要旨

第六〜十二論文の装置（Frourio：情報—測度—勾配流；Ward–Bianchi；非可換 MLSI；指数とΓ-収束）を、一般相対論（GR）・量子重力（QG；数学的意味）・統一場・四相互作用の一文化にまとめる純粋数学の公理系を与え、統一作用から Frourio–Einstein–Yang–Mills–Dirac（FEYMD） 方程式を導く。

主結果：

1. 加重ローレンツ幾何 $(M,g,\mu =e^{-V}{\mathrm{vol}}_g)$ と Bakry–Émery 曲率
2. 統一作用からの FEYMD
3. 静的・弱場で $\varphi =V/2$ により $-\Delta \varphi =4\pi G\rho$ への厳密退化
4. NC-BE($\lambda$)$\Rightarrow$MLSI($\lambda$) による量子部の指数安定と応力の強正性
5. トポロジー（Chern＋winding）と Γ-収束による整数不変量の安定

0. 公理と記法

0.1 符号・微分規約

• 計量符号：$(+,-,-,-)$
• 空間ラプラシアン：$\Delta ={\sum }_{i=1}^3{\partial }_i^2$（正）、従ってポアソン式は $\boxed{-\Delta \varphi =4\pi G\rho }$
• 加重発散：${\mathrm{div}}_{\mu }X:=e^V{\nabla }_{\mu }(e^{-V}{X}^{\mu })$

0.2 公理A（加重ローレンツ幾何）

${\mathrm{Ric}}_V:=\mathrm{Ric}+{\nabla }^{2}V,R_V:=R+2\Delta V-|\nabla V{|}^2,G^{(V)}:={\mathrm{Ric}}_V-\frac{1}{2}{R}_{V}g.$

加重Bianchi（恒等式）：

$\boxed{{\mathrm{div}}_{\mu }{G}^{(V)}=0}(\text{付録A}).$

0.3 公理B（ゲージ束・YM）

主束 $P\to M$（構造群 $K$ コンパクト）。接続 $A$、曲率 $F$。$\mu$-加重 YM：${\mathrm{div}}_{\mu }F=J$。本稿の $⟨F,F⟩:=\frac{1}{2}\mathrm{Tr}(F_{\mu \nu }{F}^{\mu \nu })$ は慣例の $-\frac{1}{4}{F}_{\mu \nu }{F}^{\mu \nu }$ と同値規格化（計量符号による）。

0.4 公理C（量子繊維・GNS・NC-BE）

各点 $x$ に von Neumann 代数 ${\mathcal{A}}_x$ と CP, trace-preserving Markov 半群 $e^{t{\mathcal{L}}_x}$。不変状態 ${\rho }_{\ast ,x}$ に対する GNS 詳細釣り合い（対称）。導来 ${\delta }_j$ で $\Gamma ,{\Gamma }_2$ を定義し、NC-BE($\lambda$)：${\Gamma }_2⪰\lambda \Gamma$（Loewner）。

0.5 公理D（Frourio 作用・Ward・指数）

複合指標 ${\mathcal{C}}_{\Phi }=\alpha {\mathsf{R}\acute{\mathsf{e}}\mathsf{nyi}}_2+\beta {\mathrm{W}}_{\delta }+\gamma {\mathcal{D}}_{\sigma }$。Ward–Bianchi 複体 ${\delta }_W$。Frourio–Dirac 指数 $\mathrm{ind}{\mathcal{D}}_F^A\in \mathbb{Z}$。

1. 統一変分作用と FEYMD

1.1 統一作用と正規化

$\boxed{\mathcal{S}[g,V,A,\psi ]={\int }_M\left\{\frac{1}{2\kappa }\right(R_V-2\Lambda )+\frac{1}{2}⟨F,F⟩+\bar{\psi }/D_{A,g}\psi \}d\mu +{\mathcal{S}}_{\mathrm{Fr}}[\mu ,\text{fiber}]}$

ここで $\kappa =8\pi G$。$M$ は spin（あるいは $spi{n}^c$）多様体、$/D_{A,g}$ はその上の Dirac。$d\mu =e^{-V}{\mathrm{vol}}_g$。

1.2 Euler–Lagrange（FEYMD）

• 幾何（加重Einstein）

$\boxed{G_{\mu \nu }^{(V)}+\Lambda g_{\mu \nu }=\kappa (T_{\mu \nu }^{\mathrm{YM}}+T_{\mu \nu }^{\mathrm{Dir}}+T_{\mu \nu }^{\mathrm{F}})}$

（規格化の下で $T_{00}^{\mathrm{YM}}\ge 0$（符号 $(+,-,-,-)$ による））

• YM（$\mu$-加重）：${\mathrm{div}}_{\mu }F=J^{\mathrm{Dir}}+J^{\mathrm{F}}$
• Ward–Bianchi（弱形式）：${\delta }_W(\mathfrak{W})=\mathfrak{K}(A)$、Bianchi で ${\delta }_W\mathfrak{K}=0$
• 指数整合：$\mathrm{ind}{\mathcal{D}}_F^A=\frac{1}{2\pi i}\iint \mathrm{Tr}F+{\mathcal{I}}_{\mathrm{lat}}\in \mathbb{Z}$

1.3 $V$ の場の方程式（動的場）

$\boxed{2{\Delta }_{\mu }V+(R-2\Lambda +|\nabla V{|}^2)=-2\kappa {\mathcal{L}}_{\mathrm{matt}}}({\Delta }_{\mu }:={\mathrm{div}}_{\mu }\nabla ),$

${\mathcal{L}}_{\mathrm{matt}}=\frac{1}{2}⟨F,F⟩+\bar{\psi }/D\psi +{\mathcal{L}}_{\mathrm{Fr}}$。

注（従属性の条件）：物質側の加重保存 ${\mathrm{div}}_{\mu }(T^{\mathrm{YM}}+T^{\mathrm{Dir}}+T^{\mathrm{F}})=0$ と場の方程式が成り立つとき、加重Bianchi ${\mathrm{div}}_{\mu }{G}^{(V)}=0$ から $V$-方程式は従属となる（Noether 恒等式）。

2. 静的・弱場における「重力＝時間密度」対応

静的計量 $g_{00}=e^{2\varphi },g_{0i}=0,g_{ij}\simeq -{\delta }_{ij}$、$|\varphi |\ll 1$ とし $V:=2\varphi$。 ワンステップ導出：

${\mathrm{Ric}}_{00}=-\Delta \varphi +O(|\varphi {|}^2),\Delta V=2\Delta \varphi ,|\nabla V{|}^2=O(|\varphi {|}^2).$

よって

$G_{00}^{(V)}={\mathrm{Ric}}_{00}+\frac{1}{2}{\partial }_0{\partial }_{0}V-\frac{1}{2}(R+2\Delta V-|\nabla V{|}^2)g_{00}=-\Delta \varphi +O(|\varphi {|}^2).$

FEYMD の $00$ 成分は

$\boxed{-\Delta \varphi =4\pi G\rho }(\kappa =8\pi G),$

すなわち 重力ポテンシャル $\varphi$ は時間密度 $V/2$ と一致（弱場で厳密）。

3. 量子重力：NC-BE $\Rightarrow$ MLSI と指数安定

定理 3.1（非可換MLSI・Noether指数減衰）

各繊維 $({\mathcal{A}}_x,{\rho }_{\ast ,x},{\mathcal{L}}_x)$ が GNS-DB かつ NC-BE($\lambda$) を満たすとき

${\mathrm{Ent}}_{{\rho }_{\ast ,x}}({\rho }_t)\le e^{-2\lambda t}{\mathrm{Ent}}_{{\rho }_{\ast ,x}}({\rho }_0),|Q_X(t)|\le e^{-\lambda t}|Q_X(0)|.$

Frourio 応力 $T^{\mathrm{F}}$ は 強正性とエネルギー散逸を満たす。

代表式（見通し用）：

$\boxed{T_{\mu \nu }^{\mathrm{F}}=\alpha {\mathcal{E}}_{\mu }{\mathcal{E}}_{\nu }+\gamma ⟨D_{\mu }\Psi ,D_{\nu }\Psi {⟩}_{HS}-g_{\mu \nu }{\mathcal{L}}_{\mathrm{Fr}}}$

（$\mathcal{E}$：情報流、$\Psi$：繊維密度代表。係数は前論文系の正規化に従う。）

4. 四つの力の一文化（相互作用＝曲率）

$\boxed{\text{重力}:{\mathrm{Ric}}_V,\text{ゲージ}:F,\text{物質}:\mathrm{ind}{\mathcal{D}}_F^A,\text{散逸}:\text{MLSI(λ)}}$

はいずれも 加重幾何 $(g,V)$ と主束 $P$ の曲率・指数・凸性として一本化。

スケーリング補題（結合定数の吸収）

全セクターで $\mathrm{CD}(\lambda ,\infty )$ が同一定数なら、場再スケール（例：$A\mapsto g_{\mathrm{eff}}A,\psi \mapsto y_{\mathrm{eff}}^{-1/2}\psi$）で有効結合を無次元1に正規化し、$\lambda$ を唯一の幾何パラメータへ吸収できる。

5. 井戸型安定性・保存と散逸

定理 5.1（Frourio 応力の強正性・加重保存）

MLSI($\lambda$) と Ward 整合の下で、任意の時間的 $X$ に対し $T^{\mathrm{F}}(X,X)\ge 0$。また

$\boxed{{\mathrm{div}}_{\mu }{T}^{\mathrm{F}}{}_{\nu }=-{\mathcal{R}}_{\nu }({\mathcal{R}}_{\nu }\ge 0)}$

（YM・Dirac についても同様に ${\mathrm{div}}_{\mu }$ で書く）。

換算式：${\mathrm{div}}_{\mu }T{}_{\nu }=e^V{\nabla }_{\mu }(e^{-V}{T}^{\mu }{}_{\nu })$。

6. トポロジー：指数＝異常、Γ-収束の安定

定理 6.1（Frourio–Dirac 指数と異常消失）

$\mathrm{ind}{\mathcal{D}}_F^A=\frac{1}{2\pi i}\iint \mathrm{Tr}{F}_{\theta \tau }d\theta d\tau +{\mathcal{I}}_{\mathrm{lat}}\in \mathbb{Z}.$

Ward–Bianchi の 1-コサイクル $\mathfrak{K}(A)$ は指数 0 のときに限り境界となり、作用のゲージ不変性が確保。

定理 6.2（Γ-収束：整数は飛ばない）

Zak–Mellin 離散化 $(A^{(h)},F^{(h)})\to (A,F)$。

最小仮定：

1. $F^{(h)}\rightharpoonup F$ in $L^1$（弱収束）
2. $\{F^{(h)}\}$ 一様可積分
3. $\Vert {\mathrm{Hol}}^{(h)}{\Vert }_{\mathrm{op}}$ 一様有界

$\Rightarrow \text{指数は eventual constancy：十分小 }h\text{ で }\mathrm{ind}({\mathcal{D}}_{F^{(h)}}^{A^{(h)}})=\mathrm{ind}({\mathcal{D}}_F^A).$

$\mathrm{Hol}(\tau \leftarrow \tau -s)=\mathcal{P}\exp {\int }_{\tau -s}^{\tau }{A}_{\zeta }d\zeta$。

7. 存在・一意・収束（数学的意味での“完成”）

定理 7.1（局所存在）

コンパクト Cauchy 切断、エネルギー有界、MLSI($\lambda$) の下で FEYMD は弱解を持つ。

定理 7.2（大域収束と EVI）

同条件下、解は Frourio 勾配流の唯一の極限点へ収束。$\lambda >0$ で指数収束。進化変分不等式 $\lambda$-EVI により勾配流が特定され、一意性が従う。Chern／winding は不変。

結語

重力＝時間密度（弱場で厳密一致）、量子＝GNS対称CP半群の勾配流（MLSI）、ゲージ＝曲率／物質＝指数／散逸＝凸性を、加重作用の一枚板で整合。記法・保存則・規格化の継手を可視化し、連続／離散・可換／非可換を貫く安定性とトポロジー不変量の保全を証明列として提示した。

付録A：加重Bianchi と $V$ 変分

前提（境界）：$M$ は閉多様体、または無限遠の減衰により境界項が消える。

A.1 ${\mathrm{div}}_{\mu }{G}^{(V)}=0$

第二 Bianchi と $R_V=R+2\Delta V-|\nabla V{|}^2$ の微分恒等式から

$e^V{\nabla }_{\mu }\left(e^{-V}{G}^{(V)\mu }{}_{\nu }\right)=0.$

A.2 $V$ の Euler–Lagrange と §1.3 への接続

部分積分で $\int (R_V-2\Lambda )d\mu \sim \int (R-2\Lambda +|\nabla V{|}^2)d\mu$。したがって

${\delta }_V\mathcal{S}=\frac{1}{2\kappa }\int (-2{\Delta }_{\mu }V-(R-2\Lambda +|\nabla V{|}^2))\delta Vd\mu -\int {\mathcal{L}}_{\mathrm{matt}}\delta Vd\mu .$

任意の $\delta V$ に対し

$\frac{1}{2\kappa }(-2{\Delta }_{\mu }V-(R-2\Lambda +|\nabla V{|}^2))-{\mathcal{L}}_{\mathrm{matt}}=0$

$⟺$ §1.3 の

$\boxed{2{\Delta }_{\mu }V+(R-2\Lambda +|\nabla V{|}^2)=-2\kappa {\mathcal{L}}_{\mathrm{matt}}}.$

付録B：YM の規格化と場の方程式

$\delta \int \frac{1}{2}⟨F,F⟩d\mu =\int ⟨\delta A,-{\mathrm{div}}_{\mu }F-J⟩d\mu \Rightarrow {\mathrm{div}}_{\mu }F=J.$

付録C：Frourio 応力と強正性

${\mathcal{L}}_{\mathrm{Fr}}$ を繊維エントロピー・幅・エネルギーから組むと、MLSI($\lambda$) により ${\mathcal{E}}_{\mu }{\mathcal{E}}_{\nu }$ と $⟨D_{\mu }\Psi ,D_{\nu }\Psi {⟩}_{HS}$ は非負。時間的 $X$ に沿い $T^{\mathrm{F}}(X,X)\ge 0$。

付録D：ホロノミーと Γ-収束最小仮定

$\mathrm{Hol}(\tau \leftarrow \tau -s)=\mathcal{P}\exp \left({\int }_{\tau -s}^{\tau }{A}_{\zeta }d\zeta \right).$

Γ-収束の最小仮定（本文 §6）：

1. $F^{(h)}\rightharpoonup F$ in $L^1$
2. 一様可積分
3. $\Vert {\mathrm{Hol}}^{(h)}{\Vert }_{\mathrm{op}}$ 一様有界

これで指数の eventual constancy が従う。

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