要旨

スケール較正 $\Lambda >1$ を備えたフルーリオ幾何（FG）の枠内で，観測（deterministic / mixed）に対する複雑度

${\mathcal{C}}_{\mathrm{FG}}(f)={\mathsf{H}}_2(f)+{\mathrm{W}}_{\delta }(f)+\beta {\mathcal{D}}_{\sigma }(f)$

の力学を統一的に評価する。点積の相乗／決定的観測の収縮／混合観測の相乗／順序非可換による相乗を束ねた「観測複雑度不等式」と，等号条件の完全分類としての固定不能性原理を確立。Zak–Mellin により連続/離散は等号まで同値化され，金属較正 ${\Lambda }_p$ のうち黄金比 $\phi$ が作用素ノルム最小・零点間隔最大の極値校正点であることを示す。

0. 設定・記法・定数レジャー

0.1 スケール幾何の舞台

基本モデル $X=(0,\infty )$，対数距離 $d_{\log }(x,y)=|\log x-\log y|$（等長：$\alpha =0$），乗法ハール測度 $\mu (dx)=dx/x$（$(S_{{\Lambda }^k}{)}_{\#}\mu =\mu$）。 Mellin–Plancherel：

$H_{\sigma }:=L^2((0,\infty ),x^{2\sigma -1}dx),U_{\sigma }f(\tau )=\mathcal{M}[f](\sigma +i\tau )\text{(等長)}.$

以後 $s=\sigma +i\tau$ と書く。

0.2 窓付き局所化（STMT）と定数束ね

窓 $w\in L^1\cap L^2$（主にガウス $w(u)=(2\pi {\eta }^2{)}^{-1/2}{e}^{-u^2/2{\eta }^2}$），中心 $\xi$：

${\mathcal{M}}_w[f](\sigma +i\tau ;\xi )={\int }_0^{\infty }f(x)w(\log x-\xi )x^{\sigma -1+i\tau }dx.$

幅：${\mathrm{width}}_{\delta }(f):=\mathrm{meas}\{\tau :|{\mathcal{M}}_w[f](\sigma +i\tau ;\xi )|\ge \delta \}$，正規化 ${\mathrm{W}}_{\delta }:={\mathrm{width}}_{\delta }/(1+{\mathrm{width}}_{\delta })\in (0,1)$。

定数レジャー（本稿全域で固定）

${\delta }^{\prime }=\delta e^{-{\eta }^2/2},C(\eta )\simeq \eta ,\kappa (\eta )\lesssim {\eta }^{-1},\Lambda (\eta ):=\log \kappa (\eta )+C(\eta ).$

（$\eta$ は任意の許容帯で調整可。誤差・閾値の揺れは $\Lambda (\eta )$ に一括吸収。）

0.3 複雑度の三要素と Frourio エネルギー

$p_f(\tau )=\frac{|U_{\sigma }f(\tau ){|}^2}{\frac{1}{2\pi }\int |U_{\sigma }f{|}^{2}d\tau },{\mathsf{H}}_2(f)=-\log \int p_f(\tau {)}^{2}d\tau .$

Frourio エネルギーと密度：

${\mathcal{E}}_{\sigma }[f]=\frac{1}{2\pi }\int |S_{-s}{|}^2|U_{\sigma -1}f(\tau ){|}^{2}d\tau ,S_{-s}:={\Lambda }^{-s}-{\Lambda }^s,$

${\mathcal{D}}_{\sigma }(f)=\frac{{\mathcal{E}}_{\sigma }[f]}{\frac{1}{2\pi }\int |U_{\sigma }f{|}^{2}d\tau },\Vert S_{-s}{\Vert }_{L_{\tau }^{\infty }}=2\cosh (\sigma \log \Lambda ).$

複合複雑度：

$\boxed{{\mathcal{C}}_{\mathrm{FG}}(f)={\mathsf{H}}_2(f)+{\mathrm{W}}_{\delta }(f)+\beta {\mathcal{D}}_{\sigma }(f)},\beta >0.$

1. 観測クラスと辞書（線形・有界・スケール共変）

• 決定的観測 $T_K$：周波数側乗算 $U_{\sigma }(T_{K}f)=m\cdot U_{\sigma }f$, $\Vert m{\Vert }_{\infty }\le 1$.
• 混合観測 $\overline{T}$：畳み込み $U_{\sigma }(\overline{T}f)=U_{\sigma }f\ast \nu$, $\Vert \nu {\Vert }_1\le 1$.
• 点積 $fg$：$U_{\sigma }(fg)=(U_{\sigma }f)\ast (U_{\sigma }g)$.
• スケール共変の等式（基本モデル）：$U_{\sigma }(S_{{\Lambda }^k}f)(\tau )={\Lambda }^{k\sigma }{U}_{\sigma }f(\tau )$.
  （対数距離・乗法ハール測度の下では自明に成立。）

2. S1：点積の相乗（幅／衝突エントロピー／安全エネルギー）

可積分性（以後の前提）：S1 および命題 2.3 で Young 型評価を用いるため，必要に応じて

$U_{\sigma -1}f,U_{\sigma -1}g\in L^1({\mathbb{R}}_{\tau })\cap L^2({\mathbb{R}}_{\tau })$

を仮定する。

定理 2.1（幅の下界加法）

$\boxed{{\mathrm{width}}_{\delta }(fg)\ge {\mathrm{width}}_{{\delta }^{\prime }}(f)+{\mathrm{width}}_{{\delta }^{\prime }}(g)-C(\eta )}.$

定理 2.2（Rényi-2 の劣加法下界）

$\boxed{{\mathsf{H}}_2(fg)\ge {\mathsf{H}}_2(f)+{\mathsf{H}}_2(g)-\log \kappa (\eta )}.$

注：導出の規約により $\Vert p_{fg}{\Vert }_2\le {\kappa }^{1/2}\Vert p_f{\Vert }_2\Vert p_g{\Vert }_2$ を採用。別流儀（$\kappa$ 乗）では右辺が $-2\log \kappa$ になる。

命題 2.3（エネルギーの安全上界；$\sigma$ 任意で有効）

$\boxed{{\mathcal{E}}_{\sigma }[fg]\le \Vert S_{-s}{\Vert }_{\infty }^2(\Vert U_{\sigma -1}f{\Vert }_2^2\Vert U_{\sigma -1}g{\Vert }_1^2+\Vert U_{\sigma -1}g{\Vert }_2^2\Vert U_{\sigma -1}f{\Vert }_1^2),}$

ここで $s=\sigma +i\tau$ であり，$\Vert S_{-s}{\Vert }_{\infty }=2\cosh (\sigma \log \Lambda )$。

3. S2：観測の収縮/相乗とエネルギー補助

3.1 決定的観測（収縮）

通過率 $Z:=\int |m{|}^2{p}_f\in (0,1]$ で

$\Vert U_{\sigma }(T_{K}f){\Vert }_2^2=Z\Vert U_{\sigma }f{\Vert }_2^2,{\mathrm{width}}_{\delta }(T_{K}f)\le {\mathrm{width}}_{\delta }(f)+C(\eta ),$

$\boxed{{\mathsf{H}}_2(T_{K}f)\ge {\mathsf{H}}_2(f)+2\log Z}.$

等号：$|m|=1$（$\{p_f>0\}$ 上 a.e.）。

3.2 混合観測（相乗）

$\boxed{{\mathsf{H}}_2(\overline{T}f)\ge {\mathsf{H}}_2(f),{\mathrm{width}}_{\delta }(\overline{T}f)\ge {\mathrm{width}}_{{\delta }^{\prime }}(f)-C(\eta )}.$

等号：$\nu =e^{i\varphi }{\delta }_{{\tau }_0}$（位相付き平行移動）。

3.3 混合でのエネルギー上界

$\boxed{{\mathcal{E}}_{\sigma }[\overline{T}f]\le \Vert S_{-s}{\Vert }_{\infty }^2\Vert U_{\sigma -1}f{\Vert }_2^2}.$

（備考：${\mathcal{E}}_{\sigma }[\overline{T}f]\le {\mathcal{E}}_{\sigma }[f]$ までは一般に結論できない。よって本論文の主不等式ではエネルギー密度差を 0 寄与として扱う保守的下界を採用。）

4. S3：非可換順序の相乗

（線形・有界・スケール共変観測）

定理 4.1（HS-可換度による下界）

$\mathcal{I}(\theta )=M_{m_1(\cdot +\theta )}S{M}_{m_2(\cdot +\theta )}$（$S$ ユニタリ，$m_i\in L^{\infty }$）。 $C(\theta ):=[\mathcal{I}(\theta ),\mathcal{I}(\theta {)}^{†}]$ が Hilbert–Schmidt と仮定すると，定数 $c,c^{\prime }>0$ があり

$\boxed{\Delta {\mathsf{H}}_2\ge c{\int }_{{\mathbb{T}}_{\Lambda }}\Vert C(\theta ){\Vert }_{\mathrm{HS}}^{2}d\theta -c^{\prime }\Lambda (\eta )}.$

スケッチ：Zak–Mellin 繊維化 → ${\ell }^2$ 変動を円周群の log-Sobolev と Pinsker で評価 → 可換なら 0，非可換なら commutator² で正下界。2×2 繊維例で鋭さ検証可。

5. 主定理：観測複雑度不等式

（線形・有界・スケール共変観測）

決定的 $T_K$，混合 $\overline{T}$。通過率 $Z=\int |m{|}^2{p}_f$。S1/S2b 起因の非負増分を ${\Delta }_{\mathrm{mix}}\ge 0$ と書く。

$\boxed{{\mathcal{C}}_{\mathrm{FG}}(\overline{T}{T}_{K}f)\ge {\mathcal{C}}_{\mathrm{FG}}(f)+2\log Z+{\Delta }_{\mathrm{mix}}-\Lambda (\eta )}.$

（S3 を入れる場合は $+c\int \Vert C(\theta ){\Vert }_{\mathrm{HS}}^2-c^{\prime }\Lambda (\eta )$ を加算可。エネルギー密度差は 0 寄与＝保守的下界。）

6. 固定不能性原理

（線形・有界・スケール共変観測に対する等号分類）

• 決定的観測：${\mathsf{H}}_2,{\mathrm{W}}_{\delta }$ 不変 $⟺|m|=1$（位相乗算のみ）
• 混合観測：${\mathsf{H}}_2,{\mathrm{W}}_{\delta }$ 不変 $⟺\nu =e^{i\varphi }{\delta }_{{\tau }_0}$（位相付き平行移動のみ）

帰結：許容観測クラスの下では，外部操作のみで内部複雑度を完全固定することは不可能。等号は自明操作に限る。

7. 連続/離散の厳密同値（Zak–Mellin）

$Z_{\Lambda }:L^2({\mathbb{R}}_{\tau })\stackrel{\cong }{\to }{\int }_{\theta \in {\mathbb{T}}_{\Lambda }}^{\oplus }{\ell }^2(\mathbb{Z})d\theta ,(Z_{\Lambda }F)(\theta {)}_n=(\frac{\log \Lambda }{2\pi }{)}^{1/2}F(\theta +\frac{2\pi n}{\log \Lambda }).$

決定的＝対角乗算，混合＝${\ell }^2\leftarrow {\ell }^2\ast {\ell }^1$。 ${\mathsf{H}}_2,{\mathrm{W}}_{\delta }$ はフレーム定数のみの制御誤差で等価。上下フレーム $A,B$ に対し

$|{\mathsf{H}}_2(f)-{\overline{\mathsf{H}}}_2^{\mathrm{disc}}|\le C_{A,B}=O(\log (B/A)),{\mathrm{W}}_{\delta }(f){\asymp }_{A,B}{\overline{\mathrm{W}}}_{\delta \sqrt{A/B}}^{\mathrm{disc}}\pm C_{A,B}.$

導出概略：繊維正規化の Jensen で $-\log \sum p^2$ の差を挟み，両側フレームで ${\ell }^2/L^2$ 規格化のズレを $\log (B/A)$ で評価。

8. 金属較正と極値点（$\Lambda =\phi$ の必然性）

Frourio 二点導分

$D_{\Lambda }f=\frac{{\Lambda }^{-1}f(\Lambda x)-\Lambda f({\Lambda }^{-1}x)}{x},\Vert D_{\Lambda }{\Vert }_{H_{\sigma }\to H_{\sigma -1}}=2\cosh (\sigma \log \Lambda ),$

零点格子 $S_{-s}=0⟺s=\frac{i\pi k}{\log \Lambda }$（間隔 $\pi /\log \Lambda$）。 金属比 ${\Lambda }_p=\frac{p+\sqrt{p^2+4}}{2}$（$p\ge 1$）では

$\Vert D_{{\Lambda }_p}\Vert \text{最小}⟺p=1,\text{零点間隔最大}⟺p=1.$

ゆえに $\phi ={\Lambda }_1$ は Zak–Mellin の格子を最も粗く（冗長度最小）し，観測複雑度の評価を最も保守的に与える較正点。

$\boxed{{\phi }^{i\pi /\log \phi }=-1}$

は零点格子の主位相であり，本理論に必然的に現れる。

9. ログ・ガウスの鋭さ（例）

$U_{\sigma }f=A_1{e}^{-(\tau -{\mu }_1{)}^2/2s_1^2}$，$U_{\sigma }g=A_2{e}^{-(\tau -{\mu }_2{)}^2/2s_2^2}$。

点積：分散加法 $s_{fg}^2=s_1^2+s_2^2$→${\mathsf{H}}_2$ は定数除き加法，幅は下界加法が鋭い。

決定的：$m(\tau )=e^{-(\tau -\mu {)}^2/2t^2}$ で $2\log Z=\log \frac{t^2}{t^2+s_1^2}-\frac{2({\mu }_1-\mu {)}^2}{t^2+s_1^2}\le 0$（中心一致で鋭い）。

混合：ガウス核 $\nu$ で ${\mathsf{H}}_2$ 厳密非減少，等号は $\nu ={\delta }_{{\tau }_0}$ のみ。

非可換：2×2 繊維例で $\Vert [\mathcal{I},{\mathcal{I}}^{†}]{\Vert }_{\mathrm{HS}}^2>0\Rightarrow \Delta {\mathsf{H}}_2>0$。

付記 A（準不変測度とエントロピー差）

$(S_{{\Lambda }^k}{)}_{\#}\mu ={\theta }_k\mu$（${\theta }_k>0$）でも

${\mathrm{Ent}}_{\mu }((S_{{\Lambda }^k}{)}_{\#}\rho )={\mathrm{Ent}}_{\mu }(\rho )+\int \rho \log {\theta }_{k}d\mu ,$

ゆえに EVI 右辺差 ${\mathrm{Ent}}_{\mu }(q)-{\mathrm{Ent}}_{\mu }(p_t)$ は ${\theta }_k$ が相殺。

付記 B（Young 等号分類）

$\Vert f\ast \nu {\Vert }_2=\Vert f{\Vert }_2\Vert \nu {\Vert }_1$ の等号は $\Vert \nu {\Vert }_1=1$ かつ $\nu =e^{i\varphi }{\delta }_{{\tau }_0}$。離散は $\nu =e^{i\varphi }{\delta }_0$。

結語

本稿はフルーリオ幾何学のスケール骨格の上に観測の幾何を厳密に構築し，連続/離散・金属較正・等号分類を含む堅牢な純粋数学として完成した。

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