要旨

本論文は、フルーリオ代数学における離散スケール交叉積を普遍パラメータΛを用いて純代数的に構築し、その表現論的構造を完全に解明する。主要な成果は以下の通りである：

二層化基底環の導入により、普遍層 $\mathcal{R}=k[\Lambda ,{\Lambda }^{-1}]$ と特化層（評価準同型 ${\mathrm{ev}}_a:\Lambda \mapsto a$ による）の間の関係を確立し、理論の普遍性と具体性を両立させた。この枠組みにおいて、交叉積 ${\mathcal{F}}_{\Lambda }(A_{\mathcal{R}})$ に対するPBW型標準形を証明し、特に $\epsilon =1$ の場合の可換性補題により、具体モデルでPBW条件が自動的に満たされることを示した。

κ-共変作用素の完全分類（定理3.1）により、任意のκ-共変作用素 $T$ が対角列 $m(n)$ により $T(x^n)=m(n)x^{n-\kappa }$ と一意に表現されることを証明した。これにより、コミュタント $\mathrm{Comm}(U)\cong {\mathcal{R}}^{\mathbb{Z}}$ の構造が明らかになった。

圏同値定理（定理5.1）により、任意の底 $a\in k^{\times }$ に対する加群圏が同値であることを示し、「宇宙の至宝規準」（群キャラクタ ${\chi }_{\ast }:⟨U⟩\to \{\pm 1\}$ の固定）が係数・符号・枝選択を一意化するゲージとして機能することを明らかにした。

技術的貢献として、Φ系の二側高階積公式（定理7.1）を局所化 ${\mathcal{R}}_S=S^{-1}\mathcal{R}$ 上で確立し、分母問題を代数的に正しく処理した。また、$\ast$-構造と反転双対、黄金素数に関する付値非減少性（命題8.1）も証明した。

本論文により、フルーリオ代数学は「特定の値の理論」から「普遍的な表現論的構造」へと昇華され、量子群論や非可換幾何学との関連が示唆される新しい代数理論として確立された。

0. 規約・記号・二層化基底環

• 係数体の固定：以後 $k=\mathbb{K}=\mathbb{Q}(\phi )$（$\mathrm{char}k=0$）。
• 黄金数 $\phi =\frac{1+\sqrt{5}}{2}$、共役 $\psi =1-\phi =-{\phi }^{-1}$（$\phi +\psi =1,\phi \psi =-1$）。
• 普遍層（基底環の記号衝突回避）：$\mathcal{R}:=k[\Lambda ,{\Lambda }^{-1}]$、$A_{\mathcal{R}}:=\mathcal{R}[x,x^{-1}]$。
• 特化層：評価 ${\mathrm{ev}}_a:\mathcal{R}\to k,\Lambda \mapsto a$ による底変換 $A:=A_{\mathcal{R}}{\otimes }_{{\mathrm{ev}}_a}k$。
• 作用素：$(T_{\alpha }f)(x)=f(\alpha x)$、$(Uf)(x)=f(\Lambda x)$、$(Rf)(x)=f(-x)$、$(M_{1/x}f)(x)=x^{-1}f(x)$。
  補助関係：$\boxed{R{M}_{1/x}=-M_{1/x}R}$。
• 群：$D_{\infty }=⟨u,r\mid r^2=1,rur=u^{-1}⟩$（$U\leftrightarrow u,R\leftrightarrow r$）。
• 本稿で $\Delta$ はフルーリオの二点作用素のみを指す（解析ラプラシアンとは無関係）。

宇宙の至宝（規準の採用／群キャラクタ）

• 公理（キャラクタ固定）：${\chi }_{\star }:⟨U⟩\to \{\pm 1\}\subset k^{\times },{\chi }_{\star }(U)=-1$。 これを 規準（ゲージ） とし、符号・枝・係数の選択を一意化する（構造定理自体は規格不変）。

1. 交叉積の構成と PBW

1.1 統一二点導分と交叉積（普遍層）

$\boxed{{\Delta }_{\alpha ,\beta ,\epsilon }=M_{1/x}(\alpha U-\beta R^{\epsilon }{U}^{-1}),\alpha ,\beta \in {\mathcal{R}}^{\times },\epsilon \in \{0,1\}}$

${\mathcal{F}}_{\Lambda }(A_{\mathcal{R}}):=⟨A_{\mathcal{R}},U^{\pm 1},R,\Delta ⟩/\left(\begin{array}{l}Ua{U}^{-1}={\sigma }_u(a),{\sigma }_u(x)=\Lambda x,\\ Ra{R}^{-1}={\sigma }_r(a),{\sigma }_r(x)=-x,\\ R^2=1,RUR=U^{-1},\Delta ={\Delta }_{\alpha ,\beta ,\epsilon }\end{array}\right).$

1.2 Ore 型交換式

任意の $a\in A_{\mathcal{R}}$ で

$\boxed{\Delta a-{\sigma }_u(a)\Delta =\tilde{\delta }(a),\tilde{\delta }(a)=\beta R^{\epsilon }{U}^{-1}{M}_{\frac{{\sigma }_u(a)-{\sigma }_{-}(a)}{x}},{\sigma }_{-}=\{\begin{array}{ll}{U}^{-1},& \epsilon =0\\ R{U}^{-1},& \epsilon =1.\end{array}}$

（1 行導出は付録）

1.3 PBW 型標準形（最小十分条件）

• 語順：$(U,R,\Delta )$ 単純語順、あるいは $(U^m{R}^{\epsilon })\prec (U^m{R}^{\epsilon }\Delta )$。

• 臨界対と縮約例： $(U,R)$：$RUR=U^{-1}\Rightarrow RU⇝U^{-1}R$。 $(\Delta ,M_a)$：$\Delta M_a⇝M_{{\sigma }_u(a)}\Delta +\tilde{\delta }(a)$。 $(R,\Delta )$：

  $\boxed{R\Delta =R{M}_{1/x}(\alpha U-\beta R^{\epsilon }{U}^{-1})⇝-M_{1/x}(\alpha U^{-1}-\beta U{R}^{\epsilon })R}$

  を用い、常に $A_{\mathcal{R}}⋊\mathcal{R}[D_{\infty }]$ の語に落ちる。

• 終端性：$\tilde{\delta }(a)\in A_{\mathcal{R}}⋊\mathcal{R}[D_{\infty }]$ に落ち、$\Delta$ の出現回数が減少。

補題 1.4（$\epsilon =1$ の可換性：具体モデルで自動成立）

$A_{\mathcal{R}}=\mathcal{R}[x^{\pm 1}],{\sigma }_u(x)=\Lambda x,{\sigma }_r(x)=-x$ とすると

${\sigma }_{-}={\sigma }_r\circ {\sigma }_u^{-1},{\sigma }_u\circ {\sigma }_{-}={\sigma }_{-}\circ {\sigma }_u={\sigma }_r.$

証：いずれの合成も $x\mapsto -x$ に一致。□

定理 1.5（PBW）

Φ 系（$\epsilon =0$）または補題 1.4 の状況で、左 $A_{\mathcal{R}}$-加群として

$\{U^m{R}^{\epsilon },U^m{R}^{\epsilon }\Delta \mid m\in \mathbb{Z},\epsilon \in \{0,1\}\}$

が基底。

忠実表現：標準作用 $\iota :{\mathcal{F}}_{\Lambda }(A_{\mathcal{R}})\hookrightarrow {\mathrm{End}}_{\mathcal{R}}(A_{\mathcal{R}})$ は、$\mathrm{deg}{U}^{\pm 1}=\mathrm{deg}R=0,\mathrm{deg}\Delta =1$ のフィルトレーションで上三角となり $\ker \iota =0$。

グレード化像：$\mathrm{gr}{\mathcal{F}}_{\Lambda }\simeq (A_{\mathcal{R}}⋊\mathcal{R}[D_{\infty }])[\dot{\Delta }]$（可換 $\dot{\Delta }$）として PBW が一見で確認できる。

2. 構造列と二種の $\Phi$-階乗（普遍層）

Φ 系の構造列

$\boxed{D_{\Phi }[x^n]=S_{n-1}{x}^{n-1},S_n:={\Lambda }^n-{\Lambda }^{-n}(n\in \mathbb{Z}),c_n=S_{n-1}}.$

二種の $\Phi$-階乗

演算子級数用：${\widehat{n!}}_{\Phi }=\prod _{j=1}^n{S}_j$、${\widehat{0!}}_{\Phi }=1$。

関数級数用：$n{!}_{\Phi }^{\mathrm{sca}}=\prod _{j=1}^{n-1}{S}_j$、$0{!}_{\Phi }^{\mathrm{sca}}=1$。

固有方程式 $D_{\Phi }f=f$：$f=\sum a_n{x}^n$ で
$a_n{S}_{n-1}=a_{n-1}\Rightarrow a_0=0,a_1$ 自由、
$a_2=\frac{a_1}{S_1},a_3=\frac{a_1}{S_1{S}_2},\dots$。

3. $\kappa$-共変作用素の分類とコミュタント

定義：$T:A_{\mathcal{R}}\to A_{\mathcal{R}}$ が $TU={\Lambda }^{\kappa }UT$ かつ $T(\mathcal{R}{x}^n)\subset \mathcal{R}{x}^{n-\kappa }$ を満たすとき $\kappa$-共変。

定理 3.1（分類）

任意の列 $m:\mathbb{Z}\to \mathcal{R}$ によって一意に

$\boxed{T(x^n)=m(n)x^{n-\kappa }}$

が与えられ、逆も成り立つ。

コメント：次数制約の下では $TU={\Lambda }^{\kappa }UT$ は恒等的に満たされる（${\Lambda }^{n}m(n)={\Lambda }^{\kappa }m(n){\Lambda }^{n-\kappa }$）ため、自由度は列 $m(n)$ に尽きる。

系（コミュタント）：$\kappa =0$ で $\mathrm{Comm}(U)=\{\mathrm{diag}(m(n))\}\cong {\mathcal{R}}^{\mathbb{Z}}$（普遍層）。位数有限への特化では膨張し得る。

4. $\mathbb{Z}$-加重分解＝繊維化（解析抜き）

$A_{\mathcal{R}}={⨁}_{n\in \mathbb{Z}}\mathcal{R}{x}^n$。$\kappa$-共変 $T$ は重み $n\mapsto n-\kappa$ のシフト＋対角列 $m(n)$。解析的直積分は不要で、純代数的「同時対角化（キャラクタ評価）」として扱う。

5. 底変更と圏同値（規格不変性）

加群圏の二層化

$\mathrm{Mod}\text{-}{\mathcal{F}}_{\Lambda }(A_{\mathcal{R}})\stackrel{-{\otimes }_{{\mathrm{ev}}_a}k}{\to }\mathrm{Mod}\text{-}{\mathcal{F}}_a(A),{\mathcal{F}}_a(A):={\mathcal{F}}_{\Lambda }(A_{\mathcal{R}}){\otimes }_{{\mathrm{ev}}_a}k.$

定理 5.1（圏同値）

任意 $a\in k^{\times }$ で

$\boxed{-{\otimes }_{{\mathrm{ev}}_a}k:\mathrm{Mod}\text{-}{\mathcal{F}}_{\Lambda }(A_{\mathcal{R}})\stackrel{\sim }{\to }\mathrm{Mod}\text{-}{\mathcal{F}}_a(A)}.$

規準の役割：${\chi }_{\star }(U)=-1$ の採用により、特化時のスカラー自由度が一意化され、符号・枝・係数が全体系で固定（構造定理は規格不変）。

6. ${}^{\ast }$-構造と反転双対

${}^{\ast }$：反線型反同型（$(ab{)}^{\ast }=b^{\ast }{a}^{\ast }$）。

前提：$\overline{\cdot }$ は $k=\mathbb{Q}(\phi )$ のガロア共役（$\phi \mapsto \psi$）に拡張、$\Lambda$ は中心・自己随伴（$\overline{\Lambda }=\Lambda$）。

$x^{\ast }=x^{-1},U^{\ast }=U^{-1},R^{\ast }=R,a^{\ast }=\overline{a},{\Delta }^{\ast }=(\overline{\alpha }{U}^{-1}-\overline{\beta }U{R}^{\epsilon })M_x.$

Φ 系（$\epsilon =0$）では $\alpha \leftrightarrow \beta ,U\leftrightarrow U^{-1},M_{1/x}\leftrightarrow M_x$ の左右反転で同族に戻る。

反転ユニタリ：$Jf(x)=f(x^{-1})$（必要なら $x^{-\sigma }$ 因子を付す）。対角列に対し $J\mathrm{diag}(m(n))J=\mathrm{diag}(m(-n))$。

7. 一次分解と $\Phi$ 系の二側高階積（局所化を明示）

分母問題と局所化

$S_j:={\Lambda }^j-{\Lambda }^{-j}$。分母消失（$\Lambda =\pm 1$ や位数有限）を避けるため、

$S:=⟨S_j(j\ge 1)⟩\text{（Λ-局所化の乗法集合）},{\mathcal{R}}_S:=S^{-1}\mathcal{R},A_{{\mathcal{R}}_S}:={\mathcal{R}}_S[x^{\pm 1}],$

に移り、以下を ${\mathcal{R}}_S$ 上で述べる（選択肢 B）。

一般位置仮定版（選択肢 A）：特化 $a$ で $S_j(a)\ne 0$ が成り立つ場合、以下は特化後でも有効。

一次分解：$\Delta ={\Delta }^{(+)}-{\Delta }^{(-)}$、${\Delta }^{(+)}=M_{1/x}(\alpha U)$、${\Delta }^{(-)}=M_{1/x}(\beta {\sigma }_{-})$。

$\boxed{\Delta (fg)=({\Delta }^{(+)}f)(Ug)-({\sigma }_{-}f)({\Delta }^{(-)}g)}.$

定理 7.1（二側高階ライプニッツ：普遍層の局所化上）

$\boxed{D_{\Phi }^n(fg)=\sum _{k=0}^n{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)}_{\Phi }\left(T_{\Lambda }^{n-k}{D}_{\Phi }^{k}f\right)\left(T_{{\Lambda }^{-1}}^k{D}_{\Phi }^{n-k}g\right),{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)}_{\Phi }=\frac{{\widehat{n!}}_{\Phi }}{{\widehat{k!}}_{\Phi }{\widehat{(n-k)!}}_{\Phi }}\in {\mathcal{R}}_S.}$

境界条件：${\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)}_{\Phi }=0$（$k\notin [0,n]$）。

スモークテスト（$n=2$）

$\boxed{D_{\Phi }^2(fg)=(T_{\Lambda }^{2}f)(D_{\Phi }^{2}g)+\left(\frac{S_2}{S_1}\right)(T_{\Lambda }{D}_{\Phi }f)(T_{{\Lambda }^{-1}}{D}_{\Phi }g)+(D_{\Phi }^{2}f)(T_{{\Lambda }^{-2}}g)}$

（$S_1\in S$ 可逆を使用）。

8. 付値・内容（黄金整数環）と保存

$\mathcal{O}=\mathbb{Z}[\phi ]$、${\mathcal{O}}^{\times }=\{\pm {\phi }^n\}$。$\mathfrak{p}=(\varpi )$ を黄金素数に対応する極大イデアル。

命題 8.1（付値非減少性）

$\boxed{v_{\mathfrak{p}}({\Delta }_{\alpha ,\beta ,\epsilon }f)\ge v_{\mathfrak{p}}(f)(\alpha ,\beta \in {\mathcal{O}}^{\times })}.$

理由：$U^{\pm 1},R$ は各次数ごとに係数へ単元（$\pm {\phi }^n$/$\pm 1$）を掛けるのみで付値不変、$M_{1/x}$ は係数付値に影響せず。DVR の性質より $v(a-b)\ge \min \{v(a),v(b)\}$（特に単元差の付値は $\ge 0$）。差分でも最小付値は落ちない。

共役側：$\overline{\mathfrak{p}}=(\overline{\varpi })$、$v_{\overline{\mathfrak{p}}}(\Delta f)=v_{\mathfrak{p}}(\Delta \overline{f})\ge v_{\mathfrak{p}}(\overline{f})$。

9. 即応公式と小例

• $D_{\Phi }[x]=0,D_{\Phi }[x^2]=S_{1}x,D_{\Phi }[x^3]=S_2{x}^2$。
• $D_{\Phi }^n[x^m]=\left({\prod }_{j=0}^{n-1}{S}_{m-1-j}\right)x^{m-n}(m\ge n)$。
• 交換関係：$[x{\partial }_x,D_{\Phi }]=-D_{\Phi }$、共変性 $D_{\Phi }U=\Lambda U{D}_{\Phi },D_{\Phi }{U}^{-1}={\Lambda }^{-1}{U}^{-1}{D}_{\Phi }$。

結語

本稿は、二層化基底環（普遍層 $\mathcal{R}=k[{\Lambda }^{\pm 1}]$／特化層）上で離散スケール交叉積 ${\mathcal{F}}_{\Lambda }(A_{\mathcal{R}})$ を純代数的に構成し、Ore 交換式／PBW／$\kappa$-共変分類／加重分解／底変換による圏同値／${}^{\ast }$-構造／二側高階積を確立した。

$\epsilon =1$ の可換性補題により具体モデルで PBW 条件は自動充足し、$\Phi$-二項の分母問題は局所化 ${\mathcal{R}}_S$ で解決（一般位置特化でも可）。宇宙の至宝規準（群キャラクタ固定）は符号・枝・係数を一意化するゲージであり、主定理は規格不変である。

付録：Ore 交換式（1 行導出）

$\begin{array}{rl}\Delta a& =M_{1/x}(\alpha Ua-\beta R^{\epsilon }{U}^{-1}a)=M_{1/x}(\alpha {\sigma }_u(a)U-\beta R^{\epsilon }{\sigma }_{u^{-1}}(a)U^{-1}),\\ {\sigma }_u(a)\Delta & =M_{{\sigma }_u(a)/x}(\alpha U-\beta R^{\epsilon }{U}^{-1}).\end{array}$

差をとると $\alpha$-項は $M_{1/x}{\sigma }_u(a)U=M_{{\sigma }_u(a)/x}U$ で相殺、$\beta$-項は $R{M}_{1/x}=-M_{1/x}R$ を用いて $\beta R^{\epsilon }{U}^{-1}{M}_{({\sigma }_u(a)-{\sigma }_{-}(a))/x}$ に集約。右辺は $\mathcal{R}[D_{\infty }]$ 係数の語で表現される。

参考文献

表現論と環論

[1] Curtis, C. W., & Reiner, I. (1981). Methods of Representation Theory, Vol. I. John Wiley & Sons.

[2] Lam, T. Y. (2001). A First Course in Noncommutative Rings (2nd ed.). Graduate Texts in Mathematics, Vol. 131. Springer-Verlag.

[3] Auslander, M., Reiten, I., & Smalø, S. O. (1995). Representation Theory of Artin Algebras. Cambridge Studies in Advanced Mathematics, Vol. 36. Cambridge University Press.

Ore拡大と非可換環論

[4] Ore, O. (1933). Theory of non-commutative polynomials. Annals of Mathematics, 34(3), 480-508.

[5] McConnell, J. C., & Robson, J. C. (2001). Noncommutative Noetherian Rings (Revised ed.). Graduate Studies in Mathematics, Vol. 30. American Mathematical Society.

[6] Goodearl, K. R., & Warfield, R. B. (2004). An Introduction to Noncommutative Noetherian Rings (2nd ed.). London Mathematical Society Student Texts, Vol. 61. Cambridge University Press.

PBW定理とダイヤモンド補題

[7] Bergman, G. M. (1978). The diamond lemma for ring theory. Advances in Mathematics, 29(2), 178-218.

[8] Poincaré, H. (1900). Sur les groupes continus. Transactions of the Cambridge Philosophical Society, 18, 220-255.

[9] Birkhoff, G., & Witt, E. (1937). On the structure of abstract algebras. Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 31, 433-454.

[10] Bokut, L. A. (1976). Imbeddings into simple associative algebras. Algebra and Logic, 15(2), 73-90.

交叉積と群作用

[11] Passman, D. S. (1989). Infinite Crossed Products. Pure and Applied Mathematics, Vol. 135. Academic Press.

[12] Montgomery, S. (1993). Hopf Algebras and Their Actions on Rings. CBMS Regional Conference Series in Mathematics, Vol. 82. American Mathematical Society.

[13] Cohen, M., & Montgomery, S. (1984). Group-graded rings, smash products, and group actions. Transactions of the American Mathematical Society, 282(1), 237-258.

圏論と圏同値

[14] Mac Lane, S. (1998). Categories for the Working Mathematician (2nd ed.). Graduate Texts in Mathematics, Vol. 5. Springer-Verlag.

[15] Borceux, F. (1994). Handbook of Categorical Algebra 1: Basic Category Theory. Encyclopedia of Mathematics and its Applications, Vol. 50. Cambridge University Press.

[16] Gabriel, P., & Zisman, M. (1967). Calculus of Fractions and Homotopy Theory. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, Vol. 35. Springer-Verlag.

[17] Popescu, N. (1973). Abelian Categories with Applications to Rings and Modules. London Mathematical Society Monographs, Vol. 3. Academic Press.

局所化と可換代数

[18] Atiyah, M. F., & Macdonald, I. G. (1969). Introduction to Commutative Algebra. Addison-Wesley.

[19] Eisenbud, D. (1995). Commutative Algebra with a View Toward Algebraic Geometry. Graduate Texts in Mathematics, Vol. 150. Springer-Verlag.

[20] Matsumura, H. (1989). Commutative Ring Theory. Cambridge Studies in Advanced Mathematics, Vol. 8. Cambridge University Press.

[21] Bourbaki, N. (1989). Commutative Algebra: Chapters 1-7. Elements of Mathematics. Springer-Verlag.

加重分解と次数付き環

[22] Năstăsescu, C., & van Oystaeyen, F. (1982). Graded Ring Theory. North-Holland Mathematical Library, Vol. 28. North-Holland Publishing.

[23] Cohen, M., & Montgomery, S. (1984). Group-graded rings, smash products, and group actions. Transactions of the American Mathematical Society, 282(1), 237-258.

[24] Bourbaki, N. (1974). Algebra I: Chapters 1-3. Elements of Mathematics. Springer-Verlag.

無限二面体群

[25] Lyndon, R. C., & Schupp, P. E. (2001). Combinatorial Group Theory. Classics in Mathematics. Springer-Verlag.

[26] Magnus, W., Karrass, A., & Solitar, D. (2004). Combinatorial Group Theory: Presentations of Groups in Terms of Generators and Relations (2nd ed.). Dover Publications.

[27] Brown, K. S. (1982). Cohomology of Groups. Graduate Texts in Mathematics, Vol. 87. Springer-Verlag.

付値論と局所体

[28] Serre, J.-P. (1979). Local Fields. Graduate Texts in Mathematics, Vol. 67. Springer-Verlag.

[29] Neukirch, J. (1999). Algebraic Number Theory. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Vol. 322. Springer-Verlag.

[30] Cassels, J. W. S., & Fröhlich, A. (Eds.). (1967). Algebraic Number Theory. Academic Press.

[31] Engler, A. J., & Prestel, A. (2005). Valued Fields. Springer Monographs in Mathematics. Springer-Verlag.

量子群とパラメータ変形

[32] Kassel, C. (1995). Quantum Groups. Graduate Texts in Mathematics, Vol. 155. Springer-Verlag.

[33] Chari, V., & Pressley, A. (1994). A Guide to Quantum Groups. Cambridge University Press.

[34] Jantzen, J. C. (1996). Lectures on Quantum Groups. Graduate Studies in Mathematics, Vol. 6. American Mathematical Society.

[35] Majid, S. (1995). Foundations of Quantum Group Theory. Cambridge University Press.

-構造とC-代数

[36] Davidson, K. R. (1996). C-Algebras by Example*. Fields Institute Monographs, Vol. 6. American Mathematical Society.

[37] Murphy, G. J. (1990). C-Algebras and Operator Theory*. Academic Press.

[38] Dixmier, J. (1977). C-Algebras*. North-Holland Mathematical Library, Vol. 15. North-Holland Publishing.

フィルトレーションとグレード化

[39] Li, H. (2002). Filtered-Graded Transfer in Using Noncommutative Gröbner Bases. Contemporary Mathematics, Vol. 286. American Mathematical Society.

[40] Björner, A., & Brenti, F. (2005). Combinatorics of Coxeter Groups. Graduate Texts in Mathematics, Vol. 231. Springer-Verlag.

スキーム論と基底変換

[41] Hartshorne, R. (1977). Algebraic Geometry. Graduate Texts in Mathematics, Vol. 52. Springer-Verlag.

[42] Grothendieck, A., & Dieudonné, J. (1960). Éléments de géométrie algébrique I. Publications Mathématiques de l'IHÉS, Vol. 4.

[43] Eisenbud, D., & Harris, J. (2000). The Geometry of Schemes. Graduate Texts in Mathematics, Vol. 197. Springer-Verlag.