要旨

黄金二次体 $\mathbb{K}=\mathbb{Q}(\phi )$（$\phi =\frac{1+\sqrt{5}}{2}$）を基底に、二点スケール差分をパラメータ族

$\boxed{{\Delta }_{\alpha ,\beta ,\epsilon }:=M_{1/x}(\alpha U-\beta R^{\epsilon }{U}^{-1})}$

で公理化し、交叉積 $A⋊k[D_{\infty }]$ への 二点 Ore 拡大として抽象代数 $\mathcal{F}(A)$ を構成する。これにより、フルーリオ解析学第二論文の

$D_{\Phi }=M_{1/x}({\phi }^{-1}U-\phi U^{-1}),$

および第一論文の

$D_{\mathsf{F}}=\frac{1}{\sqrt{5}}{M}_{1/x}(U-R{U}^{-1})(\psi =1-\phi =-{\phi }^{-1})$

が同一枠組みに統合される。解析面では（特に $\epsilon =0$）Mellin 記号・保存則・モーメント連鎖を表現論として内在化し、組合せ面では単項式作用から誘導される構造列に基づく二系統（F系／Φ系）の階乗・二項係数・指数を厳密に区別する。算術面では黄金素数による付値が差分で非減少となる。

0. 記号表

$\begin{array}{ll}\phi & \text{黄金数 }=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\\ \psi & \text{共役黄金数 }=\frac{1-\sqrt{5}}{2}=1-\phi =-\frac{1}{\phi },\phi +\psi =1,\phi \psi =-1\\ \mathcal{O}& \text{黄金整数環 }=\mathbb{Z}[\phi ],{\mathcal{O}}^{\times }=\{\pm {\phi }^n\}\\ \varpi & \text{黄金素数（素元）}；\varpi =a+b\phi ,\mathfrak{p}=(\varpi )\text{（対応素イデアル）}\\ \overline{\varpi }& \text{共役黄金素数}；\overline{\varpi }=a+b\psi ,\overline{\mathfrak{p}}=(\overline{\varpi })\\ \text{作用素（定義のまとめ）}& (T_{\alpha }f)(x)=f(\alpha x),(Uf)(x)=f(\phi x),(Rf)(x)=f(-x),(M_{1/x}f)(x)=x^{-1}f(x)\\ D_{\infty }& ⟨u,r\mid r^2=1,rur=u^{-1}⟩\text{（無限二面体群）}\end{array}$

1. 序論

フルーリオ解析学第一論文は $\mathbb{R}\setminus 0$ における二点差分 $D_{\mathsf{F}}$ を軸に Fibonomial 構造を展開。第二論文は $(0,\infty )$ における反転を用いない二尺度 $D_{\Phi }$ を解析的に厳密化し、Mellin 記号・保存則・モーメント連鎖を与えた。本稿は両者を単一の代数的公理へ収斂させ、解析・組合せ・算術を横断する基盤を与える。

2. 二点導分の統一公理

2.1 パラメータ付き二点導分

特性 $0$ の可換 $k$-代数 $A$ に $D_{\infty }$-作用 ${\sigma }_u,{\sigma }_r\in {\mathrm{Aut}}_k(A)$ を与え、生成作用 $U,R$ を

$(Uf)(x)=f(\phi x),(Rf)(x)=f(-x)$

で表す。パラメータ $\alpha ,\beta \in k^{\times }$、$\epsilon \in \{0,1\}$ に対し

$\boxed{{\Delta }_{\alpha ,\beta ,\epsilon }=M_{1/x}(\alpha U-\beta R^{\epsilon }{U}^{-1})}$

と定める。代表例：

$D_{\Phi }={\Delta }_{{\phi }^{-1},\phi ,0},D_{\mathsf{F}}={\Delta }_{1/\sqrt{5},1/\sqrt{5},1}.$

2.2 一次積の分解公式

$\Delta =\underset{:={\Delta }^{(+)}}{\underbrace{M_{1/x}(\alpha U)}}-\underset{:={\Delta }^{(-)}}{\underbrace{M_{1/x}(\beta {\sigma }_{-})}},{\sigma }_{-}=\{\begin{array}{ll}{U}^{-1},& \epsilon =0\text{（Φ系）}\\ R{U}^{-1},& \epsilon =1\text{（F系）}\end{array}$

$\boxed{\Delta (fg)=\left({\Delta }^{(+)}f\right)(Ug)-\left({\sigma }_{-}f\right)\left({\Delta }^{(-)}g\right)}$

（$(fg)/x=(f/x)g=f(g/x)$ の直展開。）

3. 抽象フルーリオ代数 $\mathcal{F}(A)$

3.1 定義（交叉積への二点 Ore 拡大）

生成元 $M_a(a\in A)$、$U,R,\Delta$ と関係式

$\begin{array}{rl}& {\mathrm{Ad}}_U(M_a)=M_{{\sigma }_u(a)},{\mathrm{Ad}}_R(M_a)=M_{{\sigma }_r(a)},R^2=1,RUR=U^{-1},\\ & \Delta M_a-M_{{\sigma }_u(a)}\Delta =\tilde{\delta }(a),\end{array}$

ただし

$\boxed{\tilde{\delta }(a)=\beta R^{\epsilon }{U}^{-1}{M}_{\frac{{\sigma }_u(a)-{\sigma }_{-}(a)}{x}}\in A⋊k[D_{\infty }]}$

（ここで $x^{-1}\in A$ とする：例 $A=\mathbb{K}((x))$）。 この $\tilde{\delta }$ を $A⋊k[D_{\infty }]$ への「導分子」とみなす。

3.2 PBW 型標準形

仮定：${\sigma }_u,{\sigma }_r$ は自己同型、${\sigma }_u$ と ${\sigma }_{-}$ は可換、上記 $\tilde{\delta }$ による重複簡約が閉じる。

定理（PBW）：

$\mathcal{F}(A)\cong (A⋊k[D_{\infty }])\oplus (A⋊k[D_{\infty }])\Delta$

として $A$-自由。基底は $\{U^m{R}^{\epsilon },U^m{R}^{\epsilon }\Delta \}$。

証の概略：Bergman のダイヤモンド補題／Ore 延長条件で簡約の一意性を確保し、§4 の忠実表現により線形独立性を得る。

4. 具体モデルと交換関係

4.1 $\mathbb{K}((x))$ モデル

$(Uf)(x)=f(\phi x),(Rf)(x)=f(-x)$、$\Delta ={\Delta }_{\alpha ,\beta ,\epsilon }$。

補助関係：$R{M}_{1/x}=-M_{1/x}R$。

4.2 交換関係（Φ系）

$D_{\Phi }U=\phi U{D}_{\Phi },D_{\Phi }{U}^{-1}={\phi }^{-1}{U}^{-1}{D}_{\Phi },[x{\partial }_x,D_{\Phi }]=-D_{\Phi }.$

5. 解析表現（Mellin）

5.1 空間と変換

$H_{\sigma }=L^2((0,\infty ),x^{2\sigma -1}dx)$、$\mathcal{M}[f](s)={\int }_0^{\infty }f(x)x^{s-1}dx$。

5.2 一般 Mellin 記号（$\epsilon =0$）

$\boxed{\mathcal{M}[{\Delta }_{\alpha ,\beta ,0}f](s)=(\alpha {\phi }^{-s+1}-\beta {\phi }^{s-1})\mathcal{M}[f](s-1)}$

特に $D_{\Phi }$ では $\mathcal{M}[D_{\Phi }f](s)=({\phi }^{-s}-{\phi }^s)\mathcal{M}[f](s-1)$。

5.3 保存則とモーメント連鎖（Φ系）

${\int }_0^{\infty }{D}_{\Phi }f\frac{dx}{x}=0,\frac{d}{dt}{M}_s(t)=({\phi }^{-s}-{\phi }^s)M_{s-1}(t),M_s(t)={\int }_0^{\infty }{x}^{s}u(x,t)\frac{dx}{x}.$

6. 構造列と二系統の階乗・二項・指数

6.1 構造列

$\boxed{\Delta [x^n]=c_n{x}^{n-1}(n\ge 1),n{!}_{(c)}:=\prod _{k=1}^n{c}_k,{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)}_{(c)}:=\frac{n{!}_{(c)}}{k{!}_{(c)}(n-k){!}_{(c)}}.}$

6.2 Φ系の構造列と“二つの Φ-階乗”

$\boxed{D_{\Phi }[x^n]=S_{n-1}{x}^{n-1},S_m:={\phi }^m-{\phi }^{-m}}$

よって Φ系の構造列は $c_n=S_{n-1}$。

• 演算子級数用（規格化）：\ ${\widehat{n!}}_{\Phi }:={\prod }_{k=1}^n{S}_k$（$e^{t\Delta }$ の係数）。
• 関数級数用（固有方程式 $D_{\Phi }f=f$）：\ $n{!}_{\Phi }^{\mathrm{sca}}:={\prod }_{k=1}^{n-1}{S}_k$\footnote{規格化上の起点差により記号を分けるが、積の内容は ${\widehat{(n-1)!}}_{\Phi }$ と一致する。}。

縮退条件：$S_0=0$ のため、$f(x)={\sum }_{n\ge 0}{a}_n{x}^n$ が $D_{\Phi }f=f$ を満たすには $a_0=0$ が必要十分（$a_1$ は自由）。 このとき $a_n=\frac{a_1}{{\prod }_{k=1}^{n-1}{S}_k}$（$n\ge 2$）。

6.3 F系

$D_{\mathsf{F}}[x^n]=F_n{x}^{n-1},n{!}_F:={\prod }_{k=1}^n{F}_k,{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)}_F:=\frac{n{!}_F}{k{!}_F(n-k){!}_F}.$

7. 高階積

7.1 Φ系（主公式）

$\boxed{D_{\Phi }^n(fg)=\sum _{k=0}^n{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)}_{\Phi }\left(T_{\phi }^{n-k}{D}_{\Phi }^{k}f\right)\left(T_{{\phi }^{-1}}^k{D}_{\Phi }^{n-k}g\right)}$

ここで ${\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{\cdot }{\cdot }\right)}_{\Phi }$ は構造列 $c_n=S_{n-1}$ 由来。

7.2 一般 $\Delta$ の場合

$\Delta ={\Delta }^{(+)}-{\Delta }^{(-)},{\Delta }^{(+)}=M_{1/x}(\alpha U),{\Delta }^{(-)}=M_{1/x}(\beta {\sigma }_{-}).$

この分解を逐次用い、§2.2 の一次分解公式を各段で適用して反復展開する。

8. 算術（$\mathcal{O}((x))$ と付値）

8.1 付値の非減少性

命題：$\alpha ,\beta \in {\mathcal{O}}^{\times }$、$A=\mathcal{O}((x))$。黄金素数 $\varpi$ に関する付値 $v_{\varpi }$ に対し

$v_{\varpi }\left({\Delta }_{\alpha ,\beta ,\epsilon }f\right)\ge v_{\varpi }(f).$

略証：$U^{\pm 1},R$ は係数に黄金単元 $\pm {\phi }^n$ を掛けるのみ（付値不変）。差分は係数差、$M_{1/x}$ は係数付値に影響しない。

8.2 内容（content）

${\mathrm{cont}}_{\varpi }(\Delta f)\simeq {\mathrm{cont}}_{\varpi }(f)$（単元倍同値）。

8.3 共役黄金素数（簡記）

定義：$\overline{a+b\phi }=a+b\psi$ により共役を定め、$\overline{\varpi }=a+b\psi$ を共役黄金素数、$\overline{\mathfrak{p}}=(\overline{\varpi })$ を共役素イデアルとする。分解型は $p=5:{\mathfrak{p}}^2$、$p\equiv \pm 1(\mathrm{mod}5):\mathfrak{p}\overline{\mathfrak{p}}$、$p\equiv \pm 2(\mathrm{mod}5):$ inert。

付値との整合：任意の $f$ に対し

$v_{\overline{\mathfrak{p}}}(\Delta f)=v_{\mathfrak{p}}(\overline{\Delta f})=v_{\mathfrak{p}}(\Delta \overline{f})\ge v_{\mathfrak{p}}(\overline{f})=v_{\overline{\mathfrak{p}}}(f),$

すなわち共役側でも非減少性が成り立つ（$U,R,M_{1/x}$ は係数に単元を掛けるのみで付値不変）。

9. 例

$D_{\Phi }[x]=0,D_{\Phi }[x^2]=S_{1}x,D_{\Phi }[x^3]=S_2{x}^2,D_{\mathsf{F}}[x^n]=F_n{x}^{n-1}.$

結語

二点導分を ${\Delta }_{\alpha ,\beta ,\epsilon }=M_{1/x}(\alpha U-\beta R^{\epsilon }{U}^{-1})$ で統一し、F系と Φ系を同一の普遍代数 $\mathcal{F}(A)$ に収めた。解析面の Mellin 記号・保存則・モーメント連鎖を表現論として内在化し、構造列に基づく F/Φ 二系統の階乗・二項・指数を厳密に区別した。Ore 拡大の交換関係は $A⋊k[D_{\infty }]$ への $\tilde{\delta }$ で適切に表現され、PBW 形の基礎付けと整合する。算術面では付値非減少性・内容保持性が成立し、共役黄金素数についても同様の性質が従う。これにより、フルーリオ計算学の代数—解析—算術の基盤が完成する。

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