathsf{L})}{\mathcal{Q}}_X(p_t{)}^{1/2}\le C{e}^{-\lambda t},$

ここで $C:={\sup }_t\Vert \frac{\delta {\mathcal{C}}_{\Phi }}{\delta p}(p_t){\Vert }_{H^1(\mathsf{L})}$ が有限であれば指数減衰が従う（実用上は ${\overline{\mathrm{W}}}_{\delta }$ とエネルギー制御から得る）。

6. Zak–Mellin 離散化と Γ-収束

離散位相：曲線空間 $L^1([0,1];L^1({\mathbb{T}}_{\Lambda }))$。離散密度 $c^{(h)}(\theta )\in {\ell }^1\cap {\ell }^2$。

離散作用：${\mathcal{S}}_{\mathrm{dyn}}^{(h)}(c_{\cdot })=\int \Vert {\partial }_t{c}_t{\Vert }_{({\mathsf{L}}^{(h)}{)}^{-1}}dt$。

エクイコアシビティ：${\sup }_t{\overline{\mathrm{W}}}_{\delta }$ と質量保存 $\Rightarrow$ 平行移動モジュラス制御 $\Rightarrow$ Fréchet–Kolmogorov 型 $L^1$ 緊致化。

Γ-liminf：${\mathsf{H}}_2,{\mathcal{D}}_{\sigma }$ は下半連続、幅は BV 極限で下半連続。

Γ-limsup：Zak–Mellin サンプリング＋時間補間で回復列を構成。

剛性の安定：等号集合（$|m|=1$、$\nu$ がデルタ）は閉であり、Γ 極限下で保たれる。

7. 金属比による較正

格子間隔 $|{\mathbb{T}}_{\Lambda }|=2\pi /\log \Lambda$。金属比族 among $\Lambda >1$ では $\Lambda =\phi$ が最も粗い格子（冗長度最小）を与え、主不等式の定数を保守的に評価するスケール点となる。

8. 例：ログ・ガウス

$p(\tau )=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }\exp (-\frac{(\tau -{\tau }_0{)}^2}{2{\sigma }^2}).$

• 混合（ガウス核） で ${\mathsf{H}}_2$ は非減少、等号はデルタ核。
• 決定的（ガウス $|m|\le 1$） で $\Delta {\mathsf{H}}_2=2\log Z$（鋭い）。
• Noether II：OU 生成子で ${\mathcal{Q}}_{{\partial }_{\tau }}(t)={\mathrm{Var}}_{{\mu }_{\lambda }}({\tau }_t)$ は $e^{-2\lambda t}$ 減衰。
• ${\mathcal{S}}_{\mathrm{dyn}}$：${\sigma }^2(t)$ の線形補間は最短経路（$H^{-1}$ 計量下）を与える。

付録 A：幅の正則化と BV 極限

${\overline{\mathrm{W}}}_{\delta ,\epsilon }$ の Gâteaux 微分を用いて Noether/Ward を構成し、その後 $\epsilon \downarrow 0$。この順序で不変性と下半連続性が保たれる。変分勾配は常に ${\Pi }_0$ 規格化で用いる。

付録 B：サブ確率核（参考）

$\Vert \nu {\Vert }_{TV}\le 1$ のとき ${\hat{C}}_{\nu }p=(p\ast \nu )/\Vert \nu {\Vert }_{TV}$。

${\mathsf{H}}_2({\hat{C}}_{\nu }p)\ge {\mathsf{H}}_2(p)-2\log \Vert \nu {\Vert }_{TV}$。本論の定数は $-2\log \Vert \nu {\Vert }_{TV}$ へ吸収可能。

付録 C：$\sigma =0$ の注意

$|S_{-(i\tau )}|$ が 0 になり得るため、本文は $\sigma \ne 0$ を既定。必要なら $\Vert U_{\sigma -1}\cdot {\Vert }_{1,2}$ による安全上界で代替。

付録 D：規範と内積（生成子起源）

$H^1(\mathsf{L})$ と $H^{-1}(\mathsf{L})$ を Dirichlet 形式で定義。確率単体上の定数ずれは ${\Pi }_0$ で吸収する規約に統一。

付録 E：Γ-収束の細目

E-1（エクイコアシビティ）：${\overline{\mathrm{W}}}_{\delta }$ の一様制御 $\Rightarrow$ 平行移動モジュラスの一様小ささ

E-2（liminf）：${\mathsf{H}}_2,{\mathcal{D}}_{\sigma }$ の下半連続性＋幅の BV 極限から導出

E-3（limsup）：Zak–Mellin サンプリングで回復列を与え、$({\mathsf{L}}^{(h)}{)}^{-1}\to {\mathsf{L}}^{-1}$（Mosco）を用いて動的作用が一致

付録 F：決定的ステップの非退化と近似

実装上は $Z=\int |m{|}^{2}p>0$ を仮定。境界では $m_{\epsilon }$ による近似で主不等式・剛性が極限保存される。

結語

本稿は、FG のチャネル合成幾何に対し

1. 確率核への統一
2. エネルギー辞書 $r={\mathsf{K}}_{\sigma }p$ の固定
3. $H^{-1}$ 動的作用による非自明な変分問題
4. Noether–Ward の厳密化と 曲率下の散逸（二次型）
5. 離散化に対するΓ-収束

を、幾何学の語彙で自律的に確立した。固定不能性原理はチャネル設計の鋭さを特徴付け、金属比較正は保守的スケール点を与える。これらは連続・離散の双方で安定に運用できる。

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