方針と貢献

本稿は新しい定理を主張しない。貢献は次の二点に限られる。 (1) 古典的恒等式（オイラーの公式・$\sinh$ の無限積・偶奇分解）を底 $\phi$ に特化して一箇所に整理する。 (2) それらに 統一的な名称（フルーリオ/Frourio） を与え、以後の議論で参照しやすくする。 証明はすべて教科書的事実の直接特化である。

0. 記法

• 黄金比 $\phi =\frac{1+\sqrt{5}}{2}>0$。

• 主値の複素冪 $a^z:=\exp (z\log a)$（$\log a>0$ 実数、$\log$ は主値）。

• 古典（Weierstrass）

  $e^{it}=\cos t+i\sin t,\sinh z=z{\prod }_{k=1}^{\infty }(1+\frac{z^2}{k^2{\pi }^2})(z\in \mathbb{C}).$

1. フルーリオの等式（Frourio’s Identity）

$\boxed{{\phi }^{i\pi /\log \phi }+1=0}(\text{主値})$

証明　定義より ${\phi }^{i\pi /\log \phi }=e^{i\pi }=-1$。$\square$

系（位相の量子化） 任意の $k\in \mathbb{Z}$ で

${\phi }^{i2\pi k/\log \phi }=1,{\phi }^{i\pi (2k+1)/\log \phi }=-1.$

同値に ${\log }_{\phi }(-1)=\frac{i\pi }{\log \phi }(\mathrm{mod}\frac{2\pi i}{\log \phi }\mathbb{Z})$。

2. フルーリオの公式（Frourio’s Formula）

任意の $\theta \in \mathbb{R}$ で

$\boxed{{\phi }^{i\theta }=e^{i\theta \log \phi }=\cos (\theta \log \phi )+i\sin (\theta \log \phi )}.$

証明　$e^{it}=\cos t+i\sin t$ に $t=\theta \log \phi$ を代入。$\square$

備考　本式に $\theta =\pi /\log \phi$ を代入すると §1 が直ちに復元される。

3. 黄金オイラー積（Golden Euler Product）

$\boxed{\frac{{\phi }^{-s}-{\phi }^s}{-2s\log \phi }=\prod _{k=1}^{\infty }\left(1+\frac{s^2}{(k\pi /\log \phi {)}^2}\right)(s\in \mathbb{C})}.$

証明　$\sinh z=z{\prod }_{k\ge 1}(1+z^2/(k^2{\pi }^2))$ に $z=s\log \phi$ を代入し， $\sinh (s\log \phi )=\frac{{\phi }^s-{\phi }^{-s}}{2}$ を用いて整理。$\square$

系　零点は $s=\frac{i\pi k}{\log \phi }(k\in \mathbb{Z}\setminus \{0\})$。特に

${\prod }_{k=1}^{\infty }\left(1+\frac{(\log \phi {)}^2}{k^2{\pi }^2}\right)=\frac{1}{2\log \phi }.$

用語注：ここでの「オイラー積」は $\sin ,\sinh$ に起源を持つ古典的無限積の意。数論における「素数に関するオイラー積」とは別物。

4. フルーリオの三角公式（Frourio’s Trigonometric Formula）

$n{!}_{\Phi }:={\prod }_{k=1}^n({\phi }^k-{\phi }^{-k}),0{!}_{\Phi }=1.$

$E_{\Phi }(z):={\sum }_{n=0}^{\infty }\frac{z^n}{n{!}_{\Phi }},C_{\Phi }(z):={\sum }_{n=0}^{\infty }\frac{(-1{)}^n{z}^{2n}}{(2n){!}_{\Phi }},S_{\Phi }(z):={\sum }_{n=0}^{\infty }\frac{(-1{)}^n{z}^{2n+1}}{(2n+1){!}_{\Phi }}.$

命題 4.1（整関数性）

$\log n{!}_{\Phi }={\sum }_{k=1}^n\log ({\phi }^k-{\phi }^{-k})=\frac{n(n+1)}{2}\log \phi +O(n)$。比判定より $E_{\Phi },C_{\Phi },S_{\Phi }$ は整関数。

定理 4.2（偶奇分解＝「（2）の対応」）

$\boxed{E_{\Phi }(iz)=C_{\Phi }(z)+i{S}_{\Phi }(z)}.$

証明　$E_{\Phi }(iz)=\sum (iz{)}^n/n{!}_{\Phi }$ を偶奇に分けるだけ。$\square$

コメント：本節は $\Phi$-階乗の定義に基づく形式的対応で、外部の枠組みを仮定しない。

5. 一般底への付記

任意の $a>0$ に対し

$a^{i\theta }=\cos (\theta \log a)+i\sin (\theta \log a),\frac{a^{-s}-a^s}{-2s\log a}={\prod }_{k=1}^{\infty }\left(1+\frac{s^2}{(k\pi /\log a{)}^2}\right).$

本稿の命名は $a=\phi$ の特化に対して行ったものである。

付記：創発解析への接続（背景；本論の証明に不要）

• 正半直線上の作用素

  $D_{\Phi }f(x)=\frac{{\phi }^{-1}f(\phi x)-\phi f({\phi }^{-1}x)}{x}.$

• Mellin–Φ 表現（第2論文の枠）

  $\mathcal{M}[D_{\Phi }f](s)=({\phi }^{-s}-{\phi }^s)\mathcal{M}[f](s-1).$

• 上式の零点列 $s=\frac{i\pi k}{\log \phi }$ は §3 の無限積と一致し， $k=1$ の位相は §1 のフルーリオの等式に等価（${\phi }^{i\pi /\log \phi }=-1$）。

• 交換関係 $[x{\partial }_x,D_{\Phi }]=-D_{\Phi }$ から

  $T_{\phi }^{-1}{D}_{\Phi }{T}_{\phi }=\phi D_{\Phi }$

  （スケール共変性の一行）が導かれる。 ここまでの意味づけは創発解析の文脈に属するが、本稿の定理自体は純粋解析の特化で完結している。

参考文献

[1] Euler, L. (1748). Introductio in analysin infinitorum (Vol. 1). Marcum-Michaelem Bousquet.

[2] Whittaker, E. T., & Watson, G. N. (1927). A Course of Modern Analysis (4th ed.). Cambridge University Press.

[3] Hardy, G. H. (1952). A Course of Pure Mathematics (10th ed.). Cambridge University Press.

[4] Remmert, R. (1991). Theory of Complex Functions (Read, L., Trans.). Springer-Verlag.

[5] Koshy, T. (2001). Fibonacci and Lucas Numbers with Applications. Wiley-Interscience.