要旨

第一論文の枠組みを保持しつつ、宇宙の至宝（フルーリオの等式）を解析語彙に依存しない規準化原理として定式化する。すなわち、スケール生成元 $U$ に対する群キャラクタの固定

$\boxed{{\chi }_{\star }:⟨U⟩\cong \mathbb{Z}⟶\{\pm 1\}\subset k^{\times },{\chi }_{\star }(U)=-1}$

を採用する（＝位相格子の基点選択／ゲージ）。これにより、二点導分の統一、PBW 型標準形、Φ 系の構造列 $c_n=S_{n-1}$ の確定、二種の Φ-階乗・Φ-二項、二側版高階積、スケール共変性、付値非減少性、底変更の普遍性までを純代数で完結させる。

補足（記憶術）：従来の象徴的等式 ${\phi }^{i\pi /\log \phi }=-1$ は記憶の手がかりとしてのみ併記可能だが、公理は上の群準同型の固定にある。

0. 規約と記号

$\phi =\frac{1+\sqrt{5}}{2},\psi =\frac{1-\sqrt{5}}{2}=1-\phi =-{\phi }^{-1},\phi +\psi =1,\phi \psi =-1.$

• 係数体の固定：以後 $k=\mathbb{K}=\mathbb{Q}(\phi )$（$\mathrm{char}k=0$）とする。記号 $k^{\times }$ は ${\mathbb{K}}^{\times }$ に同じ。
• 作用素：$(T_{\alpha }f)(x)=f(\alpha x),(Uf)(x)=f(\phi x),(Rf)(x)=f(-x),(M_{1/x}f)(x)=x^{-1}f(x)$。
  補助関係：$R{M}_{1/x}=-M_{1/x}R$（PBW 検算で頻用）。
• 群：$D_{\infty }=⟨u,r\mid r^2=1,rur=u^{-1}⟩$（$U\leftrightarrow u,R\leftrightarrow r$）。
• 整数環：$\mathcal{O}=\mathbb{Z}[\phi ]$、${\mathcal{O}}^{\times }=\{\pm {\phi }^n\}$。
• 本稿は純代数であり、解析的ラプラシアンは使用しない。以後の $\Delta$ は二点作用素のみを指す。

1. 二点導分の統一表示と一次積の分解

定義 1.1（統一二点導分）

$\boxed{{\Delta }_{\alpha ,\beta ,\epsilon }:=M_{1/x}(\alpha U-\beta R^{\epsilon }{U}^{-1}),\alpha ,\beta \in k^{\times },\epsilon \in \{0,1\}}$

代表例：

• Φ 系：$D_{\Phi }={\Delta }_{{\phi }^{-1},\phi ,0}$
• F 系：$D_{\mathsf{F}}={\Delta }_{1/\sqrt{5},1/\sqrt{5},1}$
  具体モデルでは $R{U}^{-1}=T_{-{\phi }^{-1}}=T_{\psi }$（$\psi =-{\phi }^{-1}$）につき $D_{\mathsf{F}}=\frac{1}{\sqrt{5}}{M}_{1/x}(T_{\phi }-T_{\psi })$。

命題 1.2（一次積の分解）

$\Delta ={\Delta }^{(+)}-{\Delta }^{(-)},{\Delta }^{(+)}:=M_{1/x}(\alpha U),{\Delta }^{(-)}:=M_{1/x}(\beta {\sigma }_{-}),{\sigma }_{-}=\{\begin{array}{ll}{U}^{-1}& (\epsilon =0)\\ R{U}^{-1}& (\epsilon =1)\end{array}$

$\boxed{\Delta (fg)=\left({\Delta }^{(+)}f\right)(Ug)-\left({\sigma }_{-}f\right)\left({\Delta }^{(-)}g\right)}.$

2. フルーリオ代数学 $\mathcal{F}(A)$ と PBW 形

定義 2.1（交叉積への二点 Ore 拡大）

舞台：可換 $k$-代数 $A$（$k[x,x^{-1}]\subset A$）、${\sigma }_u(x)=\phi x,{\sigma }_r(x)=-x$。

生成元 $M_a(a\in A),U,R,\Delta$ と関係式

${\mathrm{Ad}}_U(M_a)=M_{{\sigma }_u(a)},{\mathrm{Ad}}_R(M_a)=M_{{\sigma }_r(a)},R^2=1,RUR=U^{-1},$

$\Delta M_a-M_{{\sigma }_u(a)}\Delta =\tilde{\delta }(a),\boxed{\tilde{\delta }(a)=\beta R^{\epsilon }{U}^{-1}{M}_{\frac{{\sigma }_u(a)-{\sigma }_{!}(a)}{x}}\in A⋊k[D_{\infty }],{\sigma }_{!}=\{\begin{array}{ll}{U}^{-1}& (\epsilon =0)\\ R{U}^{-1}& (\epsilon =1)\end{array}}$

ここで $x^{-1}\in A$ を仮定：例 $A=\mathbb{K}((x))$

定理 2.2（PBW 型標準形）

最小十分条件（第一論文と整合）：

• 語順：$(U,R,\Delta )$ の単純語順、または $(U^m{R}^{\epsilon })\prec (U^m{R}^{\epsilon }\Delta )$。

• 臨界対と縮約例（抜粋）：

  • $(U,R)$：関係 $RUR=U^{-1}$ により $RU\mapsto U^{-1}R$。
  • $(\Delta ,M_a)$：定義式で $\Delta M_a\mapsto M_{{\sigma }_u(a)}\Delta +\tilde{\delta }(a)$。
  • $(R,\Delta )$：${\Delta }^{(\pm )}=M_{1/x}(\cdots )$ と $R{M}_{1/x}=-M_{1/x}R$ を用い、$R\Delta$ を $\Delta R$ と項 $A⋊k[D_{\infty }]$ へ縮約。

• 終端性：$\tilde{\delta }(a)\in A⋊k[D_{\infty }]$ に落ち、Δ の出現回数が減少。

• 可換性：一般 $A$ では ${\sigma }_u$ と ${\sigma }_{-}={\sigma }_r\circ {\sigma }_u^{-1}$ は自明に可換でない。具体モデル $A=\mathbb{K}((x))$ では同時斉次置換のため可換。

結論：

$\mathcal{F}(A)\cong (A⋊k[D_{\infty }])\oplus (A⋊k[D_{\infty }])\Delta$

として $A$-自由。基底 $\{U^m{R}^{\epsilon },U^m{R}^{\epsilon }\Delta \}$。

忠実表現（即時理由）：標準表現 $\iota :\mathcal{F}(A)\hookrightarrow {\mathrm{End}}_k(A)$ では、$\Delta$ は次数を 1 下げ、$U,R$ は次数保持の上三角ブロック作用になる。PBW 基底に関する行列が上三角で対角に単元を持つため $\ker \iota =0$。よって $\iota$ は忠実。

3. 宇宙の至宝規準

公理 3.1（群キャラクタとしての規準）

$\boxed{{\chi }_{\star }:⟨U⟩\to \{\pm 1\},{\chi }_{\star }(U)=-1}$

を 規準（ゲージ） として固定する（位相格子の基点選択）。以後、枝・符号・係数は ${\chi }_{\star }$ により一意化される。

命題 3.2（最小位相の一意性）

${\phi }^z=-1⟺z=\frac{(2k+1)i\pi }{\log \phi }$。 $|\mathrm{Im}z|$ の最小選択は $z=\pm \frac{i\pi }{\log \phi }$ で、これが ${\chi }_{\star }(U)=-1$ の代数的影響に対応する。

補足（記憶術）：上式は単なる覚え書きであり、本文の公理は群準同型の固定である。

系 3.3（Φ 系の構造列の確定）

$\boxed{D_{\Phi }[x^n]=S_{n-1}{x}^{n-1},S_m:={\phi }^m-{\phi }^{-m}}$

計算：$D_{\Phi }=M_{1/x}({\phi }^{-1}U-\phi U^{-1})$、$U{x}^n={\phi }^n{x}^n$。

漸化生成：$S_0=0,S_1=\phi -{\phi }^{-1}$ から $S_{m+1}=(\phi +{\phi }^{-1})S_m-S_{m-1}(m\ge 1)$。

4. Φ-階乗・Φ-二項・二側版高階積

定義 4.1（二種の Φ-階乗と規格）

${\widehat{n!}}_{\Phi }:={\prod }_{k=1}^n{S}_k,n{!}_{\Phi }^{\mathrm{sca}}:={\prod }_{k=1}^{n-1}{S}_k,{\widehat{0!}}_{\Phi }=1,0{!}_{\Phi }^{\mathrm{sca}}=1.$

定義 4.2（Φ-二項係数）

$\boxed{{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)}_{\Phi }:=\frac{{\prod }_{j=1}^n{S}_j}{\left({\prod }_{j=1}^k{S}_j\right)\left({\prod }_{j=1}^{n-k}{S}_j\right)}}.$

定理 4.3（高階積：二側版ライプニッツ）

任意の多項式 $f,g$ に対し

$\boxed{D_{\Phi }^n(fg)=\sum _{k=0}^n{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)}_{\Phi }\left(T_{\phi }^{n-k}{D}_{\Phi }^{k}f\right)\left(T_{{\phi }^{-1}}^k{D}_{\Phi }^{n-k}g\right)}.$

係数再帰（境界条件つき）：

$\boxed{{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+1}{k}\right)}_{\Phi }={\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)}_{\Phi }{S}_{n-k}+{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k-1}\right)}_{\Phi }{S}_k(1\le k\le n),{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{0}\right)}_{\Phi }={\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{n}\right)}_{\Phi }=1,{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)}_{\Phi }=0(k\notin [0,n])}.$

スモークテスト（Leibniz $n=2$）：

$D_{\Phi }^2(fg)=\underset{k=0}{\underbrace{T_{\phi }^{2}f}}{D}_{\Phi }^{2}g+\underset{k=1}{\underbrace{\left(\frac{S_2}{S_1}\right)T_{\phi }{D}_{\Phi }f}}{T}_{{\phi }^{-1}}{D}_{\Phi }g+\underset{k=2}{\underbrace{D_{\Phi }^{2}f}}{T}_{{\phi }^{-2}}g.$

系 4.4（固有方程式の初期条件）

$D_{\Phi }f=f$、$f(x)={\sum }_{n\ge 0}{a}_n{x}^n$ で $a_n{S}_{n-1}=a_{n-1}(n\ge 1)\Rightarrow a_0=0,a_1$ 自由、 $a_2=\frac{a_1}{S_1},a_3=\frac{a_1}{S_1{S}_2},\dots$ すなわち

$f(x)=a_{1}x+\frac{a_1}{S_1}{x}^2+\frac{a_1}{S_1{S}_2}{x}^3+\cdots$

（本稿では形式級数として述べる。）

5. スケール共変性・多項式加群・F–Φ 構造対応

命題 5.1（スケール共変性）

任意の $a>0$、$T_{a}f(x)=f(ax)$ に対し

$\boxed{T_a^{-1}{\Delta }_{\alpha ,\beta ,\epsilon }{T}_a=a{\Delta }_{\alpha ,\beta ,\epsilon }}.$

一行導出：$T_a^{-1}{M}_{1/x}{T}_a=a{M}_{1/x},T_a^{-1}U{T}_a=U$ より。

命題 5.2（多項式表現）

$V=\mathrm{Span}\{x^n\}$ は $\mathcal{F}(A)$-加群： $U\cdot x^n={\phi }^n{x}^n,U^{-1}\cdot x^n={\phi }^{-n}{x}^n,D_{\Phi }\cdot x^n=S_{n-1}{x}^{n-1}$。

命題 5.3（F–Φ の構造対応：パリティ分解）

$V=V_{\mathrm{even}}\oplus V_{\mathrm{odd}}$（$Rf=\pm f$）で

${D_{\mathsf{F}}|}_{V_{\mathrm{even}}}=\frac{1}{\sqrt{5}}{M}_{1/x}(U-U^{-1}),{D_{\mathsf{F}}|}_{V_{\mathrm{odd}}}=\frac{1}{\sqrt{5}}{M}_{1/x}(U+U^{-1}).$

すなわち F 系は各パリティ上で $\epsilon =0$ 型の Δ に落ちる（係数 $\alpha =\pm \beta$）。

標準 Φ（$\alpha ={\phi }^{-1},\beta =\phi$）とは係数再規格化・底変更の組合せで比較（厳密同型ではなく“構造対応”）。

6. 付値と内容：黄金素数と共役

命題 6.1（付値非減少性）

$A=\mathcal{O}((x))$、$\alpha ,\beta \in {\mathcal{O}}^{\times }$、黄金素数 $\mathfrak{p}=(\varpi )$ に対し

$\boxed{v_{\mathfrak{p}}({\Delta }_{\alpha ,\beta ,\epsilon }f)\ge v_{\mathfrak{p}}(f)}.$

理由：$U^{\pm 1},R$ は各次数ごとに係数へ単元（$\pm {\phi }^n$/$\pm 1$）を掛けるのみ（付値不変）。$M_{1/x}$ は係数付値に影響せず。 さらに、${\mathcal{O}}_{\mathfrak{p}}$ は DVR で $v(a-b)\ge \min \{v(a),v(b)\}$。特に 単元差の付値は $\ge 0$ となるため、差分でも最小付値は落ちない。

命題 6.2（共役側の整合）

$\overline{\varpi }=a+b\psi$、$\overline{\mathfrak{p}}=(\overline{\varpi })$ に対し

$v_{\overline{\mathfrak{p}}}(\Delta f)=v_{\mathfrak{p}}(\Delta \overline{f})\ge v_{\mathfrak{p}}(\overline{f})=v_{\overline{\mathfrak{p}}}(f).$

7. 底変更の普遍性と規準の役割

命題 7.1（加群圏の同値）

任意の底 $a>0$ に対して得られる ${\mathcal{F}}^{(a)}(A)$ と ${\mathcal{F}}^{(\phi )}(A)$ の加群圏は同値。

構成：$\mathbb{Z}$-作用の生成元対応 $U_a\mapsto U_{\phi }$、${\Delta }^{(a)}\mapsto \lambda (a){\Delta }^{(\phi )}$（$\lambda (a)\in k^{\times }$）。

定理 7.2（宇宙の至宝＝規準による一意化）

上の同値で生じるスカラー自由度 $\lambda (a)$ は、宇宙の至宝規準（公理 3.1 の ${\chi }_{\star }$ 固定）により一意化される。 すなわち、位相評価 ${\chi }_{\star }(U)=-1$ の選択が、係数・符号・枝選択を全体系で固定する座標合わせとして働く。

8. 例（Φ 系の低次計算）

$D_{\Phi }[x]=0,D_{\Phi }[x^2]=S_{1}x=(\phi -{\phi }^{-1})x,D_{\Phi }[x^3]=S_2{x}^2=({\phi }^2-{\phi }^{-2})x^2,$

$D_{\Phi }^n[x^m]=\left({\prod }_{j=0}^{n-1}{S}_{m-1-j}\right)x^{m-n}(m\ge n).$

結語

宇宙の至宝を群キャラクタの固定として採用することで、二点導分の統一表示、PBW 形、Φ 系の構造列、二種の Φ-階乗・Φ-二項、二側版高階積、スケール共変性、付値非減少性、底変更の普遍性を解析記号を一切用いずに確立した。規準は、シリーズ全体（基盤論文／第一論文／本稿）の記号・規約の完全整合を保証し、実装上も係数・符号・枝の選択を一意化する。

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