0. 規約と基本式（符号の整合）

• 舞台：$(M,g)$ は 完備 $C^{\infty }$ リーマン多様体，体積 ${\mathrm{vol}}_g$。

• ラプラシアン：$\Delta ={\mathrm{div}}_g\nabla$（非正；$\int f\Delta f{\mathrm{vol}}_g=-\int |\nabla f{|}^2{\mathrm{vol}}_g\le 0$）。

• 重みと基準測度：$\mu =e^{-V}{\mathrm{vol}}_g$（$V\in C^2$）。

• 生成子：$L=\Delta -⟨\nabla V,\nabla ⟩$ は $\mu$-対称。

• Γ–Γ₂（この符号で）

  $\Gamma (f)=\frac{1}{2}(L{f}^2-2fLf)=|\nabla f{|}^2,{\Gamma }_2(f)=\Vert {\nabla }^{2}f{\Vert }_{\mathrm{HS}}^2+⟨\mathrm{Ric}+{\nabla }^{2}V,\nabla f\otimes \nabla f⟩.$

• CD $(\lambda ,\infty )$：${\Gamma }_2\ge \lambda \Gamma$（Loewner 順序）。

• エントロピー：${\mathrm{Ent}}_{\mu }(\rho )=\int \rho \log \rho d\mu$（$\int \rho d\mu =1$）。

• EVI の微分：常に 上側ディニ微分 $d^{+}/dt$ を用いる。

1. 三様式（連続／量子／離散）と量子距離の公理

1.1 連続（リーマン幾何）

$P_t=e^{tL}$ は $\mu$-対称拡散半群。$W_2$ はベナムー–ブレニエ。完備性より $W_2$-測地が存在。

1.2 量子（有限次元行列代数）

密度行列多様体 $\mathcal{S}=\{\rho >0,\mathrm{Tr}\rho =1\}$。完全正トレース保存半群 $\dot{\rho }=\mathcal{L}(\rho )$，不変状態 $\sigma >0$。

公理（EVI までに必要な最小要件）

(QR) 測地完備：$(\mathcal{S},d^{\mathrm{q}})$ は長さ距離で測地完備。

(QG) 非可換 Green 恒等式：$\frac{d}{dt}\mathrm{Ent}({\rho }_t\Vert \sigma )=-\mathcal{I}({\rho }_t)$。

(QC) 鎖則・二重性：$\Vert \dot{\rho }{\Vert }_{\rho }^2={\sup }_{\Phi }\{2⟨\dot{\rho },\Phi ⟩-{\mathcal{E}}_{\rho }(\Phi )\}$。

1.3 離散（既約可逆連鎖・Erbar–Maas 距離）

有限または局所有界グラフの可逆・連結マルコフ連鎖（平衡 $\pi$）。計量は対数平均

$\theta (a,b)=\frac{a-b}{\log a-\log b}(a\ne b)$

に基づく Erbar–Maas 距離 $d^{\mathrm{d}}$。測地完備とエネルギー–速度二重性を満たす。

2. CD $(\lambda ,\infty )\Rightarrow$ MLSI $\Rightarrow$ EVI

（前稿どおり。要点のみ再掲）

定理 2.1（連続・微分同等式）

${\dot{p}}_t=L^{\ast }{p}_t$ で

$\frac{d}{dt}{\mathrm{Ent}}_{\mu }(p_t)=-\mathcal{I}(p_t),\frac{d}{dt}\mathcal{I}(p_t)\le -2\lambda \mathcal{I}(p_t).$

定理 2.2（連続・MLSI）

${\mathrm{Ent}}_{\mu }(p)\le (2\lambda {)}^{-1}\int \Gamma (p)/pd\mu$.

定理 2.3（連続・EVI in $W_2$）

$\frac{1}{2}\frac{d^{+}}{dt}{W}_2^2(p_t,q)+\lambda W_2^2(p_t,q)\le {\mathrm{Ent}}_{\mu }(q)-{\mathrm{Ent}}_{\mu }(p_t).$

定理 2.4（量子・離散・EVI）

(QR)(QG)(QC)（量子）／測地完備＋二重性（離散）の下で同型の EVI が成り立つ。

系（収縮）：同生成子の二解は $e^{-\lambda t}$ で収縮。

3. Doob 変換と曲率の等式

命題 3.1（Γ–Γ₂ の補正）：$h>0$, $L^h=h^{-1}Lh$, ${\mu }_h=h^2\mu$。 ${\Gamma }^h=\Gamma$, ${\Gamma }_2^h={\Gamma }_2-2⟨{\nabla }^2\log h\nabla f,\nabla f⟩$。 （3 行導出は付録 A）

定理 3.2（加重 Ricci の変換式）

$\boxed{{\mathrm{Ric}}_{V-2\log h}={\mathrm{Ric}}_V-2{\nabla }^2(\log h)}.$

よって ${\nabla }^2\log h⪯\epsilon g$ なら CD $(\lambda ,\infty )\Rightarrow$ CD $(\lambda -2\epsilon ,\infty )$（基準 ${\mu }_h$）。

4. 可変ヒルベルト空間での Mosco と EVI の継承

定義 4.1（Kuwae–Shioya 型 Mosco）

${\mu }_h\ll \mu$ で $c\le \frac{d{\mu }_h}{d\mu }\le C$ a.e.（または $T_h$-移送が一様双リプシッツ）。同一基盤へ引き戻して (M1) Γ-liminf／(M2) 回復列 を満たすとき Mosco 収束と呼ぶ。

定理 4.2（定数の liminf 安定と JKO 極限）

上の仮定に加え，

• （緊性）狭義収束＋二次モーメント緊性，
• （機能の l.s.c.）${\mathrm{Ent}}_{{\mu }_h}$ の $L^1$ 収束に対する下半連続性 を仮定すると，

${\lambda }_{\mathrm{LSI}}(\mathcal{E})\ge {\mathrm{liminf}}_h{\lambda }_{\mathrm{LSI}}({\mathcal{E}}_h),C_{T_2}(\mathcal{E})\ge {\mathrm{liminf}}_h{C}_{T_2}({\mathcal{E}}_h),$

および任意の保存量族に対する Noether 減衰率 ${\lambda }_{\mathrm{N}}$ も liminf 安定。

スケッチ：JKO を各 $h$ で構成→Mosco と緊性で極限曲線の存在→$\mathrm{Ent}$ の l.s.c. を使い EVI を継承→EVI⇒MLSI⇒$T_2$ で定数に帰着。

命題 4.3（スペクトルギャップ）

ギャップの liminf にはコンパクト解像度等の緊性が必要。

5. Young 畳み込み：等号剛性の位相整合証明（Bochner 不使用）

定理 5.1（Young）

$G=\mathbb{R}$ または $\mathbb{Z}$。$f\in L^2(G)$，有限全変動測度 $\nu$ に

$\Vert f\ast \nu {\Vert }_2\le \Vert f{\Vert }_2\Vert \nu {\Vert }_{\mathrm{TV}}.$

定理 5.2（等号剛性：必要十分）

次は同値：

1. ある非零 $f\in L^2(G)$ で等号成立
2. 全ての $f\in L^2(G)$ で等号成立
3. $\nu =e^{i\varphi }{\delta }_{s_0}$（$\varphi \in \mathbb{R},s_0\in G$ 任意）

位相整合による証明の骨子：

フーリエ側で $\widehat{f\ast \nu }=\hat{f}\cdot \hat{\nu }$ より CS 等号が成り立つには

$|\hat{\nu }(\xi )|=\Vert \nu {\Vert }_{\mathrm{TV}}\text{が a.e.（supp(∣f∣2) 上）}$

で必要。ここで $\hat{\nu }(\xi )=\int e^{-i\xi x}d\nu (x)=\int e^{-i\xi x}{e}^{i\varphi (x)}d|\nu |(x)$（Jordan 分解）と書くと，三角不等式の等号条件から

$e^{-i\xi x}{e}^{i\varphi (x)}\text{の位相が x に依らず一定}$

でなければならない。これが二つの異なる $\xi ,{\xi }^{\prime }$ で同時に成り立つと $e^{-i(\xi -{\xi }^{\prime })x}$ が $|\nu |$-a.e. 定数 $\Rightarrow$ $|\nu |$ の台は一点 $\{s_0\}$。 よって $\nu =e^{i\varphi }{\delta }_{s_0}$。逆向きは自明。□

6. Dirac 指数：0 次有界摂動の不変性と境界の扱い

舞台：${\mathbb{T}}^2$（閉多様体）上のユニタリ接続 $A$。

${\mathcal{D}}_{\mathrm{prin}}^A=\left(\begin{array}{cc}0& D_{\tau }+i{D}_{\theta }\\ D_{\tau }-i{D}_{\theta }& 0\end{array}\right),{\mathcal{D}}_F^A={\mathcal{D}}_{\mathrm{prin}}^A+\left(\begin{array}{cc}0& \mathcal{V}\\ {\mathcal{V}}^{†}& 0\end{array}\right),$

$\mathcal{V}$ は $L^2$-有界 0 次摂動。

定理 6.1（指数公式）

$\boxed{\mathrm{ind}{\mathcal{D}}_F^A=\frac{1}{2\pi i}{\int }_{{\mathbb{T}}^2}\mathrm{Tr}{F}_{\theta \tau }d\theta d\tau }({\mathcal{I}}_{\mathrm{bd}}=0).$

理由：${\mathcal{D}}_{\mathrm{prin}}^A+t\left(\begin{array}{cc}0& \mathcal{V}\\ {\mathcal{V}}^{†}& 0\end{array}\right)$ は ノルム連続同倫 の Fredholm 族で指数不変。境界なしのため補正項なし。

備考：境界付き多様体では APS/Toeplitz 条件により整数補正 ${\mathcal{I}}_{\mathrm{bd}}$ を加える。

7. EVI の和と指数同期（誤差項の定義つき）

同一生成子に従う二解 $p_t,q_t$（連続・量子・離散いずれでも可）。それぞれの EVI を相手を固定して適用し，加算すると交差項が現れる。

定義：その第一変分の交差から生じる項を

$R(p_t,q_t)\text{（two-EVI の和で出る mixed drift）}$

と書く。Young/Cauchy–Schwarz により，ある $\eta \ge 0$ で

$|⟨R(p_t,q_t),{\dot{\gamma }}_t⟩|\le \eta$

（ここで ${\dot{\gamma }}_t$ は $W_2$ あるいは対応距離の最短路速度）。この仮定のもと

$\boxed{\frac{1}{2}\frac{d^{+}}{dt}{W}^2(p_t,q_t)+\lambda W^2(p_t,q_t)\le \eta }.$

$\eta =0$ なら指数収縮 $e^{-\lambda t}$。

付録 A：Doob 変換の 3 行導出

$L=\Delta -⟨\nabla V,\nabla ⟩$, $L^h=h^{-1}L(h\cdot )$。

展開と整理で ${\Gamma }^h=\Gamma$ ，${\Gamma }_2^h={\Gamma }_2-2{\nabla }^2\log h$ が現れる（本文の命題 3.1）。

付録 B：量子・離散 EVI（公理→EVI）

(QG) $\Rightarrow$ $\dot{\mathrm{Ent}}=-\mathcal{I}$，CD $(\lambda ,\infty )$ 同型の仮定で $\dot{\mathcal{I}}\le -2\lambda \mathcal{I}$。二重性（QC）と測地完備性（QR）で EVI を得る。

付録 C：Mosco と JKO の極限（可変空間）

密度の一様二次モーメント緊性と ${\mathrm{Ent}}_{{\mu }_h}$ の $L^1$-l.s.c. を仮定し，Γ-liminf と回復列から JKO 最小化列の相対緊性→極限半群は EVI を満たす。

結語

本最終稿は，完備性の明記，Young 剛性の自足証明，離散前提の具体化，Mosco→EVI 継承の l.s.c. 仮定追記，同期誤差項の定義を加えて，

$\text{CD(}\lambda ,\infty )\Rightarrow \text{MLSI}\Rightarrow \text{EVI},\text{Doob 曲率等式},\text{Mosco}\Rightarrow \text{定数 liminf},\text{Young/Dirac の剛性}$

を完全自足な純粋数学として確立した。これにより，上位理論（代数・幾何・解析）の無理のない接合点が用意された。

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