要旨

金属比 $\Lambda >1$ によるスケール較正を一級構造として組み込み，古典／量子／離散を統一する純粋数学の幾何 Frourio Geometry (FG) を定式化する。FG の基本データ $\mathbf{X}=(X,d,\mu ;\mathcal{E},\Lambda )$ の下，CD $(\lambda ,\infty )\Rightarrow$ MLSI $(\lambda )\Rightarrow$ EVI $(\lambda )$，Doob 変換，Mosco 極限の定数 $\mathrm{liminf}$，two-EVI 同期，Young 等号剛性が金属比の較正と適切に可換・再標定されることを示す。解析のアンカーとしてフルーリオ代数学第四論文の二点導分 $D_{\Phi ,\Lambda }$ を用い，Mellin 記号・ノルム等式・零点格子と連動させる。黄金比 $\phi$ は特権的ではないが，ノルム極小／零点間隔極大の極値点として現れる。

0. 規約・記号・距離空間の前提

• $(X,d)$ は完備かつ測地な Polish 空間。標準結果より ${\mathcal{P}}_2(X)$ は $W_2$-完備・測地。
• 確率測度 $\mu$。相対エントロピー ${\mathrm{Ent}}_{\mu }(\rho )=\int \rho \log \rho d\mu$（$\int \rho =1$）。
• 対称・保守的 Dirichlet 形式 $\mathcal{E}$（共通ピボット $L^2(\mu )$），強局所生成子 $\mathcal{L}$。
• Γ–Γ₂：$\Gamma (u)=\frac{1}{2}(\mathcal{L}{u}^2-2u\mathcal{L}u)$，${\Gamma }_2(u)=\frac{1}{2}(\mathcal{L}\Gamma (u)-2\Gamma (u,\mathcal{L}u))$。
• CD $(\lambda ,\infty )$：${\Gamma }_2\ge \lambda \Gamma$（Loewner）。
• 情報量 $\mathcal{I}(\rho )=\int \frac{\Gamma (\rho )}{\rho }d\mu$（同値に $4\int \Gamma (\sqrt{\rho })d\mu$）。
• MLSI 規約：${\mathrm{Ent}}_{\mu }(P_{t}f)\le e^{-2\lambda t}{\mathrm{Ent}}_{\mu }(f)⟺{\mathrm{Ent}}_{\mu }(\rho )\le \frac{1}{2\lambda }\mathcal{I}(\rho )$。
• Talagrand：$W_2^2(\nu ,\mu )\le 2C_{T_2}{\mathrm{Ent}}_{\mu }(\nu )$。
• EVI の微分は常に上側ディニ微分 $d^{+}/dt$。
• 量子（Carlen–Maas 距離），離散（Erbar–Maas 距離）の仮定は FM-Base に従う。

1. FG 構造とスケール作用（距離・測度・生成子）

定義 1.1（FG 構造）

FG 構造は五つ組 $\mathbf{X}=(X,d,\mu ;\mathcal{E},\Lambda )$ と離散スケール作用 $\{S_{{\Lambda }^k}{\}}_{k\in \mathbb{Z}}$ からなり，以下を満たす：

1. 距離への作用（二択の明記）

   (A1) 等長：$d(S_{{\Lambda }^k}x,S_{{\Lambda }^k}y)=d(x,y)$。
   もしくは
   (A2) 相似：ある $\alpha \ge 0$ で $d(S_{{\Lambda }^k}x,S_{{\Lambda }^k}y)={\Lambda }^{\alpha k}d(x,y)$。

2. 測度（不）変：$(S_{{\Lambda }^k}{)}_{\#}\mu =\mu$。一般には準不変を許し $(S_{{\Lambda }^k}{)}_{\#}\mu ={\theta }_k\mu$（${\theta }_k>0$）。必要なら基準測度を同時再規格化する。

   （補足） 準不変でも

   ${\mathrm{Ent}}_{\mu }((S_{{\Lambda }^k}{)}_{\#}\rho )={\mathrm{Ent}}_{\mu }(\rho )+\int \rho \log {\theta }_{k}d\mu$

   であり，EVI 右辺の差 ${\mathrm{Ent}}_{\mu }(q)-{\mathrm{Ent}}_{\mu }(p_t)$ では ${\theta }_k$-項が相殺される。

3. 生成子の同次性：

   $S_{{\Lambda }^k}^{-1}\mathcal{L}{S}_{{\Lambda }^k}={\Lambda }^{\kappa k}\mathcal{L}(\kappa >0).$

   後では時間再標定 $t\mapsto {\Lambda }^{\kappa k}t$ を許し $\kappa =1$ に正規化する（ただし具体例の表示は実際の $\kappa$ に従う）。

モデル例と $\alpha$ の足場： $X=(0,\infty )$，乗法作用 $S_{\Lambda }x=\Lambda x$，Haar 測度 $\mu =dx/x$ とする。

• 距離の例：ユークリッド距離を保つとき $S_{\Lambda }$ は相似で $d(S_{\Lambda }x,S_{\Lambda }y)=\Lambda d(x,y)$（$\alpha =1$）。
  一方，対数距離 $d_{\log }(x,y)=|\log x-\log y|$ を用いれば $S_{\Lambda }$ は等長（$\alpha =0$）。

命題 1.2（CD・EVI のスケール則：距離仮定に依存）

(1)–(3) の下で，

• CD $(\lambda ,\infty )$ は 生成子の次数により CD $({\Lambda }^{\kappa k}\lambda ,\infty )$ に移る。
• (A1) 等長なら時間再標定 $t\mapsto {\Lambda }^{\kappa k}t$ で EVI $({\Lambda }^{\kappa k}\lambda )$。
• (A2) 相似（$\alpha >0$）なら $W_2$ が ${\Lambda }^{\alpha k}$ 倍にスケールし，実効係数

$\boxed{{\lambda }_{\mathrm{eff}}={\Lambda }^{(\kappa -2\alpha )k}\lambda }.$

2. BE ⇒ MLSI ⇒ EVI（較正下の不変・再標定）

定理 2.1（古典）

CD $(\lambda ,\infty )$ の下で

$\frac{1}{2}\frac{d^{+}}{dt}{W}_2^2(p_t,q)+\lambda W_2^2(p_t,q)\le {\mathrm{Ent}}_{\mu }(q)-{\mathrm{Ent}}_{\mu }(p_t).$

(A1) では時間再標定のみで係数は ${\Lambda }^{\kappa k}\lambda$ に移る。(A2) では命題 1.2 の ${\lambda }_{\mathrm{eff}}$。

定理 2.2（量子）・定理 2.3（離散）

基盤論文の公理下で同型の EVI。十分条件：量子はユニタリ共役が GNS 対称・同次性を保存，離散はエッジ重みの同次スケールで行動量不変。

3. Doob 変換とスケール作用（可換性の十分条件）

幾何層 ${\mu }_V=e^{-V}{\mathrm{vol}}_g$，$\mathcal{L}=\Delta -⟨\nabla V,\nabla ⟩$。正関数 $h>0$ に対し ${\mathcal{L}}^{h}f=h^{-1}\mathcal{L}(hf)$，${\mu }_h=h^2{\mu }_V$。

曲率等式 ${\mathrm{Ric}}_{V-2\log h}={\mathrm{Ric}}_V-2{\nabla }^2\log h$（基盤論文）。

十分条件 $h\circ S_{{\Lambda }^k}=c_{k}h(c_k>0)$ が成り立てば，

$S_{{\Lambda }^k}^{-1}{\mathcal{L}}^h{S}_{{\Lambda }^k}=({\Lambda }^{\kappa k}\mathcal{L}{)}^h,$

較正と曲率等式／CD 劣化は可換に保たれる。一般の $h$ では ${\mu }_h$ の不変性が崩れ得る（準不変化）。

4. Mosco 極限と定数 $\mathrm{liminf}$

共通ピボット $L^2(\mu )$，${\mathcal{E}}_h\stackrel{M}{\to }\mathcal{E}$，狭義収束＋二次モーメント緊性＋${\mathrm{Ent}}_{\mu }$ の $L^1$-l.s.c. の下で

${\lambda }_{\mathrm{LSI}}(\mathcal{E})\ge {\mathrm{liminf}}_h{\lambda }_{\mathrm{LSI}}({\mathcal{E}}_h),C_{T_2}(\mathcal{E})\ge {\mathrm{liminf}}_h{C}_{T_2}({\mathcal{E}}_h),$

および Noether 減衰率 ${\lambda }_{\mathrm{N}}$ の $\mathrm{liminf}$。スペクトルギャップはコンパクト解像度等を要す。スケール作用は共役・時間再標定で可換。

5. two-EVI と同期

命題 5.1（無外力）

同一汎関数の $\lambda$-EVI 勾配流 $p_t,q_t$ に対し

$\frac{1}{2}\frac{d^{+}}{dt}{W}_2^2(p_t,q_t)+\lambda W_2^2(p_t,q_t)\le 0.$

定理 5.2（外力版）

${\dot{p}}_t=\mathrm{Grad}\mathrm{Ent}(p_t)+F_t,{\dot{q}}_t=\mathrm{Grad}\mathrm{Ent}(q_t)+G_t,$

$F_t,G_t\in T_{\cdot }{\mathcal{P}}_2$ は $|\cdot {|}_{\cdot }$-可測・局所可積分。任意の最短 $W_2$-測地 ${\gamma }_t$ に対し

$|⟨F_t-G_t,{\dot{\gamma }}_t⟩|\le \eta$

が全ての最短測地に一様（双対ノルムで ${\sup }_{\Vert {\dot{\gamma }}_t\Vert =1}$ 上界）なら

$\frac{1}{2}\frac{d^{+}}{dt}{W}_2^2(p_t,q_t)+\lambda W_2^2(p_t,q_t)\le \eta .$

(A2) では ${\lambda }_{\mathrm{eff}}$ を用いる。

6. Young 畳み込みの等号剛性

可換群 $G=\mathbb{R},\mathbb{Z}$，任意 $f\in L^2(G)$，有限全変動測度 $\nu$ で

$\Vert f\ast \nu {\Vert }_2\le \Vert f{\Vert }_2\Vert \nu {\Vert }_{\mathrm{TV}},\text{等号}⟺\nu =e^{i\varphi }{\delta }_{s_0}.$

（基盤論文）

7. 解析アンカー $D_{\Phi ,\Lambda }$（ノルム等式・作用域）

$D_{\Phi ,\Lambda }=\frac{{\Lambda }^{-1}{T}_{\Lambda }-\Lambda T_{{\Lambda }^{-1}}}{x},(T_{\alpha }f)(x)=f(\alpha x).$

命題 7.1（Mellin 記号・零点格子）

$\mathcal{M}[D_{\Phi ,\Lambda }f](s)=({\Lambda }^{-s}-{\Lambda }^s)\mathcal{M}[f](s-1),{\Lambda }^{-s}-{\Lambda }^s=0⟺s=\frac{i\pi k}{\log \Lambda }(k\in \mathbb{Z}).$

定理 7.2（ノルム＝等式・達成角と作用域）

評価線 $\Re s=\sigma$ に対し

$\boxed{\Vert D_{\Phi ,\Lambda }{\Vert }_{H_{\sigma }\to H_{\sigma -1}}=2\cosh (\sigma \log \Lambda )}.$

等号達成角は $e^{2it\log \Lambda }=-1$（例：$t=\pi /\log \Lambda$）。作用域は $\mathcal{S}((0,\infty ))$ から $H_{\sigma }$ へ閉包拡張。

黄金比の極値性（フルーリオ代数学第四論文）：固定 $\sigma$ で $\Lambda =\phi$ はノルム極小・零点間隔極大。

8. 具体例（連続／量子／離散の係数を厳密化）

• 連続層（ユークリッド型）：$\mathcal{L}=\Delta -⟨\nabla V,\nabla ⟩$，$S_{\Lambda }x=\Lambda x$。

  $S_{\Lambda }^{-1}\Delta S_{\Lambda }={\Lambda }^2\Delta ,S_{\Lambda }^{-1}⟨\nabla V,\nabla ⟩S_{\Lambda }=\Lambda ⟨(\nabla V)\circ S_{\Lambda }^{-1},\nabla ⟩.$

  よってこの例は $\kappa =2$（$\Delta$ 部）が自然であり，以後は時間再標定により $\kappa =1$ 表記に統一。

  （距離はユークリッド（$\alpha =1$）または対数距離（$\alpha =0$）のいずれも許容。）

• 量子：ユニタリ $U_{\Lambda }$ による共役で $\mathrm{Ad}(U_{\Lambda })$ が GNS 対称性と生成子同次性を保存（十分条件）。

• 離散：可逆・連結（有限または局所有界）グラフで，エッジ重み・遷移率の同次スケールが EM 行動量を不変に保つ（十分条件）。

9. 結語

• FG-データ：$(X,d,\mu ;\mathcal{E},\Lambda )$ とスケール作用 $S_{{\Lambda }^k}$（距離は等長 or 相似）。
• 主定理群：CD⇒MLSI⇒EVI，Doob 等式と CD 劣化（十分条件下で較正と可換），Mosco $\mathrm{liminf}$，two-EVI 同期（外力仮定を明記），Young 剛性。
• 解析アンカー：$D_{\Phi ,\Lambda }$ の Mellin 記号・ノルム等式・零点格子。黄金比は較正の極値として現れるが，本幾何は任意の金属比で一貫。
• 自足性：ZFC の純粋数学として閉じ，基盤論文／フルーリオ代数学第四論文と厳密に整合。

付録 A：EVI のテンソル化とスケール

直積系では定数は $\min$ 則（基盤論文）。スケール作用は各因子の $S_{\Lambda }$ の直積で与えられ，可換図式を保つ。

付録 B：Talagrand と LSI（参考）

標準の鎖で LSI($\lambda$) ⇒ $T_2$（例：$C_{T_2}\le 1/\lambda$）型評価（流儀に依存）。

参考文献

勾配流と最適輸送

1. Ambrosio, L., Gigli, N., & Savaré, G. (2008). Gradient flows in metric spaces and in the space of probability measures (2nd ed.). Birkhäuser.
2. Otto, F. (2001). The geometry of dissipative evolution equations: the porous medium equation. Communications in Partial Differential Equations, 26(1-2), 101-174.
3. Villani, C. (2009). Optimal transport: old and new. Springer-Verlag.
4. Jordan, R., Kinderlehrer, D., & Otto, F. (1998). The variational formulation of the Fokker-Planck equation. SIAM Journal on Mathematical Analysis, 29(1), 1-17.

Bakry-Émery理論とMLSI

5. Bakry, D., & Émery, M. (1985). Diffusions hypercontractives. Séminaire de Probabilités XIX, Lecture Notes in Mathematics 1123, 177-206.
6. Bakry, D., Gentil, I., & Ledoux, M. (2014). Analysis and geometry of Markov diffusion operators. Springer.
7. Gross, L. (1975). Logarithmic Sobolev inequalities. American Journal of Mathematics, 97(4), 1061-1083.

Dirichlet形式とMosco収束

8. Fukushima, M., Oshima, Y., & Takeda, M. (2011). Dirichlet forms and symmetric Markov processes (2nd ed.). De Gruyter.
9. Mosco, U. (1969). Convergence of convex sets and of solutions of variational inequalities. Advances in Mathematics, 3(4), 510-585.
10. Kuwae, K., & Shioya, T. (2003). Convergence of spectral structures: a functional analytic theory and its applications to spectral geometry. Communications in Analysis and Geometry, 11(4), 599-673.

量子最適輸送

11. Carlen, E., & Maas, J. (2014). An analog of the 2-Wasserstein metric in non-commutative probability under which the fermionic Fokker-Planck equation is gradient flow for the entropy. Communications in Mathematical Physics, 331(3), 887-926.
12. Carlen, E., & Maas, J. (2017). Gradient flow and entropy inequalities for quantum Markov semigroups with detailed balance. Journal of Functional Analysis, 273(5), 1810-1869.

離散最適輸送

13. Erbar, M., & Maas, J. (2012). Ricci curvature of finite Markov chains via convexity of the entropy. Archive for Rational Mechanics and Analysis, 206(3), 997-1038.
14. Maas, J. (2011). Gradient flows of the entropy for finite Markov chains. Journal of Functional Analysis, 261(8), 2250-2292.

進化変分不等式（EVI）

15. Daneri, S., & Savaré, G. (2008). Eulerian calculus for the displacement convexity in the Wasserstein distance. SIAM Journal on Mathematical Analysis, 40(3), 1104-1122.
16. Ambrosio, L., & Gigli, N. (2013). A user's guide to optimal transport. Modelling and Optimisation of Flows on Networks, 1-155.

Young不等式と畳み込み

17. Beckner, W. (1975). Inequalities in Fourier analysis. Annals of Mathematics, 102(1), 159-182.
18. Lieb, E. H., & Loss, M. (2001). Analysis (2nd ed.). American Mathematical Society.