要旨

フルーリオ解析学の第六論文から第十一論文の装置（相乗・BV 作用・曲率・Ward・ゲージ化）を踏まえ，Frourio チャネルの連続–離散–非可換を横断する基盤を完成させる。主結論は次の四点である。

1. Ward 同一性のコホモロジー化：$\tau ,\theta ,n$ 全方向の複体 ${\delta }_W={\partial }_{\tau }\oplus {\partial }_{\theta }\oplus {\mathrm{div}}_d$ を定め，保存＝閉，アノマリー＝コサイクル，Bianchi で二次障害が消えることを示す
2. Frourio–Dirac 指数：主 Dirac（$\tau ,\theta$）に Frourio 差分を有界摂動として加え，指数はChern 数＋離散 windingで与えられる
3. 非可換 MLSI： GNS 内積・詳細釣り合い（DB） の下で Bakry–Émery 型の $\Gamma$–${\Gamma }_2$ を定義し，NC-BE $(\lambda )\Rightarrow MLSI(\lambda )$ と Noether 量の指数減衰を導く
4. トポロジカル量の Γ-収束安定：Zak–Mellin 離散化で Chern／winding は整数値として飛ばず，十分小さなメッシュで 最終的に一定（eventual constancy） となる

0. 規約・準備

• 幾何：${\mathbb{T}}_a=[0,2\pi /\log a)$（$\theta$）。必要に応じ $\tau$ を周期化して ${\mathbb{T}}_{\tau }$。格子方向は $\mathbb{Z}$（添字 $n$）。

• Hilbert 束：$\pi :\mathcal{H}\to {\mathbb{T}}_a\times \mathbb{R}$，繊維 ${\mathcal{H}}_{(\theta ,\tau )}\cong {\mathbb{C}}^d$。

• 接続・曲率：

  $D_{\bullet }={\partial }_{\bullet }+\mathrm{ad}(A_{\bullet }),F_{ab}=[D_a,D_b],a,b\in \{\theta ,\tau ,n\}.$

• 行列値のスカラー化：$⟨X,Y{⟩}_{\mathrm{HS}}:=\Re \mathrm{Tr}(X^{†}Y)$。

• 確率化（連続基準）：$\hat{f}(\tau )\in {\mathbb{C}}^{d\times d}$ に対し

  $p_f(\tau )=\frac{\mathrm{Tr}({\hat{f}}^{†}\hat{f})}{\frac{1}{2\pi }\int \mathrm{Tr}({\hat{f}}^{†}\hat{f})d\tau },{\mathsf{R}\acute{\mathsf{e}}\mathsf{nyi}}_2(f)=-\log \int p_f(\tau {)}^{2}d\tau .$

  OU/曲率節では ${\mu }_{\lambda }(d\tau )\propto e^{-\lambda {\tau }^2/2}d\tau$ に対する相対版を用いる。

• 複合指標：${\mathcal{C}}_{\Phi }=\alpha {\mathsf{R}\acute{\mathsf{e}}\mathsf{nyi}}_2+\beta {\mathrm{W}}_{\delta }+\gamma {\mathcal{D}}_{\sigma }$（幅は滑らか近似 ${\mathrm{W}}_{\delta ,\epsilon }$ から BV 極限）。

• Noether 量：

  $Q_X(f)=\int ⟨\frac{\delta {\mathcal{C}}_{\Phi }}{\delta f},X\cdot f{⟩}_{\mathrm{HS}}d\mu \in \mathbb{R}.$

• 核ノルム：測度核の $\Vert \nu {\Vert }_{TV}$ は全変動ノルム（複素有限測度）。関数は $L^1$ と区別して記す。

• Loewner 順序：自己共役作用素 $A,B$ について $A⪰B$ は標準 Loewner 順序（$⟨v,(A-B)v⟩\ge 0\forall v$）を意味する。

• 定義域の規約：未断りのない限り，微分型作用素の定義域は $H^1$（トーラスでは Sobolev $H^1({\mathbb{T}}_a\times {\mathbb{T}}_{\tau })$）に取る。

1. コホモロジー化 Ward–Bianchi

1.1 Ward 複体（方向完備）

弱形式の Ward をテスト関数 $\phi \in C_c^{\infty }({\mathbb{T}}_a\times \mathbb{R})$／離散では配列 $\phi :\mathbb{Z}\to \mathbb{C}$ に対し

$\begin{array}{rl}⟨\frac{\delta {\mathcal{C}}_{\Phi }}{\delta p}(p)\phi ,X\cdot p⟩& =⟨{\mathfrak{W}}_X[p],{\partial }_{\tau }\phi ⟩+⟨{\mathfrak{W}}_X^{(\theta )}[p],{\partial }_{\theta }\phi ⟩\\ & +⟨{\mathfrak{W}}_X^{(n)}[p],{\mathrm{div}}_d\phi ⟩+⟨{\mathfrak{K}}_X^A[p],\phi ⟩,\end{array}$

と定める。これにより

$\boxed{{\delta }_W={\partial }_{\tau }\oplus {\partial }_{\theta }\oplus {\mathrm{div}}_d}$

を Ward 複体とする。ad 起源コサイクルは

${\mathfrak{K}}_X^A=⟨J_{X,\tau }(p),\mathrm{ad}(A_{\tau })\cdot ⟩+⟨J_{X,\theta }(p),\mathrm{ad}(A_{\theta })\cdot ⟩.$

1.2 Ward–Bianchi の主定理

定理 XII-1（保存＝閉，アノマリー＝コサイクル）

平坦接続 $A$（$F_{ab}\equiv 0$）かつ可換核（$[X,m]=0$）のもと ${\mathfrak{K}}_X^A\equiv 0$，従って ${\delta }_W({\mathfrak{W}}_X,{\mathfrak{W}}_X^{(\theta )},{\mathfrak{W}}_X^{(n)})=0$（保存）。 一般の $A$ では ${\mathfrak{K}}_X^A$ は 1-コサイクルであり，Bianchi

$\boxed{D_n{F}_{\theta \tau }+D_{\theta }{F}_{\tau n}+D_{\tau }{F}_{n\theta }=0}$

により二次障害 ${\delta }_W{\mathfrak{K}}_X^A=0$ が成立。

2. Frourio–Dirac 指数（主 Dirac＋有界摂動）

2.1 作用素と仮定

主 Dirac（$\tau ,\theta$）：

$\boxed{{\mathcal{D}}_{\mathrm{prin}}^A:=\left(\begin{array}{cc}0& D_{\tau }+i{D}_{\theta }\\ D_{\tau }-i{D}_{\theta }& 0\end{array}\right)},\mathrm{Dom}({\mathcal{D}}_{\mathrm{prin}}^A)=H^1({\mathbb{T}}_a\times {\mathbb{T}}_{\tau };{\mathbb{C}}^2\otimes {\mathbb{C}}^d).$

Frourio 差分の 0 次摂動：

$V:=U_{\sigma -1}^{-1}{M}_{S_{-(\sigma +i\tau )}}{U}_{\sigma -1},\boxed{{\mathcal{D}}_F^A:={\mathcal{D}}_{\mathrm{prin}}^A+\left(\begin{array}{cc}0& V\\ V^{†}& 0\end{array}\right)}.$

仮定：$\sigma \ne 0$。すると $S_{-(\sigma +i\tau )}=a^{-\sigma }{e}^{-i\tau \log a}-a^{\sigma }{e}^{i\tau \log a}\ne 0$（$\forall \tau$），よって $V$ は有界可逆。したがって ${\mathcal{D}}_F^A$ は ${\mathcal{D}}_{\mathrm{prin}}^A$ の有界摂動で，Fredholm 指数は不変。

2.2 指数定理（連続×離散）

$\tau$ を周期化して ${\mathbb{T}}_{\tau }$ とする。

定理 XII-2（Frourio–Dirac 指数）

$\boxed{\mathrm{ind}{\mathcal{D}}_F^A=\frac{1}{2\pi i}{\iint }_{{\mathbb{T}}_a\times {\mathbb{T}}_{\tau }}\mathrm{Tr}{F}_{\theta \tau }d\theta d\tau +{\mathcal{I}}_{\mathrm{lat}}}$

が成り立つ。${\mathcal{I}}_{\mathrm{lat}}\in \mathbb{Z}$ は離散方向 $n$ の winding に由来する Toeplitz/APS 型境界項。 証概略：主記号は ${\xi }_{\tau }{\sigma }_1+{\xi }_{\theta }{\sigma }_2$ で 2D 楕円。指数は Chern 数。$V$ は有界摂動で指数不変。格子境界で APS/Toeplitz の整数補正が生じる。

3. 非可換 MLSI（GNS 対称／DB）

3.1 前提（GNS 対称・導来・Loewner）

完全正トレース保存半群 ${\partial }_t{\rho }_t={\mathcal{L}}^A({\rho }_t)$。不変状態 ${\rho }_{\ast }$ に対し ${\mathcal{L}}^A$ は ${\rho }_{\ast }$-GNS 内積で 対称（詳細釣り合い, DB） とする。導来族 ${\delta }_j=[W_j^A,\cdot ]$ による carré-du-champ ${\Gamma }^A,{\Gamma }_2^A$ を GNS 内積上で定義し，

$\boxed{{\Gamma }_2^A⪰\lambda {\Gamma }^A}(\text{Loewner 順序})$

を NC-BE $(\lambda )$ と呼ぶ。

3.2 主結果：MLSI と Noether 減衰

定理 XII-3

相対エントロピー ${\mathrm{Ent}}_{{\rho }_{\ast }}(\rho )=\mathrm{Tr}(\rho (\log \rho -\log {\rho }_{\ast }))$ は

$\boxed{{\mathrm{Ent}}_{{\rho }_{\ast }}({\rho }_t)\le e^{-2\lambda t}{\mathrm{Ent}}_{{\rho }_{\ast }}({\rho }_0)}.$

さらに ${\mathcal{C}}_{\Phi }$ に付随する Noether 量は

$\boxed{|Q_X(t)|\le e^{-\lambda t}|Q_X(0)|}.$

証概略：DB 下での NC-BE $(\lambda )\Rightarrow MLSI(\lambda )$（Carlen–Maas 型）。Noether 量は ${\dot{Q}}_X=-{\mathcal{E}}_X$, ${\mathcal{E}}_X\ge \lambda {\mathcal{Q}}_X$（Loewner）から CS＋Grönwall。

脚注：エントロピー減衰の係数（$2\lambda$）と Noether 線形量の係数（$\lambda$）は $\Gamma$ の正規化に依存する。本稿は BE 標準正規化に従う。

4. トポロジー安定と Γ-収束

Zak–Mellin 離散化 $(A^{(h)},m^{(h)},{\nu }^{(h)})\to (A,m,\nu )$ を考える。

定理 XII-4（Chern／winding の安定：eventual constancy）

(1) (liminf) $F^{(h)}\to F$ が $L^1$-弱収束かつ $\{F^{(h)}\}$ が 一様可積分（equiintegrable） なら

$\frac{1}{2\pi i}\iint \mathrm{Tr}{F}_{\theta \tau }^{(h)}⟶\frac{1}{2\pi i}\iint \mathrm{Tr}{F}_{\theta \tau }.$

(2) (recovery) 任意の整数 $k$ に対し，Chern $=k$ を保つ離散化列が構成できる。

(3) 値域が $\mathbb{Z}$ なので，十分小さい $h$ で左右は一致（整数は飛ばない）。

(4) Ward/Noether の減衰定数は下方半連続。誤差はフレーム比 $B/A$ と $\Vert F{\Vert }_{L^1}$ の一様可積分性，$\Vert \mathrm{Hol}{\Vert }_{\mathrm{op}}$ のみ依存。

5. 等号剛性と設計

定理 XII-5

(保存) $F\equiv 0$, $[X,m]=0$, $\nu ={\delta }_0$ ⇒ Ward 閉，Noether 保存

(散逸) NC-BE $(\lambda )$ 下，OU/ガウス不変族で MLSI 等号・Talagrand 鋭い

(混在) ${\mathfrak{K}}_X^A\equiv 0$ かつ ${\Gamma }_2=\lambda \Gamma$（等距離曲率）で全鎖の等号同時達成

設計指針：$[X,m]=0$（可換核），$\Vert F\Vert ,\Vert \mathrm{Hol}\Vert$ の最小化。離散は $\mathrm{Ad}(e^{B_n})$ の定数化で Γ 誤差抑制

6. 例示（各 3 行）

• 可換・平坦：$A\equiv 0$，$m(\tau )=e^{i\varphi (\tau )}I$ ⇒ ${\mathfrak{K}}_X^A=0$。指数は ${\mathcal{I}}_{\mathrm{lat}}$ のみ
• 定曲率 OU：$A_{\theta }=\frac{\kappa }{2}J\theta$，$A_{\tau }=0$（$U(1)$） ⇒ Chern $=\kappa$，Noether 減衰率 $=\lambda$
• 周期化位相チャネル：$\tau \in {\mathbb{T}}_{\tau }$ ⇒ $\mathrm{ind}{\mathcal{D}}_F^A=k\in \mathbb{Z}$。離散 winding と加算して設計的に目標 $k$ を実現

付録

A. Ward 複体と Bianchi

${\Omega }_W^{\bullet }$ を Bochner 可測の $\tau ,\theta$ 分布と格子差分に取り，${\delta }_W={\partial }_{\tau }\oplus {\partial }_{\theta }\oplus {\mathrm{div}}_d$。${\mathfrak{K}}_X^A$ は $\mathrm{ad}(A_{\tau }),\mathrm{ad}(A_{\theta })$ に線形。Bianchi（添字 $n$）で ${\delta }_W{\mathfrak{K}}_X^A=0$。

B. Frourio–Dirac の Fredholm 性

${\mathcal{D}}_{\mathrm{prin}}^A$ は 2D Dirac（主記号 ${\xi }_{\tau }{\sigma }_1+{\xi }_{\theta }{\sigma }_2$），$\mathrm{Dom}=H^1$。${\mathcal{D}}_F^A$ は有界摂動で指数不変。Toeplitz/APS 境界で ${\mathcal{I}}_{\mathrm{lat}}\in \mathbb{Z}$。

C. 非可換 $\Gamma$–${\Gamma }_2$ と MLSI

GNS 内積に対応した導来族 ${\delta }_j$ で ${\Gamma }^A(X)={\sum }_j{\delta }_j(X{)}^{†}{\delta }_j(X)$。Loewner で ${\Gamma }_2^A⪰\lambda {\Gamma }^A\Rightarrow MLSI(\lambda )$。Noether 減衰は ${\dot{Q}}_X=-{\mathcal{E}}_X$, ${\mathcal{E}}_X\ge \lambda {\mathcal{Q}}_X$ から導く。

D. Γ-収束の細目

(liminf) はフレーム両側評価＋Jensen，(recovery) は $\theta ,\tau$ 平均に整合するサンプリング列で構成。Chern は値域が $\mathbb{Z}$ のため最終的に一定となる。

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結語

本稿は，保存＝閉（Ward 複体）/散逸＝曲率（NC-BE→MLSI）/トポロジー＝指数（Chern＋winding） を，主 Dirac（$\tau ,\theta$）＋Frourio 差分（有界摂動）という最短経路で統合した。Γ-収束により整数不変量の安定を保証し，連続–離散–非可換の設計論を完結させる。