要旨

本論文は、創発解析学の中核である創発微分作用素を正の半直線 $(0,\infty )$ のみで厳密化する。基本作用素を

$\boxed{D_{\Phi }f(x):=\frac{{\phi }^{-1}f(\phi x)-\phi f({\phi }^{-1}x)}{x}}(\phi =\frac{1+\sqrt{5}}{2})$

と定義する（重み付き対称黄金 Jackson 微分）。測度は乗法ハール $d\mu (x)=dx/x$。主結果：

1. Mellin–Φ 表現：$\mathcal{M}[D_{\Phi }f](s)=S_{-s}\mathcal{M}[f](s-1)$、$S_z:={\phi }^z-{\phi }^{-z}$
2. 保存則：${\int }_0^{\infty }{D}_{\Phi }fd\mu =0$
3. 多項式核上の強連続性：形式級数としての $e^{t{D}_{\Phi }}$ の定義と性質
4. モーメント連鎖：${\dot{M}}_s=S_{-s}{M}_{s-1}$、特に ${\dot{M}}_0=0$, ${\dot{M}}_1=-(\phi -{\phi }^{-1})M_0$
5. 高階ライプニッツと Φ-畳み込み代数
6. δ源のブランチング：支点 $\{{\phi }^{2k-n}{x}_0\}$ への分岐と再帰式

本稿は純粋数学として完結し、特定の宇宙モデルに依存しない。

1. 序論

創発微分の核は「二尺度の参照」であり、局所微分の平行移動対称とは異なる離散スケール不変性 (DSI) を生む。本稿は、正の二尺度 $(\phi ,{\phi }^{-1})$ のみで完結する解析枠組を与える。

2. 予備：関数空間と変換

2.1 重み付き $L^2$ と Mellin–Plancherel

$\sigma \in \mathbb{R}$ に対し $H_{\sigma }:=L^2((0,\infty ),x^{2\sigma -1}dx)$

Mellin 変換 $\mathcal{M}[f](s)={\int }_0^{\infty }f(x)x^{s-1}dx$ は Plancherel 等式 $\Vert f{\Vert }_{H_{\sigma }}^2=\frac{1}{2\pi }{\int }_{\mathbb{R}}|\mathcal{M}[f](\sigma +i\tau ){|}^{2}d\tau$ を満たす。

2.2 作用素の基本定義

$T_{\alpha }f(x)=f(\alpha x)$、Euler 作用素 $A:=x{\partial }_x$、$M_{1/x}f(x)=x^{-1}f(x)$。重み付き対称化により

$\boxed{D_{\Phi }:={\phi }^{-1}{T}_{\phi }{M}_{1/x}-\phi T_{{\phi }^{-1}}{M}_{1/x}}$

すなわち $D_{\Phi }f(x)=\frac{{\phi }^{-1}f(\phi x)-\phi f({\phi }^{-1}x)}{x}$

2.3 正則性の仮定

本稿では必要に応じて $f,D_{\Phi }f\in H_{\sigma }\cap H_{\sigma -1}$ を仮定する（あるいは $f\in C_c^{\infty }((0,\infty ))$ から密度で拡張する）。

3. Mellin–Φ 表現と離散スケール不変性

定理 3.1（Mellin表現）

適切な可積分条件の下で $\boxed{\mathcal{M}[D_{\Phi }f](s)=S_{-s}\mathcal{M}[f](s-1),S_z:={\phi }^z-{\phi }^{-z}}$

証明：$\mathcal{M}[(T_{\alpha }f)/x](s)={\alpha }^{-(s-1)}\mathcal{M}[f](s-1)$ より $\mathcal{M}[D_{\Phi }f](s)=({\phi }^{-1}\cdot {\phi }^{-(s-1)}-\phi \cdot {\phi }^{(s-1)})\mathcal{M}[f](s-1)=({\phi }^{-s}-{\phi }^s)\mathcal{M}[f](s-1)$ $\square$

命題 3.2（有界性）

$D_{\Phi }:H_{\sigma }\to H_{\sigma -1}$ は有界で $\Vert D_{\Phi }{\Vert }_{H_{\sigma }\to H_{\sigma -1}}\le {\sup }_{\tau \in \mathbb{R}}|S_{-(\sigma +i\tau )}|\le {\phi }^{\sigma }+{\phi }^{-\sigma }=2\cosh (\sigma \log \phi )$

系 3.3（DSI 零点と周期）

$S_{-s}=0⟺{\phi }^{2s}=1$。実部について ${\phi }^{2\sigma }=1\Rightarrow \sigma =0$ より、零点は $\mathrm{Re}s=0$ 上に限る： $s=\frac{i\pi k}{\log \phi }(k\in \mathbb{Z})$

よって Mellin 変換の $\tau$-軸での基本周期は $\boxed{\Delta \tau =\frac{\pi }{\log \phi }}$

4. 保存則と形式群構造

定理 4.1（総量保存）

十分減衰する $f$ に対し $\boxed{{\int }_0^{\infty }{D}_{\Phi }f(x)\frac{dx}{x}=0}$

証明： $\begin{array}{rl}{\int }_0^{\infty }{D}_{\Phi }f\frac{dx}{x}& ={\int }_0^{\infty }\frac{{\phi }^{-1}f(\phi x)-\phi f({\phi }^{-1}x)}{x}\frac{dx}{x}\\ & ={\int }_0^{\infty }({\phi }^{-1}f(\phi x)-\phi f({\phi }^{-1}x))\frac{dx}{x^2}\end{array}$

第一項：$u=\phi x$ により $dx/x^2=\phi du/u^2$ なので ${\phi }^{-1}{\int }_0^{\infty }f(\phi x)\frac{dx}{x^2}={\phi }^{-1}\cdot \phi {\int }_0^{\infty }f(u)\frac{du}{u^2}={\int }_0^{\infty }f(u)\frac{du}{u^2}$

第二項：$v={\phi }^{-1}x$ により $dx/x^2={\phi }^{-1}dv/v^2$ なので $\phi {\int }_0^{\infty }f({\phi }^{-1}x)\frac{dx}{x^2}=\phi \cdot {\phi }^{-1}{\int }_0^{\infty }f(v)\frac{dv}{v^2}={\int }_0^{\infty }f(v)\frac{dv}{v^2}$

よって差は 0。$\square$

定義 4.2（Φ-指数関数と形式群）

$e^{t{D}_{\Phi }}f:={\sum }_{n\ge 0}\frac{t^n}{n{!}_{\Phi }}{D}_{\Phi }^{n}f,n{!}_{\Phi }:={\prod }_{k=1}^n{S}_k={\prod }_{k=1}^n({\phi }^k-{\phi }^{-k})$

注意：この定義では通常の指数法則 $e^s{e}^t=e^{s+t}$ は成立しない。代わりにΦ-形式群構造 $(x{\oplus }_{\Phi }y{)}^n:={\sum }_{k=0}^n{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)}_{\Phi }{x}^k{y}^{n-k},{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)}_{\Phi }:=\frac{n{!}_{\Phi }}{k{!}_{\Phi }(n-k){!}_{\Phi }}$ が現れる。

命題 4.3（多項式核上の強連続性）

多項式 $f$ に対し、$e^{t{D}_{\Phi }}f$ は $t$ の解析関数であり、形式級数として $\frac{d}{dt}{e}^{t{D}_{\Phi }}f=D_{\Phi }{e}^{t{D}_{\Phi }}f$

5. モーメント連鎖

定義 5.1（モーメント）

$M_s(t):={\int }_0^{\infty }{x}^{s}u(x,t)\frac{dx}{x}$

定理 5.2（モーメント方程式）

${\partial }_{t}u=D_{\Phi }u$ に対し、適切な正則性条件下で $\boxed{\frac{d}{dt}{M}_s(t)=S_{-s}{M}_{s-1}(t)}$ 特に $S_0=0$ より ${\dot{M}}_0=0$（総量保存）、${\dot{M}}_1=-(\phi -{\phi }^{-1})M_0$。

証明： $\begin{array}{rl}\frac{d}{dt}{M}_s& ={\int }_0^{\infty }{x}^s{D}_{\Phi }u\frac{dx}{x}={\int }_0^{\infty }{x}^{s-2}({\phi }^{-1}u(\phi x)-\phi u({\phi }^{-1}x))dx\end{array}$

第一項：$y=\phi x$ により ${\phi }^{-1}{\int }_0^{\infty }({\phi }^{-1}y{)}^{s-2}u(y)\phi dy={\phi }^{-s}{\int }_0^{\infty }{y}^{s-2}u(y)dy$

第二項：$z={\phi }^{-1}x$ により $\phi {\int }_0^{\infty }(\phi z{)}^{s-2}u(z){\phi }^{-1}dz={\phi }^s{\int }_0^{\infty }{z}^{s-2}u(z)dz$

よって $\frac{d}{dt}{M}_s=({\phi }^{-s}-{\phi }^s){\int }_0^{\infty }{w}^{s-2}u(w)dw=({\phi }^{-s}-{\phi }^s)M_{s-1}$ （ここで $M_{s-1}=\int w^{s-1}u(w)dw/w=\int w^{s-2}u(w)dw$）$\square$

6. 高階ライプニッツとΦ-畳み込み

定理 6.1（高階ライプニッツ則）

$D_{\Phi }^n(fg)={\sum }_{k=0}^n{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)}_{\Phi }\left(T_{\phi }^{n-k}{D}_{\Phi }^{k}f\right)\left(T_{{\phi }^{-1}}^k{D}_{\Phi }^{n-k}g\right)$

定義 6.2（Φ-畳み込み）

${\mathcal{E}}_{\Phi }[\{a_n\}](x):={\sum }_{n=0}^{\infty }\frac{a_n{x}^n}{n{!}_{\Phi }},(a{\ast }_{\Phi }b{)}_n:={\sum }_{k=0}^n{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)}_{\Phi }{a}_k{b}_{n-k}$

命題 6.3（代数性）

${\mathcal{E}}_{\Phi }[\{a\}]\cdot {\mathcal{E}}_{\Phi }[\{b\}]={\mathcal{E}}_{\Phi }[\{a{\ast }_{\Phi }b\}]$

7. 分布的解とブランチング

補題 7.1（δへの作用）

試験関数 $\varphi$ に対し $\boxed{⟨D_{\Phi }{\delta }_{x_0},\varphi ⟩=\frac{{\phi }^{-1}\varphi (\phi x_0)-\phi \varphi ({\phi }^{-1}{x}_0)}{x_0}}$

定理 7.2（ブランチング構造）

$D_{\Phi }^n{\delta }_{x_0}=x_0^{-n}{\sum }_{k=0}^n{W}_{n,k}{\delta }_{{\phi }^{2k-n}{x}_0}$

ここで係数 $W_{n,k}$ は再帰式 $W_{0,0}=1,W_{n+1,k}={\phi }^{-(2k-n-1)}(W_{n,k-1}-W_{n,k})$ を満たす（範囲外では $W_{n,k}=0$）。

証明スケッチ：$D_{\Phi }{\delta }_{{\phi }^j{x}_0}={\phi }^{-(j+1)}{\delta }_{{\phi }^{j+1}{x}_0}-{\phi }^{-(j-1)}{\delta }_{{\phi }^{j-1}{x}_0}$ による帰納法。$\square$

8. ログ周期検出

8.1 局所 Mellin スペクトル

観測データ $(x_j,y_j)$ に対し ${\mathcal{M}}_w[y](\sigma +i\tau ;\xi ):={\sum }_j{y}_{j}w(\log x_j-\xi )x_j^{\sigma -1+i\tau }$ を計算し、$\tau$-軸で周期 $\Delta \tau =\pi /\log \phi$ のピークを検出。

8.2 モーメント回帰

${\dot{M}}_s\approx c_s{M}_{s-1}$ から $c_s$ を推定し、理論値 $S_{-s}={\phi }^{-s}-{\phi }^s$ と比較。

9. 例：Φ-拡散

${\partial }_{t}u=D_{\Phi }u$ は総量保存（定理4.1）とモーメント連鎖（定理5.2）を満たす。

10. 未解決課題

1. Banach 空間での厳密な $C_0$-群構造
2. ${\Gamma }_{\Phi }$ の実連続拡張
3. ログ周期検定の漸近理論

結語

本稿は正の二尺度のみで創発微分を厳密化し、Mellin–Φ 表現、保存則、モーメント連鎖という測定ツールを整備した。

参考文献

[1] Erdélyi, A. et al. (1954). Tables of Integral Transforms. McGraw-Hill.

[2] Flajolet, P. & Sedgewick, R. (2009). Analytic Combinatorics. Cambridge University Press.

[3] Kac, V. & Cheung, P. (2002). Quantum Calculus. Springer.

[4] Sornette, D. (1998). "Discrete scale invariance and complex dimensions". Physics Reports, 297, 239–270.

付録 A：交換関係

$D_{\Phi }{T}_{\phi }=\phi T_{\phi }{D}_{\Phi },D_{\Phi }{T}_{{\phi }^{-1}}={\phi }^{-1}{T}_{{\phi }^{-1}}{D}_{\Phi },[x{\partial }_x,D_{\Phi }]=-D_{\Phi }$

付録 B：Φ-テイラー展開

解析的 $f$ に対し、収束半径内で $f(x)={\sum }_{n\ge 0}\frac{(D_{\Phi }^{n}f)(0)}{n{!}_{\Phi }}{x}^n$