要旨

フルーリオ解析学における離散スケール共変な作用素族の表現定理を確立し、黄金特化（$a=\phi$）の結果（I–III論文）を一般底 $a>0$ に抽象化する。査読指摘に基づき、

1. スケール作用のユニタリ化（正規化群 ${\mathcal{U}}_t^{(\sigma )}$）を明確化。
2. Zak–Mellin（Bloch–Mellin）分解における繊維上の作用を明示式で記述（成分対角の乗数）。
3. 半群生成の符号と記述を明確化（$A=-T^{†}T\le 0$、収縮半群 $e^{-t{T}^{†}T}$）。
4. 随伴式の作用線（$s\in \sigma +i\mathbb{R}$）とFubini/Tonelli の条件を付録Cで一般化。
5. コミュタント同型を厳密化（${\mathfrak{C}}_a\cong L^{\infty }({\mathbb{R}}_{\tau })$）。
6. **抽象オイラー積（定理I）**の $k=0$ 取り扱い（可除特異点）を明示化：${\lim }_{s\to 0}\frac{a^{-s}-a^s}{s}=-2\log a$。
7. STMT（Short-Time Mellin Transform）の定義を本文初出で提示。

0. 位置づけ（I–III との関係）

• I（Frourio-I）：二点 Jackson $D_{\mathsf{F}}$、${\exp }_{\mathsf{F}}$、${\Gamma }_{\mathsf{F}}$、Fibonomial、辞書 ${\mathcal{E}}_{\mathsf{F}}$。
• II（Frourio-II）：対称黄金 Jackson $D_{\Phi }$ を $(0,\infty )$ 上で厳密化（Mellin 乗数 $S_{-s}={\phi }^{-s}-{\phi }^s$、保存則・モーメント連鎖・半群）。
• III（Frourio-III）：演算層–スペクトル層–対称層の三層原理（Mellin 畳み込み／STMT 近似、減衰流のユニタリ同値）。
• IV（本稿）：I–III を表現定理と一般底化で統一。ユニタリ化・繊維分解を厳密化し、I–III の公式を A–E の系として一括再生する。

1. 設定・記法・仮定ボックス

• 主値と分枝：$a^z:=\exp (z\log a)$, $\arg \in (-\pi ,\pi ]$。

• 測度と空間：乗法ハール $d\mu (x)=dx/x$、$H_{\sigma }:=L^2((0,\infty ),x^{2\sigma -1}dx)$。

• Mellin 変換：$\mathcal{M}[f](s)={\int }_0^{\infty }f(x)x^{s-1}dx$。Plancherel 線は $\mathrm{Re}s=\sigma$。

• 正規化スケール群（ユニタリ）：

  $({\mathcal{U}}_t^{(\sigma )}f)(x):={\mathrm{e}}^{\sigma t}f({\mathrm{e}}^{t}x),t\in \mathbb{R}$

  は $H_{\sigma }$ 上でユニタリ。離散群 ${\mathcal{G}}_a=\{{\mathcal{U}}_{n\log a}^{(\sigma )}{\}}_{n\in \mathbb{Z}}$。

• 離散スケール共変（指数 $\kappa$）：閉作用素 $T:\mathrm{Dom}(T)\subset H_{\sigma }\to H_{\sigma -\kappa }$ が

  $({\mathcal{U}}_{\log a}^{(\sigma -\kappa )}{)}^{-1}T{\mathcal{U}}_{\log a}^{(\sigma )}=a^{\kappa }T$

  を満たすときそう呼ぶ（作用域と値域の $\sigma$ に注意）。

2. 主定理A：離散スケール共変作用素の表現定理

定理A（必要十分表現）

$a>1,\sigma ,\kappa \in \mathbb{R}$。閉作用素 $T:H_{\sigma }\to H_{\sigma -\kappa }$ が上の共変性を満たすことと、可測関数 $m:\sigma +i\mathbb{R}\to \mathbb{C}$ が存在して

$\boxed{\mathcal{M}[Tf](s)=m(s)\mathcal{M}[f](s-\kappa )(s\in \sigma +i\mathbb{R})}$

が成り立つことは同値である。さらに：

1. 一意性：$m$ は（a.e.）一意。

2. 定義域と閉性：

   $\mathrm{Dom}(T)=\{f\in H_{\sigma }:m(\sigma +i\tau )\mathcal{M}[f](\sigma -\kappa +i\tau )\in L^2(\mathbb{R})\}$

   とすれば $T$ は閉（$L^2$ の閉乗算作用素とユニタリ同型の合成）。

3. 有界性（$\kappa =0$）：$\Vert m{\Vert }_{L^{\infty }}<\infty$ なら $T$ は $H_{\sigma }$ 上有界。

4. 随伴（作用線の明示）：任意の $g\in H_{\sigma -\kappa }$ に対し

   $\mathcal{M}[T^{†}g](s)=\overline{m(\overline{s+\kappa })}\mathcal{M}[g](s+\kappa )(s\in \sigma +i\mathbb{R})$

   （導出と可積分性は付録C）。

例（一般底の直接空間表示）：

$D_{a}f(x):=\frac{a^{-1}f(ax)-af(a^{-1}x)}{x},\mathcal{M}[D_{a}f](s)=(a^{-s}-a^s)\mathcal{M}[f](s-1),$

すなわち $m(s)=a^{-s}-a^s,\kappa =1$。$a=\phi$ で $D_{\Phi }$ を再生する。

系A1（Frourio-III の再構成）：$D_{\Phi }$ は $\kappa =1$, $m(s)=S_{-s}={\phi }^{-s}-{\phi }^s$。III のスペクトル表示 $N_{\sigma }=D_{\Phi }^{†}{D}_{\Phi }\simeq M_{|S_{-(\sigma +i\tau )}{|}^2}$ を与える。

3. 主定理B：Bloch–Mellin（離散スケールの繊維分解）

基本周期と Zak–Mellin：${\mathbb{T}}_a:=\mathbb{R}/(2\pi /\log a)\mathbb{Z}$。付録Aで定義するユニタリ $Z_a:L^2({\mathbb{R}}_{\tau })\to {\int }_{{\mathbb{T}}_a}^{\oplus }{\ell }^2(\mathbb{Z})d\theta$ を用いる。

定理B（繊維化の明示式）

$\tilde{T}:=Z_a({\mathcal{U}}_{\log a}^{(\sigma )})T({\mathcal{U}}_{\log a}^{(\sigma -\kappa )}{)}^{-1}{Z}_a^{-1}$ とおく。すると各繊維 $\theta \in {\mathbb{T}}_a$ で $\tilde{T}(\theta ):{\ell }^2(\mathbb{Z})\to {\ell }^2(\mathbb{Z})$ は成分対角の乗数作用

$\boxed{(\tilde{T}(\theta )v{)}_n=m(\sigma +i(\theta +\frac{2\pi n}{\log a}))v_n(n\in \mathbb{Z})}$

として与えられる。さらに $Z_a{\mathcal{U}}_{\log a}^{(\sigma )}{Z}_a^{-1}$ は各繊維で一次シフト $(Sv{)}_n=v_{n-1}$ として作用する。

備考（拡張族）：$\tau$-方向シフト（= $u$-側の乗法 $x^{\alpha }$ 等）を含む作用素族では、繊維上が有限バンド行列となり得る。

4. 主定理C：コミュタントと畳み込み代数（厳密版）

定理C（厳密同型）

${\mathfrak{C}}_a:=\{B\in \mathcal{B}(H_{\sigma }):B{\mathcal{U}}_{n\log a}^{(\sigma )}={\mathcal{U}}_{n\log a}^{(\sigma )}B,\forall n\}$。Mellin 側では ${\mathcal{U}}_{n\log a}^{(\sigma )}$ が位相因子の乗算 $F(\tau )\mapsto e^{in(\log a)\tau }F(\tau )$ となるため、コミュタントは全ての乗算作用素であり、

$\boxed{{\mathfrak{C}}_a\cong L^{\infty }({\mathbb{R}}_{\tau })}$

となる。原空間 $x$-側では、これはMellin 畳み込み

$(f{\ast }_{M}g)(x):={\int }_0^{\infty }f\left(\frac{x}{t}\right)g(t)\frac{dt}{t}$

として作用する。備考：繊維表示では ${\mathfrak{C}}_a\cong L^{\infty }(\mathbb{T})\hat{\otimes }{L}^{\infty }({\mathbb{T}}_a)$。

5. 主定理D：自己共役・半群生成（符号の明確化）

定理D

定理Aの $T$ について：

• 正規性：$\kappa =0$, $m\in L^{\infty }$ なら $T$ は正規。

• 対称性／自己共役性：$\kappa =0$, 実値乗数なら対称。適切な定義域で自己共役拡張が存在。

• 収縮半群：$T^{†}T\ge 0$ より $G:=-T^{†}T\le 0$ は（非正）自己共役。したがって

  $\boxed{S_t:=e^{tG}=e^{-t{T}^{†}T}\text{は}t\ge 0\text{で強連続な収縮半群}}$

  である（スペクトル定理・Hille–Yosida、付録B）。

系D1（黄金特化）：$m=S_{-s}=2\sinh (-s\log \phi )$ のとき、III の energy decay flow に一致。

6. 主定理E：一般底 $a>0$ の圏同値

定義：$\mathcal{C}(a,\kappa )$：指数 $\kappa$ の離散共変閉作用素の圏（射はユニタリ可換図式）。

定理E（圏同値）

$\boxed{\mathcal{C}(\phi ,\kappa )\simeq \mathcal{C}(a,\kappa )}(a>0)$

関手は Mellin 線の再標度 $\tau \mapsto (\log a/\log \phi )\tau$ により

$m_{\phi }(\sigma +i\tau )⟷m_a(\sigma +i\frac{\log a}{\log \phi }\tau )$

を対応させる。不変量（零点格子・周期 $\Delta \tau =\pi /\log a$・減衰率等）はこの同値で移送される。

7. 二次定理群（補強）

定理F（Paley–Wiener–Mellin）：$\log x$-側で支持が長さ $L$ に抑制された関数の Mellin 像は指数型整関数で、型は $L$ に等価。逆も成立（適切な正則・成長条件下）。

定理G（Mellin 不確定性）：$\tau$-拡がりと $x^{\alpha }$-モーメントの積に Heisenberg 型の下界。ガウス型で最小化。

定理H（分布拡張）：定理A–E は ${\mathcal{D}}^{\prime }(0,\infty )$ に拡張可。III の δブランチングは、乗数 $m$ が線形再帰を誘導する場合の一般形。

定理I（抽象オイラー積；一般底版）：$m(s)=2\sinh (-s\log a)$ なら、

$\boxed{\frac{a^{-s}-a^s}{-2s\log a}=\prod _{k=1}^{\infty }(1+\frac{(s\log a{)}^2}{(k\pi {)}^2})}(s\in \mathbb{C})$

零点は $s=\frac{i\pi k}{\log a}(k\in \mathbb{Z}\setminus \{0\})$。注： $s=0$ は可除特異点で、

${\lim }_{s\to 0}\frac{a^{-s}-a^s}{s}=-2\log a,\Rightarrow {\lim }_{s\to 0}\frac{a^{-s}-a^s}{-2s\log a}=1.$

命題J（反例：非閉の具体化）：$m(\sigma +i\tau )=1+|\tau {|}^{\alpha }(\alpha >0),\kappa =0$。$\mathrm{Dom}(T)=H_{\sigma }$ と仮定すると非閉。実際、

$F_n(\tau ):=\frac{1_{[n,n+1]}(\tau )}{n^{\alpha }}\Rightarrow \Vert F_n{\Vert }_{L^2}\asymp n^{-\alpha }\to 0,$

に対し $\Vert m{F}_n{\Vert }_{L^2}\ge c>0$ が成り立つ（$m\approx |\tau {|}^{\alpha }$ を用いる）。よって $f_n\to 0$ だが $T{f}_n\nrightarrow 0$ であり、グラフは閉でない。

命題K（フレーム条件）：Zak–Mellin 繊維の上下界により、$\{{\mathcal{U}}_{n\log a}^{(\sigma )}f\}$ がフレーム／Riesz 系をなす条件を特徴付ける。

8. 例・対応表・反証

8.1 対応表：$a=\phi$（I–III の一括再生）

構成	一般底 $a$	黄金特化 $a=\phi$
乗数	$m(s)=a^{-s}-a^s$	$S_{-s}={\phi }^{-s}-{\phi }^s$
零点格子	$s=\frac{i\pi k}{\log a}$	$s=\frac{i\pi k}{\log \phi }$
周期	$\Delta \tau =\pi /\log a$	$\pi /\log \phi$
減衰半群	$e^{-t{T}^{†}T}$	$e^{-t{N}_{\sigma }}$

8.2 ログ・ガウス波束（本文の要約；詳細は付録D）：

• Mellin 像はガウス：中心 ${\tau }_0$、幅 $\eta$。
• Mellin 畳み込み：中心は加重平均、分散は加法（精度は加法）。
• 点積：像は畳み込み→中心は ${\tau }_1+{\tau }_2$、分散は加法（幅拡大）。

9. 測定プロトコル（STMT 版）

定義（STMT：Short-Time Mellin Transform）：可積分窓 $w$ と中心 $\xi$ に対し

${\mathcal{M}}_w[y](\sigma +i\tau ;\xi ):={\int }_0^{\infty }y(x)w(\log x-\xi )x^{\sigma -1+i\tau }dx.$

手順：

1. 窓：正規化ガウス $w(u)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }{\eta }_w}{e}^{-u^2/2{\eta }_w^2}$。
2. STMT：${\mathcal{M}}_w[y](\sigma +i\tau ;\xi )$ を計算。
3. 格子検出：ピーク間隔 $\Delta \tau \approx \pi /\log a$ を評価。
4. 合成前後：${\mathrm{width}}_{\delta }$ と ${\mathcal{G}}_{\sigma }$ の増分を比較し、${\eta }_w$ で誤差項を見積もる。

10. 結語

ユニタリ化したスケール群 ${\mathcal{U}}^{(\sigma )}$ に基づき、離散スケール共変作用素の表現定理（乗数×シフト）、繊維分解、コミュタント同定、自己共役と収縮半群、一般底の圏同値を厳密化した。次段として、連続スケール群 $ax+b$ の既約分解（Mellin×Fourier）に本稿の離散 $a$-共変性を埋め込み、非可換拡張・確率過程（乗法 Lévy）への接続を探る。

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付録A：Zak–Mellin 変換の定義とユニタリ性

定義：基本区間 $I_a=[0,2\pi /\log a)$。$F\in L^2({\mathbb{R}}_{\tau })$ に対し

$(Z_{a}F)(\theta {)}_n:=(\frac{\log a}{2\pi }{)}^{1/2}F(\theta +\frac{2\pi n}{\log a}),\theta \in I_a,n\in \mathbb{Z}.$

これはユニタリ同型 $L^2({\mathbb{R}}_{\tau })\cong {\int }_{{\mathbb{T}}_a}^{\oplus }{\ell }^2(\mathbb{Z})d\theta$。逆写像は

$(Z_a^{-1}G)(\theta +\frac{2\pi n}{\log a})=(\frac{2\pi }{\log a}{)}^{1/2}G(\theta {)}_n.$

性質：平行移動 $F(\tau )\mapsto e^{i(\log a)\tau }F(\tau )$ は繊維で一次シフト、乗算 $M_m$ は繊維で成分対角の乗数 $m(\sigma +i(\theta +2\pi n/\log a))$。

付録B：Hille–Yosida 条件の乗数翻訳

$A=-T^{†}T$ の半群収縮性は、乗数 $|m(\sigma +i\tau ){|}^2$ の非負性・可測性・成長制御（適切な関数域）へ還元される。特に $m\in L^{\infty }$ なら $e^{-t{T}^{†}T}$ は縮小写像で、強連続性はスペクトル測度の有界収束定理による。

付録C：随伴式と可積分性（定理A(4)）

内積 $⟨Tf,g{⟩}_{H_{\sigma -\kappa }}=⟨f,T^{†}g{⟩}_{H_{\sigma }}$ を Mellin–Plancherel に移し、$\mathcal{M}[Tf](s)=m(s)\mathcal{M}[f](s-\kappa )$ と直交性を用いると

${\int }_{\mathbb{R}}m(\sigma +i\tau )\mathcal{M}[f](\sigma -\kappa +i\tau )\overline{\mathcal{M}[g](\sigma -\kappa +i\tau )}d\tau ={\int }_{\mathbb{R}}\mathcal{M}[f](\sigma +i\tau )\overline{\overline{m(\overline{\sigma +i\tau +\kappa })}\mathcal{M}[g](\sigma +\kappa +i\tau )}d\tau .$

十分条件：例えば (i) $m\in L^{\infty }$、(ii) より一般に $m\in L_{\mathrm{loc}}^2$ かつある重量 $w(\tau )>0$ で $mw\in L^2$, $\mathcal{M}[f](\cdot -\kappa )/w,\mathcal{M}[g](\cdot -\kappa )/w\in L^2$。これらで Fubini/Tonelli の適用が正当化される。

付録D：ログ・ガウス波束の計算（§8.2の詳細）

設定：$f(x)=x^{{\sigma }_0-1}\exp (-\frac{(\log x-{\xi }_1{)}^2}{2{\eta }_1^2})x^{i{\tau }_1}$、同様に $g$。

Mellin 像：

$\mathcal{M}[f](\sigma +i\tau )=\sqrt{2\pi }{\eta }_1\exp (-\frac{(\tau -{\tau }_1{)}^2{\eta }_1^2}{2})e^{(\sigma -{\sigma }_0){\xi }_1+\frac{(\sigma -{\sigma }_0{)}^2{\eta }_1^2}{2}}.$

Mellin 畳み込み：像の点ごとの積 → 中心 $\frac{{\eta }_1^2{\tau }_1+{\eta }_2^2{\tau }_2}{{\eta }_1^2+{\eta }_2^2}$、有効幅 ${\eta }_{\mathrm{tot}}^2={\eta }_1^2+{\eta }_2^2$。

点積：像の畳み込み → 中心 ${\tau }_1+{\tau }_2$、分散は加法（幅増加）。