要旨

本論文は、加重リーマン幾何とゲージ理論を統一的に扱う新しい数学的枠組みを提示する。主要な貢献は以下の通りである：

1. 加重Einstein幾何の構築：加重ヒルベルト作用の変分から導出される加重Einsteinテンソル $G^{(V)}$ が、加重発散に関して恒等的に消える（加重Bianchi恒等式）ことを証明する。
2. Ward-Bianchi複体の定式化：ゲージ不変な幾何汎関数の第一変分から導かれるNoether流が満たす保存則を、共鎖複体の枠組みで厳密に定式化する。
3. 指数定理の拡張：トーラス上のDirac型作用素に対し、指数がChern数とクラッチング次数の和として表されることを示す。0次有界摂動下での指数不変性をKato-Rellichの定理により保証する。
4. 離散化の安定性理論：曲率の弱収束と一様可積分性、ホロノミーの近接性の下で、整数値位相不変量が安定に保たれる条件を与える。特に、規格化された曲率積分の偏差が1/2未満であれば第一Chern数が不変であることを示す。
5. Bochner-Weitzenböck型評価：曲率優越条件の下で、Noether二次形式が強制性を持つための十分条件を導出する。
6. 等長作用の分類定理：L²等長を実現する随伴表現核が、ユニタリ共役を除いて位相付き単点平行移動に限ることを証明する。

0. 規約・記法

• 計量符号：$(+,-,\dots ,-)$。曲率符号：Kobayashi–Nomizu。

• ラプラシアン：幾何学者流儀（非正）$\Delta =\mathrm{div}\nabla \le 0$。

• 加重測度：$d\mu =e^{-V}d{\mathrm{vol}}_g$（$V\in C^2$）。

• 加重発散（テンソル版）：${\mathrm{div}}_{\mu }T:=e^V{\nabla }_{\alpha }\left(e^{-V}{T}^{\alpha }{}_{{\beta }_1\cdots {\beta }_k}\right)$。

  部分積分式：$\int ⟨{\mathrm{div}}_{\mu }T,\Phi ⟩d\mu =-\int ⟨T,\nabla \Phi ⟩d\mu$。

• 加重共変余微分：$\boxed{d_A^{\ast ,\mu }:=e^V{d}_A^{\ast }{e}^{-V}}$ を基準定義とする。

• 主束と規格化：$\frac{1}{2\pi i}\int \mathrm{Tr}F=c_1(\det E)\in \mathbb{Z}$。

• トーラスの向き：${\mathbb{T}}_{\Lambda }\times \mathbb{T}$ は $(\tau ,\theta )$ の順で正向き。

• 離散差分：${\nabla }_d$ は前進差分，$d_d$ は離散コボウンダリ（次数 $+1$），${\mathrm{div}}_d$ はその双対。

1. 加重 Einstein 幾何

1.1 加重ヒルベルト作用と $G^{(V)}$

$\mathcal{H}[g,V]:={\int }_M(R+2\Delta V-|\nabla V{|}^2-2\Lambda )d\mu .$

変分から

$\boxed{G^{(V)}:=\mathrm{Ric}+{\nabla }^{2}V-\frac{1}{2}(R+2\Delta V-|\nabla V{|}^2)g}.$

1.2 加重 Bianchi（恒等式）

$\boxed{{\mathrm{div}}_{\mu }{G}^{(V)}=0}.$

骨子：縮約 Bianchi と ${\nabla }_{\alpha }({\nabla }^{2}V{)}^{\alpha }{}_{\beta }={\nabla }_{\beta }\Delta V+{\mathrm{Ric}}_{\beta \gamma }{\nabla }^{\gamma }V$ を項別相殺（付録A）。

1.3 静的・弱場の退化

静的 $g_{00}=e^{2\varphi }$、$|\varphi |\ll 1$、規格化 $V=2\varphi$ とすると

$G_{00}^{(V)}=-\Delta \varphi +O({\varphi }^2).$

2. Ward–Bianchi 複体

2.1 Noether 流とアノマリー

第一変分 $\mathbf{D}\mathcal{C}(\Psi )$ から

$J_X(\Psi ):={\iota }_X⟨\mathbf{D}\mathcal{C}(\Psi ),\Psi {⟩}_h\in {\Omega }^1(M),{\mathrm{div}}^{\nabla }{J}_X=⟨{\mathcal{K}}_X(\Psi ),F⟩.$

${\mathcal{K}}_X$ は Ad-共変（${\mathcal{K}}_X\mapsto g^{-1}{\mathcal{K}}_{X}g$）で、$⟨{\mathcal{K}}_X,F⟩$ はゲージ不変。

2.2 共鎖複体 $({\Omega }_W^{\bullet },{\delta }_W)$

$\boxed{{\delta }_W:={\partial }_{\tau }\oplus {\partial }_{\theta }\oplus d_d}(\text{次数 }+1),{\delta }_W^2=0.$

連続側の ${\partial }^2=0$、離散側の $d_d^2=0$ と分離可換性で従う（付録C）。

3. ゲージ方程式とエネルギー 1-形式

$\boxed{d_A^{\ast ,\mu }F=J}.$

エネルギー 1-形式：$J_E:={\iota }_{(\cdot )}⟨F,{\ast }_{g}F⟩\in {\Omega }^1(M)$。

一般恒等式：

$\boxed{{\mathrm{div}}_{\mu }{J}_E=2⟨d_A^{\ast ,\mu }F,F⟩=2⟨J,F⟩}.$

YM 臨界 $J=0$ では ${\mathrm{div}}_{\mu }{J}_E=0$（保存）。

4. Frourio–Dirac 指数：Chern＋クラッチング

4.1 作用素と Fredholm 性

${\mathcal{D}}_{\mathrm{prin}}^{\nabla }=\left(\begin{array}{cc}0& {\nabla }_{\tau }+i{\nabla }_{\theta }\\ {\nabla }_{\tau }-i{\nabla }_{\theta }& 0\end{array}\right),{\mathcal{D}}_F^{\nabla }={\mathcal{D}}_{\mathrm{prin}}^{\nabla }+\left(\begin{array}{cc}0& \mathcal{V}\\ {\mathcal{V}}^{†}& 0\end{array}\right),$

$\mathcal{V}$ は 0 次有界摂動。Kato–Rellichにより指数不変。

4.2 指数公式

$\boxed{\mathrm{ind}{\mathcal{D}}_F^{\nabla }=\frac{1}{2\pi i}{\iint }_{{\mathbb{T}}_{\Lambda }\times \mathbb{T}}\mathrm{Tr}F+k},$

$k\in \mathbb{Z}$ は金属比方向のクラッチング次数。

5. 整数不変量の安定（Γ-収束／ホロノミー近接／半整数則）

前提

(i) $F^{(h)}\rightharpoonup F$ in $L^1$ かつ一様可積分

(ii) ホロノミー近接：基本 1-サイクル $\gamma$ について $\underset{\gamma }{\max }\Vert {\mathrm{Hol}}^{(h)}(\gamma )-\mathrm{Hol}(\gamma ){\Vert }_{\mathrm{op}}<\epsilon <1$

結論（最終一定） 充分小 $h$ で $\mathrm{ind}({\mathcal{D}}_{F^{(h)}}^{{\nabla }^{(h)}})=\mathrm{ind}({\mathcal{D}}_F^{\nabla })$。

半整数閾値

$\boxed{|\frac{1}{2\pi i}\int \mathrm{Tr}(F^{(h)}-F)|<\frac{1}{2}\Rightarrow c_1(F^{(h)})=c_1(F)}.$

意味：値域が $\mathbb{Z}$ であるため最近整数射影が一意となり，整数は飛ばない（付録E）。

6. 曲率優越と二次形式の強制性

$\boxed{{\mathcal{Q}}_X(\Psi ):=⟨{\Pi }_0(X\cdot \Psi ),(-{\Delta }_V{)}^{-1}{\Pi }_0(X\cdot \Psi ){⟩}_{L^2(h)}}.$

仮定（曲率優越）：${\mathrm{Ric}}_V\ge \lambda g$、$\Vert \mathrm{ad}(A){\Vert }_{h\to h}\le \rho$。

結論（Bochner–Lichnerowicz 型）：

$\boxed{{\mathcal{Q}}_X(\Psi )\ge (\lambda -c{\rho }^2)\Vert \Psi {\Vert }_{L^2(h)}^2=:{\lambda }_{\mathrm{base}}\Vert \Psi {\Vert }^2}.$

${\lambda }_{\mathrm{base}}>0$ で強制性が成立（付録F）。

7. 等号剛性の幾何学的分類（連続／離散）

随伴表示核 $\nu$ による $L^2$ 作用が等長となるのは，

$\boxed{\nu =U(e^{i\varphi }{\delta }_{s_0})U^{†}}$

（ユニタリ共役な位相付き単点平行移動）のときかつそのときのみ。 離散格子でも同型が成り立つ。

8. 例

1. 平坦可換：$F\equiv 0\Rightarrow {\mathcal{K}}_X\equiv 0,{\mathrm{div}}^{\nabla }{J}_X=0$。指数は $k$ のみ。
2. 一定曲率：$\mathrm{Tr}F=2\pi ikd\tau \wedge d\theta \Rightarrow \mathrm{ind}=k$。
3. 離散クラッチング：${\mathrm{Hol}}^{(h)}$ が基本 1-サイクルで $\epsilon <1$ 以内 ⇒ 半整数則により $c_1,\mathrm{ind}$ 固定。

付録A：${\mathrm{div}}_{\mu }{G}^{(V)}=0$ の計算骨子

${\mathrm{div}}_{\mu }T=\nabla \cdot T-\nabla V\cdot T$。縮約 Bianchi， ${\nabla }_{\alpha }({\nabla }^{2}V{)}^{\alpha }{}_{\beta }={\nabla }_{\beta }\Delta V+{\mathrm{Ric}}_{\beta \gamma }{\nabla }^{\gamma }V$， ${\nabla }_{\beta }(|\nabla V{|}^2)=2{\nabla }_{\beta \gamma }^{2}V{\nabla }^{\gamma }V$ を代入し相殺。

付録B：静的弱場で $-\Delta \varphi$ が現れる理由

一次までの展開で $G_{00}^{(V)}=-\Delta \varphi$ が残る（規格化 $V=2\varphi$，符号は §0 に整合）。

付録C：${\delta }_W$ の複体性

${\partial }_{\tau }^2={\partial }_{\theta }^2=0$、$d_d^2=0$、混合項の可換性により ${\delta }_W^2=0$。

付録D：Kato–Rellich と指数不変

${\mathcal{D}}_{\mathrm{prin}}^{\nabla }$ は自己共役 Fredholm、$\mathcal{V}$ は相対界 0 の有界摂動 ⇒ 本質スペクトル不変 ⇒ 指数不変。

付録E：半整数閾値の意味

$\frac{1}{2\pi i}\int \mathrm{Tr}F\in \mathbb{Z}$。偏差が $\frac{1}{2}$ 未満なら最近整数が一意で固定。

付録F：Bochner–Lichnerowicz の概略

$\Vert \nabla \Psi {\Vert }^2=⟨{\mathcal{D}}^{†}\mathcal{D}\Psi ,\Psi ⟩-⟨\mathsf{R}\Psi ,\Psi ⟩$。

$\mathsf{R}$ を ${\mathrm{Ric}}_V$ と $\mathrm{ad}(A)$ に分解し，${\mathrm{Ric}}_V\ge \lambda g$，$\Vert \mathrm{ad}(A)\Vert \le \rho$ から $⟨\mathsf{R}\Psi ,\Psi ⟩\ge (\lambda -c{\rho }^2)\Vert \Psi {\Vert }^2$ を得る。

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