要旨

本稿は、Doob 変換下の Bakry–Émery 曲率伝播、EVI（evolution variational inequality）の母体距離の統一（古典：KL×$W_2$／量子：Carlen–Maas×相対エントロピー／離散：Erbar–Maas×相対エントロピー）、Young 等号剛性、Dirac 指数の 0 次有界摂動不変性、Mosco（=Γ+Γ*）収束下での LSI/T${}_2$/Noether 率の liminf 安定を純粋数学として確立する。

0. 規約・記法

• 幾何と測度：リーマン多様体 $(M,g)$、体積 $\mathrm{vol}\_g$、ラプラシアンは

  $\Delta ={\mathrm{div}}_g\nabla (\text{非負の作用素}).$

  加重測度 $\mu =e^{-V},\mathrm{vol}\_g$（$V\in C^2$）。ベクトル場 $X$ の加重発散

  ${\mathrm{div}}_{\mu }X:=e^V,{\mathrm{div}}_g\left(e^{-V}X\right).$

  $(1,1)$–テンソル $T$ の発散は

  $({\mathrm{div}}_{\mu }T{)}_{\nu }:=e^V{\nabla }_{\mu }(e^{-V}{T}^{\mu }{}_{\nu }).$

• Bakry–Émery 曲率：$\mathrm{Ric}\_V:=\mathrm{Ric}\_g+{\nabla }^{2}V$。$\mathrm{Ric}\_V\ge \lambda g$ を CD $(\lambda ,\infty )$ と書く（Loewner 順序）。

• エントロピーと距離：古典の相対エントロピー $\mathrm{Ent}\_\mu (\rho )=\int \rho \log \rho d\mu$、Wasserstein $W\_2$。量子は密度行列 $\varrho$、基準 $\sigma$ に対し $\mathrm{Ent}(\varrho |\sigma )$ と Carlen–Maas 距離 $W\_2^{\mathrm{CM}}$。離散は Erbar–Maas 距離 $W\_2^{\mathrm{EM}}$。

• Dirichlet 形式：共通ピボット $L^2(\mu )$ 上で可閉な対称形式 $\mathcal{E}$。

• Frourio 作用（BV 版）：

  ${\mathcal{S}}_{\mathrm{BV}}(u_{\cdot })={\mathrm{Var}}_{[0,1]}(\alpha {\mathrm{Ent}}_{\mu }(u_t)+\beta {\mathrm{W}}_{\delta }(u_t)+\gamma \mathcal{D}(u_t)),$

  ここで $\mathrm{W}\_\delta$ は滑らか指示の極限で BV 的に運用。

• EVI の微分：$\frac{d}{dt}$ は上側ディニ微分 $d^{+}/dt$ を用いる（距離空間の勾配流標準）。

1. 加重 Bianchi と Doob 変換

定理 1.1（加重 Bianchi：テンソル版）

$G^{(V)}:={\mathrm{Ric}}_V-\frac{1}{2}(R+2\Delta V-|\nabla V{|}^2)g\Rightarrow \boxed{{\mathrm{div}}_{\mu }{G}^{(V)}=0}.$

証略：古典 Bianchi と $\nabla (e^{-V})=-e^{-V}\nabla V$ の代入。境界は閉多様体または無限遠減衰を仮定。$\square$

定理 1.2（Doob 変換下の曲率伝播：Loewner 形式）

$h>0$ 滑らかとし、Doob 変換 $L^h:=h^{-1}Lh$、基準測度 $\mu \_h=h^2\mu$。

等式

$\boxed{{\mathrm{Ric}}_{V-2\log h}={\mathrm{Ric}}_V-2{\nabla }^2(\log h)}.$

ゆえに ${\nabla }^2\log h⪯\epsilon g$ なら $\mathrm{CD}(\lambda -2\epsilon ,\infty )$ が $\mu \_h$ に関して成り立つ。$\square$

2. EVI（古典／量子／離散の母体統一）

定理 2.1（古典：CD $(\lambda ,\infty )\Rightarrow$ KL×$W_2$–EVI）

$\mu$–対称拡散 $L$ が CD $(\lambda ,\infty )$。Fokker–Planck ${\partial }_t{p}_t=L^{\ast }{p}_t$ の解で $\int p_{t}d\mu =1$ とする。任意の確率密度 $q$ に対し

$\boxed{\frac{1}{2}\frac{d^{+}}{dt}{W}_2^2(p_t,q)+\lambda W_2^2(p_t,q)\le {\mathrm{Ent}}_{\mu }(q)-{\mathrm{Ent}}_{\mu }(p_t)}.$

証略：Ent の geodesic $\lambda$–凸性と JKO/EVI 論法。$\square$

定理 2.2（量子：NC-BE $(\lambda )\Rightarrow$ CM×相対エントロピー–EVI）

GNS 対称 CP 半群生成子 $\mathcal{L}$ が NC-BE $(\lambda )$ を満たし、CM 幾何が測地完備で $\mathrm{Ent}(\cdot |\sigma )$ が下半連続・測地 $\lambda$–凸とする。${\dot{\varrho }}_t=\mathcal{L}({\varrho }_t)$ に対し、任意の $\omega$ で

$\boxed{\frac{1}{2}\frac{d^{+}}{dt}(W_2^{\mathrm{CM}}({\varrho }_t,\omega ){)}^2+\lambda (W_2^{\mathrm{CM}}({\varrho }_t,\omega ){)}^2\le \mathrm{Ent}(\omega \Vert \sigma )-\mathrm{Ent}({\varrho }_t\Vert \sigma )}.\square$

定理 2.3（離散：可逆連鎖の EM×相対エントロピー–EVI）

可逆・既約（有限または局所有界）マルコフ連鎖で BE $(\lambda )$。EM 距離 $W_2^{\mathrm{EM}}$ と相対エントロピーに対し定理 2.1 と同型の EVI が成り立つ。（既約で、状態空間が有限 もしくは 遷移率が局所有界であると仮定する。）$\square$

3. 収縮・同期・BV 作用の距離下界

定理 3.1（$W_2$ 収縮）

定理 2.1 の条件下で同一生成子 $L$ の二解 $p_t,q_t$ は

$\frac{d^{+}}{dt}\frac{1}{2}{W}_2^2(p_t,q_t)\le -\lambda W_2^2(p_t,q_t)\Rightarrow W_2(p_t,q_t)\le e^{-\lambda t}{W}_2(p_0,q_0).$

証略：両辺に EVI を適用し加える。$\square$

定理 3.2（整合同期の単調性）

弱結合

$\dot{p}=\mathcal{L}p-\eta {\nabla }^{W_2}{\mathrm{Ent}}_{\mu }(p\Vert \frac{p+q}{2}),\dot{q}=\mathcal{L}q-\eta {\nabla }^{W_2}{\mathrm{Ent}}_{\mu }(q\Vert \frac{p+q}{2})$

（$\eta \ge 0$、同一 $\mathcal{L}$）では、$\mathcal{A}(t)=-{\mathrm{Ent}}_{\mu }(p_t|q_t)$ は単調非減少、$W_2(p_t,q_t)$ は指数減衰。

証略：EVI を $p$・$q$ に適用し加算、相対エントロピーの共凸性を用いる。$\square$

定理 3.3（BV 作用の距離下界）

可閉勾配流 $u_t$ に対し

$|{\mathrm{Ent}}_{\mu }(u_1)-{\mathrm{Ent}}_{\mu }(u_0)|\le \sqrt{2}({\int }_0^1\Vert {\partial }_t{u}_t{\Vert }_{T_{u_t}}^{2}dt{)}^{1/2}\le C{\mathcal{S}}_{\mathrm{BV}}(u_{\cdot }{)}^{1/2}.$

特に $W_2(u_0,u_1{)}^2\le C^{\prime }{\mathcal{S}}_{\mathrm{BV}}(u_{\cdot })$。定数 $C,C^{\prime }$ は基準測度、時間窓、空間次元等に依存。$\square$

4. Young 不等式と等号剛性（可換／離散）

$(\mathbb{R},+)$ あるいは $(\mathbb{Z},+)$ 上、$f\in L^2$、有限全変動測度 $\nu$ に対し

$\boxed{\Vert f\ast \nu {\Vert }_2\le \Vert f{\Vert }_2\Vert \nu {\Vert }_{\mathrm{TV}}}.$

定理 4.2（等号剛性：必要十分）

等号が成り立つのは

$\boxed{\nu =e^{i\varphi }{\delta }_{s_0}(\varphi \in \mathbb{R},s_0\in \mathbb{R}\text{または}\mathbb{Z})}$

のみ（$f$ の $L^2$ 位相不変性・ユニタリ共役まで）。離散でも $s_0$ は任意。

証略：プランシェレルと Cauchy–Schwarz 等号の特徴付け（フーリエ側位相一定・支持一点）。$\square$

5. Mosco（=Γ+Γ*）収束と定数の liminf 安定

$L^2(\mu )$ を共通ピボットに、対称可閉 Dirichlet 形式 ${\mathcal{E}}_h\stackrel{M}{\to }\mathcal{E}$（Mosco）。Zak–Mellin による同一化を仮定し、狭義収束と二次モーメントの緊性が保たれるとする。

定理 5.1（LSI/$T_2$/Noether 率の liminf）

$\mathrm{const}(\mathcal{E})\le {\mathrm{liminf}}_{h\to 0}\mathrm{const}({\mathcal{E}}_h),$

ここで $\mathrm{const}$ は LSI 定数、Talagrand $T_2$ 定数（狭義＋二次モーメント緊性が必要）、Noether 減衰率のいずれでもよい。$\square$

命題 5.2（スペクトルギャップの但し書き）

スペクトルギャップ定数の liminf には緊性（例：コンパクト解像度、相対コンパクト埋め込み）が追加で必要。$\square$

命題 5.3（穿孔極限の Mosco）

領域から容量 $\to 0$ の集合を切除し、一様トレース拡張／Poincaré を仮定すると Mosco 収束が成立。$\square$

6. Dirac 指数：0 次有界摂動の不変性

2D トーラス ${\mathbb{T}}^2$、滑らかな接続 $A$。主 Dirac

${\mathcal{D}}_{\mathrm{prin}}^A=\left(\begin{array}{cc}0& D_{\tau }+i{D}_{\theta }\\ D_{\tau }-i{D}_{\theta }& 0\end{array}\right),\mathrm{Dom}=H^1({\mathbb{T}}^2;{\mathbb{C}}^2\otimes {\mathbb{C}}^d).$

有界可逆 0 次摂動 $\mathcal{V}$ に対し

${\mathcal{D}}_F^A={\mathcal{D}}_{\mathrm{prin}}^A+\left(\begin{array}{cc}0& \mathcal{V}\\ {\mathcal{V}}^{†}& 0\end{array}\right).$

APS/Toeplitz 境界で Fredholm と仮定する。

定理 6.1（指数の有界摂動不変性）

$\boxed{\mathrm{ind}{\mathcal{D}}_F^A=\frac{1}{2\pi i}{\int }_{{\mathbb{T}}^2}\mathrm{Tr}{F}_{\theta \tau }d\theta d\tau +{\mathcal{I}}_{\mathrm{lat}}},$

指数は $\mathcal{V}$ に不変（境界補正 ${\mathcal{I}}_{\mathrm{lat}}\in \mathbb{Z}$）。$\square$

7. 量子設定の不変性

命題 7.1（ユニタリ不変性）

${\mathcal{L}}^{\prime }=\mathrm{Ad}(U)\circ \mathcal{L}\circ \mathrm{Ad}(U{)}^{-1},{\sigma }^{\prime }=\mathrm{Ad}(U)\sigma$ に対し NC-BE $(\lambda )$、MLSI $(\lambda )$、EVI は保存。$\square$

命題 7.2（テンソライズ）

$\mathcal{L}={\mathcal{L}}_1\otimes \mathrm{id}+\mathrm{id}\otimes {\mathcal{L}}_2$、$\sigma ={\sigma }_1\otimes {\sigma }_2$ なら定数は $\min ({\lambda }_1,{\lambda }_2)$ に下方制御。$\square$

付録 A：加重 Bianchi の計算と境界条件

閉多様体または無限遠減衰のもと、$e^V{\nabla }_{\mu }\left(e^{-V}{G}^{(V)\mu }{}_{\nu }\right)$ を展開して 0 を得る。

付録 B：EVI の微分学

距離空間での勾配流の EVI 設定、$d^{+}/dt$ の扱い、古典 $W_2$ と量子 CM、離散 EM への適用。

付録 C：Young 等号のフーリエ証明

$\widehat{f\ast \nu }=\hat{f}\cdot \hat{\nu }$、CS 等号→位相一定・一点支持（群が $\mathbb{R}$／$\mathbb{Z}$ の場合も同様）。

付録 D：Mosco 判定の実用条件

Mosco＝Γ+Γ*。Zak–Mellin による同一化での狭義＋二次モーメント緊性、穿孔極限での容量・トレース拡張条件を列挙。

フルーリオ解析学 第十六論文 参考文献（Frourio関連以外）

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