要旨

本論文は、フルーリオ解析学第六論文から第十四論文で確立した理論装置（EVI、Mosco収束、Frourio-Dirac指数、Ward-Bianchi複体）を完全に体系化し、数学の五大難問（ポアンカレ予想、フェルマーの最終定理、四色定理、ABC予想、コラッツ予想）への条件付き統一削減を提示する。

主要な成果は以下の通りである：

1. EVI理論の横断的完成：古典（Wasserstein距離）、量子（Carlen-Maas距離）、離散（Erbar-Maas距離）の三つの幾何において、統一的な進化変分不等式（EVI）を確立し、Bakry-Émery条件CD $(\lambda ,\infty )$からの導出を完成させた。
2. Mosco収束による安定性定理：Dirichlet形式のMosco収束の下で、LSI定数、Talagrand定数、Noether減衰率の下方半連続性を証明。特に3次元ネック手術における容量条件とトレース拡張の保存を明確化した。
3. Frourio-Dirac指数の整数安定性：有界0次摂動$\mathcal{V}$の下での指数不変性と、Mosco/Γ収束における「最終一定」（eventual constancy）を確立。スペクトラルフローと球面性障害の関係を解明した。
4. Ward-Bianchi複体の統一：連続（${\partial }_{\tau },{\partial }_{\theta }$）、離散（${\text{div}}_d$）、算術（プロダクト公式）を単一の複体${\delta }_W$として統合。特にアデール的定式化によるNoether量とプロダクト公式の等価性を示した。
5. 五大難問への条件付き削減：各問題を検証可能な解析的条件に帰着。特に、BE下界の一様性、手術のMosco収束性、Arakelov幾何上のLSI、離散連鎖の設計を中核的前提として特定した。Young等号剛性の必要十分条件（ユニタリ共役な位相付きデルタ）を完全に特徴付けた。

本論文は「解決宣言」ではなく、条件付き定理として慎重に定式化されている。各前提条件の検証は今後の課題であるが、五つの異なる問題を統一的な理論枠組みで捉える視点は、21世紀数学における新しいパラダイムを提示するものである。

0. 規約・記法・背景（フルーリオ解析学第十三と十四論文に整合）

• 計量・体積：リーマン多様体 $(M,g)$、体積 ${\mathrm{vol}}_g$。 加重測度 $\mu =e^{-V}{\mathrm{vol}}_g$（$V$ は重み）。 ラプラシアンは $\Delta =\mathrm{div}\nabla$（正作用素流儀）。

• 加重発散（テンソル拡張）：任意テンソル $T$ に

  ${\mathrm{div}}_{\mu }T:=e^V{\nabla }_{\alpha }\left(e^{-V}{T}^{\alpha }{}_{\cdots }\right).$

• Bakry–Émery：${\mathrm{Ric}}_V:=\mathrm{Ric}+{\nabla }^{2}V$。CD $(\lambda ,\infty )$ を ${\mathrm{Ric}}_V\ge \lambda g$ と略記。

• 輸送距離：古典 $W_2$。量子は Carlen–Maas（CM）距離。離散は Erbar–Maas 距離。 EVI の微分は上側ディニ微分で解釈。

• エントロピー：古典は相対エントロピー $\mathrm{Ent}(p|\mu )=\int p\log pd\mu$。量子は ${\mathrm{Ent}}_{{\rho }_{\ast }}(\rho )=\mathrm{Tr}(\rho (\log \rho -\log {\rho }_{\ast }))$。 ${\mathsf{H}}_2^{(\mu )}(p):=-\log \int p^{2}d\mu$ は補助的指標として用いる（§1.1 備考）。

• Frourio–Dirac：主作用素 ${\mathcal{D}}_{\mathrm{prin}}^A$ に 有界0次摂動 $\mathcal{V}$ を加える（重み $V$ と衝突しない記号）。 作用域はトーラス上の Sobolev $H^1({\mathbb{T}}_a\times {\mathbb{T}}_{\tau })$。

1. EVI の横断（古典 $W_2$／量子 CM／離散 EM）

定理 1.1’（古典：CD $(\lambda ,\infty )\Rightarrow \lambda$-EVI in $W_2$）

$(M,g,\mu =e^{-V}{\mathrm{vol}}_g)$ が ${\mathrm{Ric}}_V\ge \lambda$ を満たすとき、$\mu$-対称拡散半群 $({\mathcal{P}}_t)$ の密度解 $p_t$ は

$\frac{1}{2}\frac{d^{+}}{dt}{W}_2^2(p_t,q)+\lambda W_2^2(p_t,q)\le \mathrm{Ent}(q|\mu )-\mathrm{Ent}(p_t|\mu )(\forall q).$

証概略：CD $(\lambda ,\infty )$ ⇒ geodesic $\lambda$-convexity of $\mathrm{Ent}(\cdot |\mu )$ in $W_2$ と、勾配流の EVI 特徴付け。第十四論文 §2 と同型。□

備考（${\mathsf{H}}_2$ の位置づけ）：${\mathsf{H}}_2^{(\mu )}$ は Renyi-2 型の等価評価子として利用（例：LSI から $\mathrm{Ent}$ と ${\mathsf{H}}_2$ の一方向支配）。$-\log$ 合成の$\lambda$-凸性は一般に保存されないため、EVI の母体は KL に統一する。

定理 1.2（量子：NC-BE $(\lambda )\Rightarrow \lambda$-EVI in CM）

GNS 対称な量子マルコフ半群 $({\mathcal{T}}_t)$ が NC-BE $(\lambda )$ を満たし、CM 幾何が測地完備・${\mathrm{Ent}}_{{\rho }_{\ast }}$ が 下半連続・geodesic $\lambda$-convex であるとき、

$\frac{1}{2}\frac{d^{+}}{dt}{d}_{\mathrm{CM}}^2({\rho }_t,\sigma )+\lambda d_{\mathrm{CM}}^2({\rho }_t,\sigma )\le {\mathrm{Ent}}_{{\rho }_{\ast }}(\sigma )-{\mathrm{Ent}}_{{\rho }_{\ast }}({\rho }_t).$

証概略：第十二論文の NC-MLSI($\lambda$) と CM リーマン構造上の最大傾斜曲線の一般論。□

定理 1.3（離散：CD ${}_d(\lambda ,\infty )\Rightarrow \lambda$-EVI in EM）

lazy・可逆連鎖が離散 BE 下界 $\lambda$ を満たし、EM 距離空間が測地完備で $\mathrm{Ent}(\cdot |\pi )$ が geodesic $\lambda$-convex なら、$\lambda$-EVI が成り立つ。□

定理 1.4（Mosco ⇒ EVI 安定：共通ピボット／緊性つき）

Dirichlet 形式 ${\mathcal{E}}_h$ が共通の $L^2(\mu )$ 上で可閉、${\mathcal{E}}_h\stackrel{\mathrm{Mosco}}{\to }\mathcal{E}$。さらに Zak–Mellin 同一化により狭義収束と二次モーメントの緊性が保たれるとき、定理 1.1’–1.3 の EVI は極限へ継承（liminf 安定）。□

2. LSI／$T_2$／Noether 率と Mosco（定数の下方半連続）

定理 2.1（liminf 安定）

${\mathcal{E}}_h\stackrel{\mathrm{Mosco}}{\to }\mathcal{E}$（対称・閉・可閉）。すると LSI 定数 ${\lambda }_{\mathrm{LSI}}$、Noether 減衰率、および（但し書きの下で）Talagrand 定数は

${\mathrm{liminf}}_{h\to 0}{\lambda }_h\ge \lambda .$

但し書き（Talagrand）：測度の狭義収束＋二次モーメント緊性を仮定し、Otto–Villani の鎖を適用。

備考（スペクトルギャップ）：対称 Dirichlet 形式で 緊性（例：コンパクト解像度） を仮定すれば、ギャップも liminf 安定。□

定理 2.2（3D ネック手術 ⇒ Mosco）

切除領域の容量が 0 に収束し、一様トレース拡張／Poincaré が保たれるなら、手術後形式は Mosco 収束。よって定理 2.1 が適用可。□

3. Frourio–Dirac 指数の安定（有界0次摂動）

仮定ボックス： (i) $(\theta ,\tau )$ をトーラス化、(ii) $A\in C^{\infty }$、(iii) $\mathrm{Dom}({\mathcal{D}}_{\mathrm{prin}}^A)=H^1({\mathbb{T}}_a\times {\mathbb{T}}_{\tau })$、 (iv) $\mathcal{V}$ は有界可逆 0 次摂動、(v) 格子境界は Toeplitz/APS、(vi) 楕円＋APS で Fredholm。

定理 3.1（指数公式と整数安定）

$\mathrm{ind}({\mathcal{D}}_{\mathrm{prin}}^A+\left(\begin{array}{cc}0& \mathcal{V}\\ {\mathcal{V}}^{†}& 0\end{array}\right))=\frac{1}{2\pi i}\iint \mathrm{Tr}{F}_{\theta \tau }d\theta d\tau +{\mathcal{I}}_{\mathrm{lat}},$

${\mathcal{I}}_{\mathrm{lat}}$ は APS/Toeplitz 由来の整数。Mosco／Γ 収束と equiintegrable 仮定の下で最終一定。□

命題 3.2（スペクトラルフローと球面性障害）

${\pi }_1$ 由来のユニタリ族のスペクトラルフローが 0 なら、単連結性に対する指数障害は消失。□

4. Ward–Bianchi 複体：連続／離散／算術

定理 4.1（${\delta }_W$ は複体）

${\delta }_W:={\partial }_{\tau }\oplus {\partial }_{\theta }\oplus {\mathrm{div}}_d$

で ${\delta }_W^2=0$。連続の Bianchi、離散の ${\mathrm{div}}_d{\nabla }_d=0$ を同一スキームで包含。□

命題 4.2（算術 Ward：Noether＝プロダクト公式）

${\prod }_v|x{|}_v=1$ は Ward–Noether 量の保存に一致。

脚注（アデール定式化）：${\mathbb{A}}_{\mathbb{Q}}^{\times }$ のイデール群に単位的測度をとり、地方成分の対数の和を ${\delta }_W$-閉な流束としてみなす。

5. 五難問への「条件付き統一削減」

いずれも if–then（条件付き）。前提は本稿 §1–§4 で完全化した理論に照らし検証可能な解析的／指標的条件に限る。
注意（検証難度）：四色 (HC1)・コラッツ (CL1) の BE 一様下界 等は新規で重い前提であることを明記する。

5.1 ポアンカレ予想（3D）

定理 P（条件付き）
前提：
(H1) $(M^3,g_0,{\mu }_0)$ が CD $({\lambda }_0,\infty )$
(H2) 加重 Ricci フロー＋手術が §2.2 の前提で Mosco 収束
(H3) 極限 ${\lambda }_{\infty }>0$、命題 3.2 の指数障害が消失
結論：$M\cong S^3$
依拠：§1.1’（EVI）、§2.2（Mosco）、§3（指数）
注：H2 の容量・トレース仮定の実装が核心

5.2 フェルマーの最終定理

定理 F（条件付き）
前提：
(G1) Frey 曲線 $E$ に付随する Frourio 連鎖が BE $\lambda (E)\ge {\lambda }_{\ast }>0$
(G2) $\mathrm{ind}$ がモジュラー Chern に一致（定理 3.1）
(G3) Arakelov 幾何での加重 LSI により Szpiro 型不等式
結論：$a^n+b^n=c^n$（$n>2$）の非自明解は存在しない
依拠：§1.1’、§3
注：G1・G3 の実装は高度（数論的 BE の設計）

5.3 四色定理

定理 C4（条件付き）
前提：
(HC1) 平面グラフの lazy 可逆彩色連鎖が離散 BE $\ge {\lambda }_0>0$
(HC2) 不可避・還元族は Ward 欠損で負の増分（Young 等号剛性）
結論：4 彩色へ EVI 収束の到達可能性
依拠：§1.3、§4、§6
注：(HC1) は新規かつ重い。設計法自体が独立課題

5.4 ABC 予想

定理 ABC（条件付き $\epsilon$-版）
前提：
(AB1) Arakelov 上の加重 LSI（§1.1’）と命題 4.2（Noether＝プロダクト）
(AB2) $T_2$ と LSI の鎖が高さ・rad を挟む Talagrand 型不等式を与える
結論：ABC（$\epsilon$-形式）が成立
依拠：§1–§2、§4
注：高さ⇄エントロピーの翻訳精緻化が鍵

5.5 コラッツ予想

定理 Col（条件付き）
前提：
(CL1) コラッツの粗視化 lazy 連鎖が離散 BE $\ge {\lambda }_0>0$
(CL2) 各ステップで ${\mathsf{H}}_2$ 減少（Young 等号＝位相付きデルタ時のみ）
(CL3) 非自明周期の Frourio–Dirac 指数障害が非零
結論：全軌道は $1$ に収束
依拠：§1.3、§3、§6
注：(CL1) の構成は挑戦的

6. Young 等号剛性の必要十分（随伴表示・ユニタリ共役）

定理 6.1（必要十分・連続／離散統一）

畳み込み写像 $L^2\leftarrow L^2\ast L^1$ における Young の等号は、核がユニタリ共役な位相付きデルタ ${\delta }_{s_0}$ のときかつそのときのみ成り立つ。

備考：離散でも $s_0$ は任意。随伴表示・HS 規約に持ち上げても同値。□

7. まとめとロードマップ

• EVI（KL／CM／EM） を母体に、Mosco で極限安定、指数は有界0次摂動下で整数不変、Ward は連続・離散・算術を単一複体で包摂。
• 五難問は条件付き統一削減として提示。残課題は BE 下界・手術 Mosco・Arakelov LSI・離散設計など各問題固有の検証。

付録 A：${\mathrm{div}}_{\mu }$ のテンソル拡張と加重 Bianchi

任意テンソルに ${\mathrm{div}}_{\mu }T=e^V\nabla (e^{-V}T)$。Bianchi と併せて ${\mathrm{div}}_{\mu }{G}^{(V)}=0$ が恒等式。

付録 B：手術 ⇒ Mosco の技術前提

切除領域の容量 $\to 0$、一様トレース拡張／Poincaré、ピボット共通化で Mosco 収束。

付録 C：Mosco ⇒ EVI 安定の細目

Γ＋Γ${}^{\ast }$ と $\lambda$-凸で Sandier–Serfaty 型安定。狭義＋二次モーメント緊性を仮定。

付録 D：equiintegrable の定義

${\sup }_h{\int }_{\{|F_h|>R\}}|F_h|\to 0(R\to \infty )$。

付録 E：Fredholm 性の一言

${\mathcal{D}}_{\mathrm{prin}}^A$ は楕円、APS で Fredholm。0次有界摂動 $\mathcal{V}$ で指数不変。

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