要旨

本論文は、測度変換・勾配流・位相不変量という数学の異なる分野を結ぶ統一的な幾何学的枠組みを構築する。中心となる貢献は、曲率・収縮・安定性の間の定量的な対応関係を確立したことである。

具体的には、加重測度空間における曲率条件が、確率分布の時間発展における収縮率を決定し、さらにこの収縮率が離散化や摂動の下で安定に保たれる条件を明らかにした。この「フルーリオの統一三角原理」により、連続系と離散系の対応、測度変換の影響、位相不変量の安定性が統一的に理解できる。

主要な技術的成果として、Doob変換によるBakry-Émery曲率の変化公式、勾配流の進化変分不等式（EVI）の三つの実現（古典・量子・離散）の統一的定式化、Young畳み込み不等式の等号条件の完全分類、Mosco収束下での機能的不等式定数の下半連続性、およびDirac型作用素の指数の摂動安定性を証明した。

これらの結果は純粋数学として自己完結しているが、将来的には最適輸送理論、情報幾何学、数値解析への応用が期待される。

0. 規約・記法・統一視点

0.1 幾何と加重

リーマン多様体 $(M,g)$、体積 ${\mathrm{vol}}_g$、加重測度 $d\mu =e^{-V}d{\mathrm{vol}}_g$（$V\in C^2$）。

ラプラシアンは幾何学者流儀（非正）：$\Delta =\mathrm{div}\nabla \le 0$。

加重発散（テンソル）

$({\mathrm{div}}_{\mu }T{)}_{\nu }:=e^V{\nabla }_{\alpha }(e^{-V}{T}^{\alpha }{}_{\nu }),\int ⟨{\mathrm{div}}_{\mu }T,\Phi ⟩d\mu =-\int ⟨T,\nabla \Phi ⟩d\mu .$

Bakry–Émery 曲率

${\mathrm{Ric}}_V:=\mathrm{Ric}+{\nabla }^{2}V$。Loewner 順序で ${\mathrm{Ric}}_V\ge \lambda g$ を CD $(\lambda ,\infty )$（= BE $(\lambda )$）と書く。

0.2 主束・加重余微分

接続 $A$、曲率 $F$。基準定義

$\boxed{d_A^{\ast ,\mu }:=e^V{d}_A^{\ast }{e}^{-V}}(\text{単純な「加重スター」同一化は用いない}）$

エネルギー 1-形式 $J_E:={\iota }_{(\cdot )}⟨F,{\ast }_{g}F⟩\in {\Omega }^1(M)$ に対し

${\mathrm{div}}_{\mu }{J}_E=2⟨d_A^{\ast ,\mu }F,F⟩.$

0.3 相対エントロピーの統一記法

参照測度／状態 $\xi$ に対し

${\mathrm{Ent}}_{\xi }(\rho )=\{\begin{array}{ll}\int \rho \log \rho d\xi & (\text{古典・離散}),\\ \mathrm{Tr}(\rho (\log \rho -\log \xi ))& (\text{量子}).\end{array}$

以後、古典は $\xi =\mu$、離散は $\xi =\pi$、量子は $\xi =\sigma$。

0.4 距離幾何と EVI の微分

古典 $W_2$、量子 $W_{2,\mathrm{CM}}$、離散 $W_{2,\mathrm{EM}}$ は、それぞれの動的 Benamou–Brenier 型定義で与える。

EVI の $\frac{d}{dt}$ は上側ディニ微分 $d^{+}/dt$。

0.5 統一原理（宣言）

フルーリオの統一三角原理（曲率→収縮→指数安定）：

$\boxed{{\mathrm{Ric}}_V\stackrel{\text{Doob}h}{\to }{\mathrm{Ric}}_{V-2\log h}\stackrel{\text{EVI}}{\Rightarrow }\text{収縮係数}\stackrel{\text{Mosco＋半整数閾値}}{\Rightarrow }\text{指数不変}}.$

以下の定理 U–A, U–B で精密化する。

1. 加重 Bianchi と Doob 曲率伝播

定義 1.1（加重 Einstein）

$G^{(V)}:={\mathrm{Ric}}_V-\frac{1}{2}(R+2\Delta V-|\nabla V{|}^2)g.$

定理 1.2（加重 Bianchi 恒等式）

$\boxed{{\mathrm{div}}_{\mu }{G}^{(V)}=0}.$

証明略：縮約 Bianchi と $\nabla (e^{-V})=-e^{-V}\nabla V$ による項別相殺。

定理 1.3（Doob 変換の幾何）

正関数 $h>0$、基準の取り替え

$\boxed{{\mu }_h:=h^2\mu ,L^{h}f:=h^{-1}L(hf)}$

に関し、

$\boxed{{\mathrm{Ric}}_{V-2\log h}={\mathrm{Ric}}_V-2{\nabla }^2\log h}.$

従って ${\nabla }^2\log h⪯\epsilon g$（Loewner）なら CD $(\lambda ,\infty )\Rightarrow$ CD $(\lambda -2\epsilon ,\infty )$（参照 ${\mu }_h$）。

2. 勾配流：EVI の三態（古典／量子／離散）

定理 2.1（統一 EVI 形）

距離 $d\in \{W_2,W_{2,\mathrm{CM}},W_{2,\mathrm{EM}}\}$ と参照 $\xi \in \{\mu ,\sigma ,\pi \}$ の組で、対応する CD/NC-BE/BE 条件が $\lambda$ を与えるとき、

$\boxed{\frac{1}{2}\frac{d^{+}}{dt}{d}^2({\rho }_t,\eta )+\lambda d^2({\rho }_t,\eta )\le {\mathrm{Ent}}_{\xi }(\eta )-{\mathrm{Ent}}_{\xi }({\rho }_t)(\forall \eta )}.$

古典・量子・離散の各場合はこれの具体化である。

系 2.2（指数収縮と同期）

同一生成子に従う解 ${\rho }_t,{\eta }_t$ について $d({\rho }_t,{\eta }_t)\le e^{-\lambda t}d({\rho }_0,{\eta }_0)$。

相互作用拘束が速度に対し一様 $\eta$ で抑えられるとき $\frac{1}{2}\frac{d^{+}}{dt}{d}^2+\lambda d^2\le \eta$。

系 2.3（テンソライズの下界）

直積系では定数は ${\min }_i{\lambda }_i$ により下方制御。

3. Young 畳み込み：等号剛性

定理 3.1（Young）

可換群 $G=\mathbb{R},\mathbb{Z}$、有限全変動測度 $\nu$ に対し

$\boxed{\Vert f\ast \nu {\Vert }_2\le \Vert f{\Vert }_2\Vert \nu {\Vert }_{\mathrm{TV}}}.$

定理 3.2（等号の必要十分）

等号成立 $⟺$

$\boxed{\nu =e^{i\varphi }{\delta }_{s_0}(\varphi \in \mathbb{R},s_0\in G)}.$

証明略：フーリエ側の Cauchy–Schwarz 等号条件（位相一定・一点支持）。

4. Mosco（=Γ+Γ*）と定数の liminf

共通ピボット $L^2(\mu )$ 上の可閉対称 Dirichlet 形式 ${\mathcal{E}}_h\stackrel{M}{\to }\mathcal{E}$。測度は狭義収束、二次モーメントは緊性。

定理 4.1（下方半連続）

$\boxed{{\lambda }_{\mathrm{LSI}}(\mathcal{E})\ge \underset{h}{\mathrm{liminf}}{\lambda }_{\mathrm{LSI}}({\mathcal{E}}_h),C_{T_2}(\mathcal{E})\ge \underset{h}{\mathrm{liminf}}{C}_{T_2}({\mathcal{E}}_h),{\lambda }_{\mathrm{N}}(\mathcal{E})\ge \underset{h}{\mathrm{liminf}}{\lambda }_{\mathrm{N}}({\mathcal{E}}_h)}$

（注：スペクトルギャップはコンパクト解像度等の緊性仮定下で同様。）

脚注：${\lambda }_{\mathrm{N}}$ はNoether 減衰率—全 Noether 量 $Q_X$ に対し $|Q_X(t)|\le e^{-{\lambda }_{\mathrm{N}}t}|Q_X(0)|$ を与える最大定数。

命題 4.2（穿孔極限の十分条件）

容量 $\to 0$ の切除＋一様トレース拡張／Poincaréで Mosco 収束成立。

5. Dirac 指数：0 次有界摂動の不変性

2-トーラス ${\mathbb{T}}^2={\mathbb{T}}_{\tau }\times {\mathbb{T}}_{\theta }$（向きは $(\tau ,\theta )$）。接続 $A$。

${\mathcal{D}}_{\mathrm{prin}}^A=\left(\begin{array}{cc}0& D_{\tau }+i{D}_{\theta }\\ D_{\tau }-i{D}_{\theta }& 0\end{array}\right),{\mathcal{D}}_F^A={\mathcal{D}}_{\mathrm{prin}}^A+\left(\begin{array}{cc}0& \mathcal{V}\\ {\mathcal{V}}^{†}& 0\end{array}\right).$

定理 5.1（指数公式）

APS/Toeplitz 境界の下で Fredholm、0 次有界 $\mathcal{V}$ に対し

$\boxed{\mathrm{ind}{\mathcal{D}}_F^A=\frac{1}{2\pi i}{\iint }_{{\mathbb{T}}^2}\mathrm{Tr}{F}_{\theta \tau }d\theta d\tau +{\mathcal{I}}_{\mathrm{lat}}\in \mathbb{Z}}.$

注：閉トーラスでは ${\mathcal{I}}_{\mathrm{lat}}=0$。準周期／APS／Toeplitz／Zak–Mellin の切貼りで整数補正 ${\mathcal{I}}_{\mathrm{lat}}$ が現れる。

6. 統一主張（新規）：曲率→収縮→指数安定

定理 U–A（Doob–EVI functoriality）

Doob 変換 $h$ が ${\nabla }^2\log h⪯\epsilon g$ を満たすとき、参照 ${\mu }_h=h^2\mu$ に対する EVI の収縮定数は

$\boxed{{\lambda }_{\mathrm{EVI}}(h)\ge \lambda -2\epsilon }.$

証明略：定理 1.3 による CD 定数の劣化と、定理 2.1 の $\lambda$-EVI の合成。

定理 U–B（離散化安定—半整数ロック付き）

Zak–Mellin 離散化 $({\mathcal{E}}_h,A_h)\to (\mathcal{E},A)$ が Mosco（=Γ+Γ*）収束し、かつ基本 2-周期 $\gamma$ 上のホロノミーが

${\max }_{\gamma }\Vert \mathrm{Hol}(A_h,\gamma )-\mathrm{Hol}(A,\gamma ){\Vert }_{\mathrm{op}}<\epsilon <1$

を満たすとき、十分小 $h$ で

${\lambda }_{\mathrm{EVI}}({\mathcal{E}}_h)\ge {\lambda }_{\mathrm{EVI}}(\mathcal{E})-o(1),|\frac{1}{2\pi i}\iint \mathrm{Tr}(F_h-F)|<\frac{1}{2},$

したがって 最近整数射影が一意で

$\mathrm{ind}({\mathcal{D}}_{F_h}^{A_h})=\mathrm{ind}({\mathcal{D}}_F^A)\text{（最終一定）}.$

証明略：定理 4.1 による定数 liminf、半整数閾値（Chern の飛びなし）とホロノミー近接の併用。

7. 具体例（最小計算）

例 7.1（ガウス重みと Doob の傾き）

$({\mathbb{R}}^n,g_{\mathrm{eucl}})$、$V(x)=\frac{1}{2}|x{|}^2\Rightarrow {\mathrm{Ric}}_V=\mathrm{Id}$（CD$(1,\infty )$）。

$h(x)=e^{\alpha u\cdot x}$（$|u|=1$）なら ${\nabla }^2\log h=0$ で劣化なし：${\lambda }_{\mathrm{EVI}}=1$ を保持。

例 7.2（トーラスの一定曲率接続）

${\mathbb{T}}^2$ に $F_{\theta \tau }=\frac{2\pi ik}{\mathrm{Area}}\mathrm{Id}$。

$\mathrm{ind}{\mathcal{D}}_F=\frac{1}{2\pi i}\iint \mathrm{Tr}F=k$。

0 次摂動 $\mathcal{V}$ を加えても指数は不変。格子近似 $A_h$ がホロノミー近接と Mosco を満たせば $k$ は最終一定。

付録 A（加重 Bianchi の計算）

${\mathrm{div}}_{\mu }T=\nabla \cdot T-\nabla V\cdot T$ を $T=G^{(V)}$ に適用し、 ${\nabla }_{\alpha }({\nabla }^{2}V{)}^{\alpha }{}_{\beta }={\nabla }_{\beta }\Delta V+{\mathrm{Ric}}_{\beta \gamma }{\nabla }^{\gamma }V$、 ${\nabla }_{\beta }(|\nabla V{|}^2)=2{\nabla }_{\beta \gamma }^{2}V{\nabla }^{\gamma }V$ を用いて相殺。

付録 B（EVI の微分学）

距離空間での最大傾斜曲線の一般論に従い、$\frac{d}{dt}$ は常に $d^{+}/dt$。各距離 $W_2,W_{2,\mathrm{CM}},W_{2,\mathrm{EM}}$ は動的 Benamou–Brenier 型で定義。

付録 C（Young 等号のフーリエ証明）

$\widehat{f\ast \nu }=\hat{f}\hat{\nu }$、プランシェレルと C–S 等号条件で $|\hat{\nu }|$ が a.e. 定数・位相一定 ⇒ $\nu =e^{i\varphi }{\delta }_{s_0}$。

付録 D（Mosco と JKO 安定）

Mosco＝Γ-liminf＋回復列（Γ*）。共通ピボット／狭義収束／二次モーメント緊性の下で JKO スキームは極限へ安定し、LSI／$T_2$／Noether 率が liminf。

結語

フルーリオの統一三角原理により、重みと Doob 変換が曲率を、曲率が勾配流の収縮を、収縮とホロノミー近接が指数安定を、それぞれ規格化された形で結ぶことが示された。Young の等号剛性と Mosco–liminf は、この三角を「散逸の設計」と「離散極限の安定」という実務の両端で補強する。以上により、本稿は従来の結果を単に再掲するのでなく、測度・距離・指標を結ぶ functorial な地図として完結する。

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