要旨

黄金比 $\phi =\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ を基底とする二次体上で、二点スケール差分

${\Delta }_{\alpha ,\beta ,\epsilon }=M_{1/x}(\alpha U-\beta R^{\epsilon }{U}^{-1})$

を公理化し、交叉積 $A⋊k[D_{\infty }]$ への二点 Ore 拡大として抽象代数 $\mathcal{F}(A)$ を構成する。解析面では Φ 系（$\epsilon =0$）について Mellin 記号・保存則・モーメント連鎖・高階ライプニッツを本文内で自足導出する。組合せ面では構造列に基づく二系統（F/Φ）の階乗・二項係数・指数を提示し、算術面では黄金素数付値の非減少性を与える。確率幾何の規約（EVI の上側ディニ微分、Mosco（可変空間）、Doob 変換、Young 剛性）は基盤論文を参照する。

1. 規約・舞台・最小公理

1.1 記号と符号規約（Δ の衝突回避込み）

• ラプラシアン: ${\Delta }_g={\mathrm{div}}_g\nabla$（非正）。
• 重み／基準測度: $\mu =e^{-V}{\mathrm{vol}}_g$（$V\in C^2$）。
• 生成子: $L={\Delta }_g-⟨\nabla V,\nabla ⟩$ は $\mu$-対称。
• EVI 記法: 進化不等式は 上側ディニ微分 $d^{+}/dt$。距離空間は測地・完備を仮定。
• 以降、二点作用素を ${\Delta }_{\alpha ,\beta ,\epsilon }$ または文脈上 $\Delta$ と略記し、ラプラシアンは常に ${\Delta }_g$ と書く。

ノルムの区別（初出で明記）

• 測度 $\nu$ の全変動ノルム：$\Vert \nu {\Vert }_{\mathrm{TV}}$.
• 関数 $f$ の $L^1$-ノルム：$\Vert f{\Vert }_{L^1(\mu )}=\int |f|d\mu$. （$\Vert \nu {\Vert }_{\mathrm{TV}}\ne \Vert f{\Vert }_{L^1}$。記号は混用しない。）

1.2 量子・離散の最小公理（参照の位置づけ）

• 量子（有限次元）: (QR) 測地完備、(QG) $\dot{\mathrm{Ent}}=-\mathcal{I}$（非可換 Green）、(QC) 鎖則・二重性。
• 離散（可逆連鎖）: 可逆・連結・局所有界グラフ、対数平均 $\theta (a,b)=\frac{a-b}{\log a-\log b}$ に基づく Erbar–Maas 距離（測地完備・二重性）。

本稿では、これら最小公理は 代数側主結果の参照（EVI 継承や収縮の言及）にのみ用い、証明詳細は基盤論文に委ねる。

1.3 Mosco（可変ヒルベルト空間）とテンソライズ

• Kuwae–Shioya 型 Mosco: ${\mu }_h\ll \mu$ で RN 比 $c\le \frac{d{\mu }_h}{d\mu }\le C$ a.e.（または双リプシッツ同一化）。 狭義＋二次モーメント緊性と ${\mathrm{Ent}}_{{\mu }_h}$ の $L^1$-下半連続性 の下で、JKO 極小化列の極限半群は EVI（$d^{+}/dt$）を継承。
• テンソライズ／共変性: 直積で 定数（LSI・$T_2$・Noether 減衰率） は min 則で下界。ユニタリ共役・自己同型下で命題は不変。

2. 二点導分の統一公理（Frourio 型差分）

基本変換

$(T_{\alpha }f)(x)=f(\alpha x),(Uf)(x)=f(\phi x),(Rf)(x)=f(-x),(M_{1/x}f)(x)=x^{-1}f(x),$

$\phi =\frac{1+\sqrt{5}}{2},\psi =\frac{1-\sqrt{5}}{2}=1-\phi =-{\phi }^{-1}.$

定義 2.1（統一二点導分）

$\boxed{{\Delta }_{\alpha ,\beta ,\epsilon }:=M_{1/x}(\alpha U-\beta R^{\epsilon }{U}^{-1}),\alpha ,\beta \in k^{\times },\epsilon \in \{0,1\}}$

一次積の分解（標準形）

$\Delta ={\Delta }^{(+)}-{\Delta }^{(-)},{\Delta }^{(+)}:=M_{1/x}(\alpha U),{\Delta }^{(-)}:=M_{1/x}(\beta {\sigma }_{-}),{\sigma }_{-}=\{\begin{array}{ll}{U}^{-1}& (\epsilon =0)\\ R{U}^{-1}& (\epsilon =1)\end{array}$

$\boxed{\Delta (fg)=\left({\Delta }^{(+)}f\right)(Ug)-\left({\sigma }_{-}f\right)\left({\Delta }^{(-)}g\right)}.$

代表例

• Φ 系（解析枠）：$D_{\Phi }={\Delta }_{{\phi }^{-1},\phi ,0}=\frac{{\phi }^{-1}{T}_{\phi }-\phi T_{{\phi }^{-1}}}{x}$.
• F 系（Fibonomial 枠）：

$\boxed{D_{\mathsf{F}}={\Delta }_{1/\sqrt{5},1/\sqrt{5},1}=\frac{1}{\sqrt{5}}{M}_{1/x}(U-R{U}^{-1})}.$

具体モデルとの橋渡し：$R{U}^{-1}=T_{-{\phi }^{-1}}=T_{\psi }$（$\psi =-{\phi }^{-1}$）なので

$D_{\mathsf{F}}=\frac{1}{\sqrt{5}}{M}_{1/x}(T_{\phi }-T_{\psi }).$

即時に従う交換関係（実務用）

$D_{\Phi }U=\phi U{D}_{\Phi },D_{\Phi }{U}^{-1}={\phi }^{-1}{U}^{-1}{D}_{\Phi },[x{\partial }_x,D_{\Phi }]=-D_{\Phi }.$

3. 抽象フルーリオ代数 $\mathcal{F}(A)$

舞台：特性 $0$ の可換 $k$-代数 $A$（例：$\mathbb{K}((x))$、$\mathbb{K}=\mathbb{Q}(\phi )$）。

群：無限二面体群 $D_{\infty }=⟨u,r\mid r^2=1,rur=u^{-1}⟩$（$U\leftrightarrow u,R\leftrightarrow r$）。

作用の明記：${\sigma }_u(a)=(a\circ (x\mapsto \phi x))$、${\sigma }_r(a)=(a\circ (x\mapsto -x))$。

定義 3.1（交叉積への二点 Ore 拡大）

生成元 $M_a(a\in A),U,R,\Delta$ と関係式

${\mathrm{Ad}}_U(M_a)=M_{{\sigma }_u(a)},{\mathrm{Ad}}_R(M_a)=M_{{\sigma }_r(a)},R^2=1,RUR=U^{-1},$

$\Delta M_a-M_{{\sigma }_u(a)}\Delta =\tilde{\delta }(a),\boxed{\tilde{\delta }(a)=\beta R^{\epsilon }{U}^{-1}{M}_{\frac{{\sigma }_u(a)-{\sigma }_{-}(a)}{x}}}.$

（このとき $x^{-1}\in A$ を仮定：例 $A=\mathbb{K}((x))$。）

PBW の最小十分条件（具体化）

• 語順：$(U,R,\Delta )$ の単純語順、または $(U^m{R}^{\epsilon })\prec (U^m{R}^{\epsilon }\Delta )$。
• 臨界対：$(U,R)$、$(\Delta ,M_a)$、$(R,\Delta )$ の 3 系列を検査対象に列挙。
• 終端性：$\tilde{\delta }(a)\in A⋊k[D_{\infty }]$ に必ず落ち、Δ の出現次数が下がるため Bergman の補題が適用可能。
• 可換性補足：一般の抽象 $A$ では ${\sigma }_u$ と ${\sigma }_{-}={\sigma }_r\circ {\sigma }_u^{-1}$ は必ずしも可換ではない。ただし 具体モデル $A=\mathbb{K}((x))$ では（同時斉次置換ゆえ）可換。
• 補助関係の再掲：$R{M}_{1/x}=-M_{1/x}R$ は臨界対 $(R,\Delta )$ の簡約で有用。

定理 3.2（PBW 型標準形）

Bergman のダイヤモンド補題／Ore 条件の下で

$\mathcal{F}(A)\cong (A⋊k[D_{\infty }])\oplus (A⋊k[D_{\infty }])\Delta$

として $A$-自由。基底 $\{U^m{R}^{\epsilon },U^m{R}^{\epsilon }\Delta \}$。

忠実表現の備考（明示）：標準表現

$\iota :\mathcal{F}(A)\hookrightarrow {\mathrm{End}}_k\left(A\right),\iota (M_a)=\text{乗算},\iota (U)=T_{\phi },\iota (R)=R,\iota (\Delta )={\Delta }_{\alpha ,\beta ,\epsilon }$

は作用の定義から準同型となり、PBW 基底像が線形独立であることにより忠実（したがって PBW 形も従う）。

共変性：ユニタリ共役・自己同型で構成は不変。テンソル積で PBW 形は保存し、定数は min 則で下界。

4. 解析表現（Φ 系）

4.1 Mellin 記号と有界性（自足導出）

複素冪の主値規約：$a^z:=\exp (z\log a)$（$a>0$、$\log$ は主値）。この規約で $S_z:={\phi }^z-{\phi }^{-z}$ を定める。

$\boxed{\mathcal{M}[{\Delta }_{\alpha ,\beta ,0}f](s)=(\alpha {\phi }^{-s+1}-\beta {\phi }^{s-1})\mathcal{M}[f](s-1)}.$

とくに

$\mathcal{M}[D_{\Phi }f](s)=({\phi }^{-s}-{\phi }^s)\mathcal{M}[f](s-1)=S_{-s}\mathcal{M}[f](s-1).$

導出：$\mathcal{M}\left[\frac{T_{\alpha }f}{x}\right](s)={\alpha }^{-(s-1)}\mathcal{M}[f](s-1)$（置換 $u=\alpha x$）。

作用域と閉包：解析導出は $\mathcal{S}((0,\infty ))$（十分減衰・滑らか）または $C_c^{\infty }$ で行い、$H_{\sigma }$ への稠密作用域から閉包として拡張する。

Plancherel 空間：

$H_{\sigma }:=L^2((0,\infty ),x^{2\sigma -1}dx).$

有界性（評価線 $\Re s=\sigma$）：

$\Vert D_{\Phi }{\Vert }_{H_{\sigma }\to H_{\sigma -1}}\le {\sup }_{t\in \mathbb{R}}|{\phi }^{-\sigma }-{\phi }^{\sigma }{e}^{2it\log \phi }|\le {\phi }^{\sigma }+{\phi }^{-\sigma }=2\cosh (\sigma \log \phi ).$

Mellin 記号の零点：$S_{-s}=0⟺s=\frac{i\pi k}{\log \phi }$（基本周期 $\Delta \tau =\pi /\log \phi$）。

4.2 保存則とモーメント連鎖

十分減衰する $f$ に対し

$\boxed{{\int }_0^{\infty }{D}_{\Phi }f(x)\frac{dx}{x}=0}(\text{総量保存}).$

証明：${\int }_0^{\infty }\frac{{\phi }^{-1}f(\phi x)-\phi f({\phi }^{-1}x)}{x}\frac{dx}{x}$。
$u=\phi x$、$v={\phi }^{-1}x$ で各項が $\int f(\cdot )d(\cdot )/(\cdot {)}^2$ に一致し差が 0。

${\partial }_{t}u=D_{\Phi }u$、$M_s(t):={\int }_0^{\infty }{x}^{s}u\frac{dx}{x}$ に対し

$\boxed{\frac{d}{dt}{M}_s(t)=S_{-s}{M}_{s-1}(t),S_{-s}={\phi }^{-s}-{\phi }^s}.$

導出：$\frac{d}{dt}{M}_s=\int x^s{D}_{\Phi }u\frac{dx}{x}=\int x^{s-2}({\phi }^{-1}u(\phi x)-\phi u({\phi }^{-1}x))dx$。 $y=\phi x,z={\phi }^{-1}x$ で ${\phi }^{-s}\int y^{s-2}u(y)dy-{\phi }^s\int z^{s-2}u(z)dz=({\phi }^{-s}-{\phi }^s)M_{s-1}$。

適用域の備考：十分減衰関数（例：$\mathcal{S}$）で導出した後、$H_{\sigma }$ に対して近似と閉包により正当化できる。

5. 構造列と二系統（F/Φ）

定義 5.1（構造列）

$\Delta [x^n]=c_n{x}^{n-1}(n\ge 1),n{!}_{(c)}:={\prod }_{k=1}^n{c}_k,{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)}_{(c)}:=\frac{n{!}_{(c)}}{k{!}_{(c)}(n-k){!}_{(c)}}.$

Φ 系：$D_{\Phi }[x^n]=S_{n-1}{x}^{n-1}$（$S_m={\phi }^m-{\phi }^{-m}$）。

• 演算子級数：${\widehat{n!}}_{\Phi }={\prod }_{k=1}^n{S}_k$。
• 固有方程式 $D_{\Phi }f=f$：$S_0=0$ のため $a_0=0$ 必要、係数 $a_n=\frac{a_1}{{\prod }_{k=1}^{n-1}{S}_k}$（$n\ge 2$）。
• 収束備考：上式はまず形式級数として理解。関数級数としての収束は $|x|$ や加重に依存（小半径での絶対収束など）。

F 系：$D_{\mathsf{F}}[x^n]=F_n{x}^{n-1}$、$n{!}_F={\prod }_{k=1}^n{F}_k$、${\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)}_F=\frac{n{!}_F}{k{!}_F(n-k){!}_F}$。

補題 5.2（単項式の高階作用）

$D_{\Phi }^n[x^m]=\left({\prod }_{j=0}^{n-1}{S}_{m-1-j}\right)x^{m-n}(m\ge n),$

特に ${\prod }_{j=1}^m{S}_{j-1}={\widehat{m!}}_{\Phi }$ が現れ、Φ-階乗の直観と一致。

6. 高階積（Leibniz）

定理 6.1（Φ 系・高階ライプニッツ）

$\boxed{D_{\Phi }^n(fg)=\sum _{k=0}^n{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)}_{\Phi }\left(T_{\phi }^{n-k}{D}_{\Phi }^{k}f\right)\left(T_{{\phi }^{-1}}^k{D}_{\Phi }^{n-k}g\right)}.$

係数再帰（明示）

$>\boxed{{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+1}{k}\right)}_{\Phi }>={\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)}_{\Phi }{S}_{n-k}>+{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k-1}\right)}_{\Phi }{S}_k(1\le k\le n),>{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{0}\right)}_{\Phi }={\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{n}\right)}_{\Phi }=1,{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)}_{\Phi }=0(k\notin [0,n])}.>$

証明スケッチ：一次積の分解式（§2）を用いた帰納。 一般 $\Delta$ は ${\Delta }^{(+)}-{\Delta }^{(-)}$ の分解を逐次適用して反復展開する。

7. Young 畳み込みの等号剛性（必要十分）

定理 7.1（可換群 $G\in \{\mathbb{R},\mathbb{Z}\}$）

任意の $f\in L^2(G)$、有限全変動測度 $\nu$ について

$\Vert f\ast \nu {\Vert }_2\le \Vert f{\Vert }_2\Vert \nu {\Vert }_{\mathrm{TV}},$

かつ

$\boxed{\Vert f\ast \nu {\Vert }_2=\Vert f{\Vert }_2\Vert \nu {\Vert }_{\mathrm{TV}}⟺\nu =e^{i\varphi }{\delta }_{s_0}(\varphi \in \mathbb{R},s_0\in G)}.$

スケッチ: フーリエ側で $\widehat{f\ast \nu }=\hat{f}\cdot \hat{\nu }$ と CS の等号条件より $|\hat{\nu }|=\Vert \nu {\Vert }_{\mathrm{TV}}$ a.e.。 さらに $\hat{\nu }$ は正定値（有限測度のフーリエ変換）ゆえ、$|\hat{\nu }|=1$ a.e. なら キャラクタに限られ（Bochner）、$\nu =e^{i\varphi }{\delta }_{s_0}$。逆向きは自明。

命題 7.2（非可換群）

随伴表示の下で ユニタリ共役な点質量（中央位相付き） が iff 条件に対応。

8. 算術：黄金整数環と付値

$\mathcal{O}=\mathbb{Z}[\phi ]$、${\mathcal{O}}^{\times }=\{\pm {\phi }^n\}$。

命題 8.1（付値非減少性）

$\alpha ,\beta \in {\mathcal{O}}^{\times }$、$A=\mathcal{O}((x))$、黄金素数 $\varpi$ に対し

$v_{\varpi }\left({\Delta }_{\alpha ,\beta ,\epsilon }f\right)\ge v_{\varpi }(f).$

理由: $U^{\pm 1},R$ は各次数ごとに係数へ単元（$\pm {\phi }^n$/$\pm 1$）を掛けるのみ（付値不変）。$M_{1/x}$ は係数付値に影響せず。差分は係数差の付値で非減少。

共役側：対合により $v_{\overline{\mathfrak{p}}}(\Delta f)\ge v_{\overline{\mathfrak{p}}}(f)$。

9. 例と計算

• Φ 系：$D_{\Phi }[x]=0$、$D_{\Phi }[x^2]=S_{1}x$、$D_{\Phi }[x^3]=S_2{x}^2$。
• F 系：$D_{\mathsf{F}}[x^n]=F_n{x}^{n-1}$。
• 生成関数（F 系）：$F(x)=\sum _{n\ge 0}{F}_n{x}^n=\frac{x}{1-x-x^2}$ に対し

$D_{\mathsf{F}}F(x)={\sum }_{n\ge 0}{F}_{n+1}^2{x}^n=\frac{1-x}{1-2x-2x^2+x^3},$

（$\{F_{n+1}^2\}$ は $a_n=2a_{n-1}+2a_{n-2}-a_{n-3}$ に従う）。

10. 連続・量子・離散への接続（参照）

• EVI（$d^{+}/dt$）／収縮、Doob 変換、Mosco⇒EVI 継承：基盤論文 §2–4, §7。
• Dirac 指数の剛性（幾何側）：基盤論文 §6（本稿の代数層からは外部参照）。

結語

二点導分

${\Delta }_{\alpha ,\beta ,\epsilon }=M_{1/x}(\alpha U-\beta R^{\epsilon }{U}^{-1})$

で F/Φ 系を統一し、$\mathcal{F}(A)$ を二点 Ore 拡大として確立した。Φ 系では Mellin 記号・保存則・モーメント連鎖・高階ライプニッツを本文内で自足的に導出し、確率幾何の EVI（$d^{+}/dt$）、Mosco（可変空間）、Doob 変換、Young 剛性とは基盤論文のみを参照して無矛盾に接続した。算術側では黄金素数付値の非減少性を満たす。これにより、代数—解析—算術の三層が一貫した枠組で接続される。

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