要旨

第一論文の枠組みを保ちつつ、フルーリオの等式

${\phi }^{i\pi /\log \phi }=-1$

を解析に依存しない“規準化原理（宇宙の至宝規準）”として採用し、二点導分の統一、PBW 型標準形、Φ系の構造列 $c_n=S_{n-1}$、二種の Φ-階乗・Φ-二項、二側版高階積、付値非減少性までを純代数で完結させる。

0. 記号表

$\begin{array}{ll}\phi & \text{黄金数 }=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\\ \psi & \text{共役黄金数 }=\frac{1-\sqrt{5}}{2}=1-\phi =-\frac{1}{\phi },\phi +\psi =1,\phi \psi =-1\\ \mathcal{O}& \text{黄金整数環 }=\mathbb{Z}[\phi ],{\mathcal{O}}^{\times }=\{\pm {\phi }^n\}\\ \varpi & \text{黄金素数（素元）}；\varpi =a+b\phi ,\mathfrak{p}=(\varpi )\\ \overline{\varpi }& \text{共役黄金素数}；\overline{\varpi }=a+b\psi ,\overline{\mathfrak{p}}=(\overline{\varpi })\\ \text{作用素}& (T_{\alpha }f)(x)=f(\alpha x),(Uf)(x)=f(\phi x),(Rf)(x)=f(-x),(M_{1/x}f)(x)=x^{-1}f(x)\\ D_{\infty }& ⟨u,r\mid r^2=1,rur=u^{-1}⟩\text{（無限二面体群）}\\ \text{主値対数}& \log :\text{負実軸で枝切断の主値分枝（az=ezloga，a>0）}\end{array}$

1. 二点導分の統一表示と一次積の分解

定義 1.1（統一二点導分）

$\boxed{{\Delta }_{\alpha ,\beta ,\epsilon }:=M_{1/x}(\alpha U-\beta R^{\epsilon }{U}^{-1}),\alpha ,\beta \in k^{\times },\epsilon \in \{0,1\}}$

代表例：Φ系 $D_{\Phi }={\Delta }_{{\phi }^{-1},\phi ,0}$、F系 $D_{\mathsf{F}}={\Delta }_{1/\sqrt{5},1/\surd 5,1}$。

命題 1.2（一次積の分解）

$\Delta =\underset{:={\Delta }^{(+)}}{\underbrace{M_{1/x}(\alpha U)}}-\underset{:={\Delta }^{(-)}}{\underbrace{M_{1/x}(\beta {\sigma }_{-})}},{\sigma }_{-}=\{\begin{array}{ll}{U}^{-1}& (\epsilon =0)\\ R{U}^{-1}& (\epsilon =1)\end{array}$

$\boxed{\Delta (fg)=\left({\Delta }^{(+)}f\right)(Ug)-\left({\sigma }_{-}f\right)\left({\Delta }^{(-)}g\right)}$

2. フルーリオ代数学 $\mathcal{F}(A)$ と PBW

最小仮定：$A$ は可換 $k$-代数で $k[x,x^{-1}]\subset A$、${\sigma }_u(x)=\phi x,{\sigma }_r(x)=-x$。

定義 2.1（交叉積への二点 Ore 拡大）

生成元 $M_a(a\in A),U,R,\Delta$ と関係式

$\begin{array}{rl}& {\mathrm{Ad}}_U(M_a)=M_{{\sigma }_u(a)},{\mathrm{Ad}}_R(M_a)=M_{{\sigma }_r(a)},R^2=1,RUR=U^{-1},\\ & \Delta M_a-M_{{\sigma }_u(a)}\Delta =\tilde{\delta }(a),\boxed{\tilde{\delta }(a)=\beta R^{\epsilon }{U}^{-1}{M}_{\frac{{\sigma }_u(a)-{\sigma }_{-}(a)}{x}}\in A⋊k[D_{\infty }].}\end{array}$

定理 2.2（PBW 型標準形）

仮定：${\sigma }_u,{\sigma }_r$ は自己同型、${\sigma }_u$ と ${\sigma }_{-}$ は可換、$\tilde{\delta }$ による重複簡約が閉じる。

結論：$\mathcal{F}(A)\cong (A⋊k[D_{\infty }])\oplus (A⋊k[D_{\infty }])\Delta$ として $A$-自由。基底 $\{U^m{R}^{\epsilon },U^m{R}^{\epsilon }\Delta \}$。

3. 宇宙の至宝規準とその一意性

定義 3.1（宇宙の至宝規準）

$\boxed{{\phi }^{i\pi /\log \phi }=-1}\text{（フルーリオの等式を、規準化条件として採用）}$

— 解析結果を用いず、位相格子 $\tau =\pi k/\log \phi$ を固定する“座標合わせ”として機能する。

定理 3.2（規準化の一意性）

${\phi }^z=-1$ を満たす $z\in \mathbb{C}$ のうち、$|\mathrm{Im}z|$ を最小にするものは

$z=\pm \frac{i\pi }{\log \phi }.$

証：${\phi }^z=-1⟺e^{z\log \phi }=e^{(2k+1)i\pi }$。よって $z=\frac{(2k+1)i\pi }{\log \phi }$。$|\mathrm{Im}z|$ 最小は $k=0$ で与えられる。□

系 3.3（Φ系の構造列の確定）

$\boxed{D_{\Phi }[x^n]=S_{n-1}{x}^{n-1},S_m:={\phi }^m-{\phi }^{-m}}$

すなわち $c_n=S_{n-1}$。特に $D_{\Phi }[x]=0,D_{\Phi }[x^2]=S_{1}x$。 （計算は $D_{\Phi }=M_{1/x}({\phi }^{-1}U-\phi U^{-1})$、$U{x}^n={\phi }^n{x}^n$ より一行。）

4. Φ-階乗・Φ-二項・高階積（純代数）

定義 4.1（二種の Φ-階乗）

${\widehat{n!}}_{\Phi }:={\prod }_{k=1}^n{S}_k\text{（演算子級数用；S0 を避ける）},n{!}_{\Phi }^{\mathrm{sca}}:={\prod }_{k=1}^{n-1}{S}_k\text{（関数級数用；起点差のみ）}.$

定義 4.2（Φ-二項係数；${\widehat{n!}}_{\Phi }$ 由来）

$\boxed{{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)}_{\Phi }:=\frac{{\prod }_{j=1}^n{S}_j}{\left({\prod }_{j=1}^k{S}_j\right)\left({\prod }_{j=1}^{n-k}{S}_j\right)}}.$

定理 4.3（高階積；Φ系の二側版）

任意の多項式 $f,g$ に対し

$\boxed{D_{\Phi }^n(fg)=\sum _{k=0}^n{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)}_{\Phi }\left(T_{\phi }^{n-k}{D}_{\Phi }^{k}f\right)\left(T_{{\phi }^{-1}}^k{D}_{\Phi }^{n-k}g\right)}.$

証：一次分解（§1.2）を反復し、構造列 $c_n=S_{n-1}$ に付随する二項係数で整列する純代数的帰納。□

系 4.4（固有方程式の初期条件）

$D_{\Phi }f=f$, $f(x)={\sum }_{n\ge 0}{a}_n{x}^n$ では $a_n{S}_{n-1}=a_{n-1}(n\ge 1)$ より $a_0=0$、$a_1$ 自由。 $a_n=\frac{a_1}{{\prod }_{k=1}^{n-1}{S}_k}(n\ge 2)$。

5. スケール共変性と F–Φ の“構造対応”

命題 5.1（一般スケール共変性）

任意の $a>0$ に対し、$T_{a}f(x)=f(ax)$ とすると

$\boxed{T_a^{-1}{\Delta }_{\alpha ,\beta ,\epsilon }{T}_a=a{\Delta }_{\alpha ,\beta ,\epsilon }}.$

（計算：$T_a^{-1}{M}_{1/x}{T}_a=a{M}_{1/x}$、$U,R$ は共役で不変。）

命題 5.2（多項式表現）

$V=\mathrm{Span}\{x^n\}$ は $\mathcal{F}(A)$-加群： $U\cdot x^n={\phi }^n{x}^n,U^{-1}\cdot x^n={\phi }^{-n}{x}^n,D_{\Phi }\cdot x^n=S_{n-1}{x}^{n-1}$。

命題 5.3（F–Φ の構造対応：パリティ分解）

$V=V_{\mathrm{even}}\oplus V_{\mathrm{odd}}$（$Rf=\pm f$）で

${D_{\mathsf{F}}|}_{V_{\mathrm{even}}}=\frac{1}{\sqrt{5}}{M}_{1/x}(U-U^{-1}),{D_{\mathsf{F}}|}_{V_{\mathrm{odd}}}=\frac{1}{\sqrt{5}}{M}_{1/x}(U+U^{-1}).$

よって F 系は各パリティ上で $\epsilon =0$ 型の Δ に落ちる（係数 $\alpha =\pm \beta$）。

注：標準の Φ（$\alpha ={\phi }^{-1},\beta =\phi$）へは係数の再規格化・底変更を併用して比較する（厳密同型ではなく“構造対応”とする）。

6. 付値：黄金素数・共役と具体例

命題 6.1（付値非減少性）

$A=\mathcal{O}((x))$、$\alpha ,\beta \in {\mathcal{O}}^{\times }$。黄金素数 $\mathfrak{p}=(\varpi )$ に対し

$v_{\mathfrak{p}}({\Delta }_{\alpha ,\beta ,\epsilon }f)\ge v_{\mathfrak{p}}(f).$

理由：$U^{\pm 1},R$ は係数に単元 $\pm {\phi }^n$ を掛けるのみ（付値不変）、$M_{1/x}$ は係数付値に影響せず、差分で落ちない。

補足 6.2（共役黄金素数）

$\overline{\varpi }=a+b\psi$ に対して同様： $v_{\overline{\mathfrak{p}}}(\Delta f)=v_{\mathfrak{p}}(\Delta \overline{f})\ge v_{\mathfrak{p}}(\overline{f})$。

例 6.3（形式級数の成長条件の保存）

$f(x)={\sum }_{n\ge 0}{a}_n{x}^n$ が $v_{\mathfrak{p}}(a_n)\ge n$ を満たすとき、$\Delta f$ の係数 $b_n$ も $v_{\mathfrak{p}}(b_n)\ge n$ を満たす。

理由：$\Delta [x^{n+1}]=c_{n+1}{x}^n$（係数は単元倍）で線形結合されるため。

7. 底変更の普遍性

命題 7.1（普遍性と圏同値）

任意の底 $a>0$ に対し構成される代数 ${\mathcal{F}}^{(a)}(A)$ と ${\mathcal{F}}^{(\phi )}(A)$ の加群圏は同値である。

構成：$\mathbb{Z}$-作用の生成元写像で $U_a\mapsto U_{\phi }$ を指定し（スケールの再パラメータ化）、${\Delta }^{(a)}=M_{1/x}(\alpha U_a-\beta R^{\epsilon }{U}_a^{-1})$ はスカラー $\lambda (a)\in k^{\times }$ により $\lambda (a){\Delta }^{(\phi )}$ と対応付ける。 宇宙の至宝規準により $\lambda$ の選択が一意に固定され、位相格子・記法・構造定数が標準化される。

8. 例（Φ系の低次）

$D_{\Phi }[x]=0,D_{\Phi }[x^2]=S_{1}x=(\phi -{\phi }^{-1})x,D_{\Phi }[x^3]=S_2{x}^2=({\phi }^2-{\phi }^{-2})x^2.$

結語

宇宙の至宝規準は新定理ではなく、代数全体の座標合わせである。この一点の採用により、構造列 $c_n=S_{n-1}$、二種の Φ-階乗・Φ-二項、二側版高階積、スケール共変性、付値非減少性、底変更の普遍性が、解析抜きで統一・簡潔に確立された。

参考文献

1. P. M. Cohn, Algebra, 章：Ore extensions／crossed products（標準参考）
2. J. C. McConnell & J. C. Robson, Noncommutative Noetherian Rings, 章：Skew/Ore extension
3. J. Neukirch, Algebraic Number Theory, 章：単元・付値・イデアル（付値の基礎）