要旨

四本柱

(A) 保存＝加重 Bianchi 恒等式
(B) 曲率下界 ⇒ MLSI ⇒ EVI（古典 $W_2$／量子 Carlen–Maas 距離）
(C) 物質＝Frourio–Dirac 指数（有界摂動下で不変）
(D) Γ/ Mosco 収束による“定数の飛びなし”

を定理として固定し、6 つのミレニアム問題を条件付きで統一削減する。 本稿は解決宣言ではなく、可検証仮定が満たされれば直ちに定理として結論化する最小十分条件の列挙である。

0. 規約・記法・前提

• 背景幾何と測度：リーマン多様体 $(M,g)$、重み関数 $V\in C^2(M)$、加重測度 $d\mu =e^{-V}d{\mathrm{vol}}_g$。 境界条件: $M$ は閉、あるいは無限遠での十分減衰により境界項は消失。

• ラプラシアンの符号：$\Delta =\mathrm{div}\nabla$（リーマンの正の符号規約。ユークリッドで $\Delta ={\sum }_i{\partial }_i^2$）。

  備考: 物理流儀ではポアソンは $-\Delta \varphi =4\pi G\rho$。

• 加重発散のテンソル拡張：階数 $(1,k)$ テンソル $T^{\alpha }{}_{{\beta }_1\cdots {\beta }_k}$ に

  $\boxed{{\mathrm{div}}_{\mu }T{}_{{\beta }_1\cdots {\beta }_k}:=e^V{\nabla }_{\alpha }\left(e^{-V}{T}^{\alpha }{}_{{\beta }_1\cdots {\beta }_k}\right)}.$

  以下、保存式は常に ${\mathrm{div}}_{\mu }$ で記す。

• Frourio チャネル：$\mathcal{T}=M_m\circ C_{\nu }$（決定部 $M_m$、混合部 $C_{\nu }$）。行列値・随伴表示・Zak–Mellin 離散化・ゲージ化は第六から第十二論文に同じ。

• Γ/ Moscoの語彙：Dirichlet 形式列 ${\mathcal{E}}_h$ が Mosco（= Γ と Γ* の両方向）収束。 equiintegrable は付録 D（定義の再掲）参照。

1. 加重 Bianchi＝保存（テンソル版の恒等式）

定義 1.1（加重 Einstein）

$G^{(V)}:=\mathrm{Ric}+{\nabla }^{2}V-\frac{1}{2}(R+2\Delta V-|\nabla V{|}^2)g.$

定理 1.2（恒等式）

$\boxed{{\mathrm{div}}_{\mu }{G}^{(V)}=0}.$

証概略: 縮約 Bianchi と ${\mathrm{div}}_{\mu }$ 定義を用いて ${\nabla }^{2}V,\Delta V,|\nabla V{|}^2$ の寄与が打消し合う（第十三論文の計算をテンソルに延長）。□

帰結 1.3（応力保存の正規形）

全応力 $T=T^{\mathrm{YM}}+T^{\mathrm{Dir}}+T^{\mathrm{F}}+\cdots$ は

$\boxed{{\mathrm{div}}_{\mu }T=0}$

で表すのが正規形（以降この形で統一）。

2. NC-BE ⇒ MLSI ⇒ EVI（古典 $W_2$／量子 Carlen–Maas 距離）

枠組 2.1（母体距離）

• 古典（可換）：ベナムー–ブレニエの $W_2$。
• 量子（非可換）：Carlen–Maas（CM） の量子 2-Wasserstein 幾何（GNS 対称・詳細釣合い下で定義されるリーマン構造）。以下「CM-距離」と略す。

前提 2.2（GNS 対称・詳細釣合い）

完全正トレース保存半群 $({\mathcal{P}}_t{)}_{t\ge 0}$、不変状態 ${\rho }_{\ast }$。GNS 内積で可逆（詳細釣合い）。導来族 ${\delta }_j$ から carré-du-champ ${\Gamma }^A,{\Gamma }_2^A$ を構成（第十二論文）。

定理 2.3（NC-BE ⇒ MLSI ⇒ EVI）

${\Gamma }_2^A⪰\lambda {\Gamma }^A(\lambda >0)⟹\{\begin{array}{l}{\mathrm{Ent}}_{{\rho }_{\ast }}({\rho }_t)\le e^{-2\lambda t}{\mathrm{Ent}}_{{\rho }_{\ast }}({\rho }_0),\\ \text{（古典 W2／量子 CM-距離）で λ-EVI 勾配流が一意・指数収束.}\end{array}$

補足 2.4（Noether 減衰） 任意の生成子 $X$：$\boxed{|Q_X(t)|\le e^{-\lambda t}|Q_X(0)|}$。□

3. Frourio–Dirac 指数：有界摂動の記号衝突回避と離散境界

仮定（最小セット）
(i) $\theta ,\tau$ はトーラスに周期化（${\mathbb{T}}_a\times {\mathbb{T}}_{\tau }$）
(ii) 接続 $A\in C^{\infty }$、$\mathrm{Dom}({\mathcal{D}}_{\mathrm{prin}})=H^1({\mathbb{T}}_a\times {\mathbb{T}}_{\tau };{\mathbb{C}}^2\otimes {\mathbb{C}}^d)$
(iii) Frourio 摂動は $\mathcal{V}$ と表記（“重み $V$”と衝突回避）、$\mathcal{V}$ は有界可逆（第十二論文）
(iv) 格子境界は Toeplitz/APS 型条件

3.1（主 Dirac＋Frourio 摂動）

${\mathcal{D}}_{\mathrm{prin}}=\left(\begin{array}{cc}0& D_{\tau }+i{D}_{\theta }\\ D_{\tau }-i{D}_{\theta }& 0\end{array}\right),\boxed{{\mathcal{D}}_F={\mathcal{D}}_{\mathrm{prin}}+\left(\begin{array}{cc}0& \mathcal{V}\\ {\mathcal{V}}^{†}& 0\end{array}\right)}.$

定理 3.2（指数のトポロジー表示）

$\boxed{\mathrm{ind}{\mathcal{D}}_F=\frac{1}{2\pi i}{\iint }_{{\mathbb{T}}_a\times {\mathbb{T}}_{\tau }}\mathrm{Tr}{F}_{\theta \tau }d\theta d\tau +{\mathcal{I}}_{\mathrm{lat}}},$

${\mathcal{I}}_{\mathrm{lat}}$ は Toeplitz/APS 由来の離散 winding 整数。$\mathcal{V}$ は有界摂動につき指数は不変。□

定理 3.3（Γ/Mosco と“整数の飛びなし”）

Zak–Mellin 離散化 $h\to 0$ で $F_h\to F$ が $L^1$-弱収束かつ一様可積分（定義は付録 D）なら、指数・Chern・winding は最終的に一定。□

4. 非可換 Young の必要十分等号剛性（離散注釈を修正）

前提 4.1（作用空間と核）

$\mathcal{T}=M_m\circ C_{\nu }$ は $L^2\to L^2$ 有界。核 $\nu$ は複素行列値有限測度（全変動 $\Vert \nu {\Vert }_{TV}\le 1$）、随伴表示で作用。内積は HS/Tr 規約（第十から第十二論文）。

定理 4.2

次は同値：

(1) $\Vert f\ast \nu {\Vert }_2=\Vert f{\Vert }_2\Vert \nu {\Vert }_{TV}$ が全 $f\in L^2$ に対し成立。

(2) $\nu$ はユニタリ共役な位相付きデルタ（随伴表示で可換）：

$\boxed{\nu =U(e^{i\varphi }{\delta }_{s_0})U^{†}},$

ここで $s_0$ は連続でも離散でも任意の平行移動。

系: 交差項は Young により二次吸収、主二次形式（Fisher/凸性）は正定。□

5. Γ/Mosco 収束と“定数安定”（スペクトルギャップの但し書き）

定理 5.1（liminf と回復列）

Dirichlet 形式列 ${\mathcal{E}}_h$ が Mosco 収束するとき、

• (liminf) LSI 定数／Talagrand 定数／Noether 減衰率／（※）スペクトルギャップは下方半連続、
• (recovery) 任意の連続曲線に対し離散回復列が存在、
• (integers) 3.3 の条件下で整数不変量は最終一定。

（※）但し書き：スペクトルギャップについては、対称 Dirichlet 形式で、たとえばコンパクト解像度等の緊性仮定の下で主張する。□

6. 結合定数の無次元化（統一スケーリング）

補題 6.1（規格化）

全セクターで CD$(\lambda ,\infty )$ 下界が同一定数なら、再スケール $A\mapsto g_{\mathrm{eff}}A,\psi \mapsto y_{\mathrm{eff}}^{-1/2}\psi$ 等で有効結合を 1 に正規化できる（第十三論文と整合）。

脚注（例式）: ${\mathcal{L}}_{\mathrm{YM}}=\frac{1}{4g^2}⟨F,F⟩$ を $A\mapsto gA$ で $\frac{1}{4}⟨F,F⟩$ に、 ${\mathcal{L}}_{\mathrm{Dir}}=y\bar{\psi }/D\psi$ を $\psi \mapsto y^{-1/2}\psi$ で $\bar{\psi }/D\psi$ に規格化。

7. ミレニアム問題への条件付き統一削減（三段箱：前提／結論／依拠）

いずれも 条件付き命題/定理。依拠は本稿 2–5 節および第六から第十三論文。

7.1 リーマン予想（RH）

脚注（最低限の定義）：$\lambda (\sigma )$ は $\zeta$-Frourio チャネル ${\mathcal{T}}_{\sigma }$ 上の BE 曲率定数（VIII–IX のチャネル構成に同じ）。

命題（条件付き） RH
前提：$\forall \epsilon >0:{\sup }_{|\sigma -1/2|\ge \epsilon }\lambda (\sigma )=0$
結論：非自明零点は $\Re s=\frac{1}{2}$ 上に限る
依拠：2.3（EVI）, 4.2（等号剛性）, 5.1（Mosco）
橋渡し: オフ臨界での等号破れ ⇒ $\lambda \downarrow 0$

7.2 P vs NP

脚注（遷移確率の 1 行）：lazy 可逆 Metropolis

$P(x\to y)=\frac{1}{2}{1}_{x=y}+\frac{1}{2n}{\sum }_{i=1}^n{1}_{y=x^{(i)}}\min \{1,\frac{\pi (y)}{\pi (x)}\},\pi \propto e^{-\beta E},$

$x^{(i)}$ はビット $i$ 反転、$\beta$ は温度、詳細釣合い成立。

定理（条件付き） PNP-1
前提：上連鎖の BE 定数に入力長一様下界 ${\lambda }_0>0$
結論：混合時間 $t_{\mathrm{m}ix}(\epsilon )\le n^c\log (1/\epsilon )$（多項式混合）
依拠：2.3（MLSI⇔$T_2$⇔EVI）, 5.1

命題（条件付き） PNP-2
前提：NP 完全族で Frourio–Ward 欠損により $\lambda (n)\to 0$ を系統的に構成
結論：$P\ne NP$（多項式混合の破綻）
依拠：4.2, 5.1

7.3 Hodge 予想

命題（条件付き） Hodge
前提：Kähler 射影多様体 $X$ と $(p,p)$-クラス $\alpha$ に対し、Frourio–Dirac 指数 $\mathrm{ind}{\mathcal{D}}_F(\alpha )=⟨\mathrm{ch}({\mathcal{E}}_{\alpha })⌣\mathrm{Td}(TX),[X]⟩$ が Mosco で最終一定、 かつ $(p,p)$-核が解析的に実現可能
結論：$\alpha$ は代数サイクルの $\mathbb{Q}$-線形結合で実現
依拠：3.2–3.3, 5.1

7.4 Yang–Mills（4D）質量ギャップ

命題（条件付き） YM
前提：4D YM 熱核半群に ${\Gamma }_2^A⪰\lambda {\Gamma }^A$（一様 $\lambda >0$）
結論：物理ハミルトニアンに $\mathrm{Gap}\ge \lambda$
依拠：2.3（MLSI→EVI→指数収束）, 5.1
注: 反射陽性・OS 再構成との整合は別途確認を要する

7.5 Navier–Stokes（3D）存在・滑らかさ

ミニ定義：臨界 Besov/エネルギー尺度 ${\mathcal{H}}_c$ 上で、時刻 $t$ の有効 Dirichlet 形式
${\mathcal{E}}_t(f)=\int ⟨A_t\nabla f,\nabla f⟩d{\mu }_t$（$A_t$：粘性＋Leray 演算の効果、${\mu }_t$：状態の推移測度）をとり、

${\lambda }_{\ast }(t):={\inf }_{f\ne 0}\frac{{\Gamma }_{2,t}(f)}{{\Gamma }_t(f)}$

をその BE 定数とする。

定理（条件付き） NS-+
前提：${\int }_0^{\infty }{\lambda }_{\ast }(t)dt=\infty$
結論：古典解は大域正則
依拠：2.3 の EVI 連鎖を時間積分

命題（条件付き） NS--
前提：曲率消失鎖 + 超臨界フラックス + Ward 欠損が同時成立
結論：有限時刻特異
依拠：4.2, 5.1

7.6 Birch–Swinnerton–Dyer（BSD）

命題（条件付き） BSD
前提：楕円曲線 $E/\mathbb{Q}$ に対し、Frourio–Dirac 指数が $\mathrm{rank}E(\mathbb{Q})$ と一致し、 Frourio 勾配流の $\lambda$-凸性から ${\mathrm{ord}}_{s=1}L(E,s)$ を同値に読める（Mordell–Weil への適用可能性仮定）
結論：BSD 等式成立
依拠：2.3, 3.2–3.3, 5.1

8. 結語（実務的まとめ）

保存＝${\mathrm{div}}_{\mu }$、散逸＝NC-BE→MLSI→EVI（古典 $W_2$／量子 CM）、 物質＝指数（主 Dirac＋有界摂動 $\mathcal{V}$）、安定＝Γ/Mosco（定数の飛びなし）――四本柱は定理化された。
残る課題は各対象での曲率評価とWard 欠損の系統構成であり、第六から第十三論文の装置で段階的に検証可能である。

付録 A：加重 Bianchi の一行計算

${\mathrm{div}}_{\mu }T{}_{\beta \cdots }={\nabla }_{\alpha }{T}^{\alpha }{}_{\beta \cdots }-{\nabla }_{\alpha }V{T}^{\alpha }{}_{\beta \cdots }$。 $G^{(V)}$ を代入し、${\nabla }^{\alpha }(\mathrm{Ric}-\frac{1}{2}Rg{)}_{\alpha \beta }=0$、 ${\nabla }_{\alpha }({\nabla }^{2}V{)}^{\alpha }{}_{\beta }={\nabla }_{\beta }\Delta V+{\mathrm{Ric}}_{\beta \gamma }{\nabla }^{\gamma }V$、 ${\nabla }_{\beta }(|\nabla V{|}^2)=2{\nabla }_{\beta \gamma }^{2}V{\nabla }^{\gamma }V$ を用い ${\mathrm{div}}_{\mu }{G}^{(V)}=0$。□

付録 B：NC-BE⇒MLSI と EVI（母体距離つき骨格）

DB の下で $\dot{\mathrm{Ent}}\le -2\lambda \mathrm{Ent}$。
古典は $W_2$–$T_2$–LSI、量子は CM-距離版 $T_2$–MLSI の鎖から $\lambda$-EVI を得る。
Noether 量は $\dot{Q}=-{\mathcal{E}}_X,{\mathcal{E}}_X\ge \lambda {\mathcal{Q}}_X$ と Grönwall で指数減衰。□

付録 C：非可換 Young の等号分類（必要十分）

随伴表示の畳み込み作用で、$\Vert f\ast \nu {\Vert }_2=\Vert f{\Vert }_2\Vert \nu {\Vert }_{TV}$ の等号 ⇔ $\nu$ がユニタリ共役な位相付きデルタ $U(e^{i\varphi }{\delta }_{s_0})U^{†}$（離散でも $s_0$ 任意）。 HS/Tr 規約の Cauchy–Schwarz 等号条件で分類。□

付録 D：Γ/Mosco と整数安定（equiintegrable の定義）

Mosco（= Γ+Γ*）の下で LSI・Talagrand・Noether 率は liminf、回復列は Zak–Mellin で構成。
equiintegrable：${\sup }_h{\int }_{\{|F_h|>R\}}|F_h|\to 0(R\to \infty )$。
このとき Chern／指数は最終一定（3.3）。□

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