要旨

本稿は

1. 黄金底の三対応を「同値」ではなく 整合（coherence） として定式化
2. 合成増加原理を Mellin 畳み込みを本則、点積は 短時間 Mellin（STMT）近似の下で扱う
3. エネルギー減衰流の非負自己共役性・半群有界性を Mellin 線上のユニタリ同値で保証
4. 記号・分枝・正則性仮定を「仮定ボックス」に集約
5. 「離散↔連続辞書」に完全計算可能な模型を追加

した。これにより、フルーリオ解析学の第三論文は、黄金底解析の演算層・スペクトル層・対称層の相互作用を、測度論に適合した形で提示する。

0. 仮定ボックス（記号・分枝・正則性）

• 黄金比 $\phi =\frac{1+\sqrt{5}}{2}$、共役 $\psi =1-\phi =-{\phi }^{-1}$。
• 主値：$a^z:=\exp (z\log a)$、分枝切断 $\arg \in (-\pi ,\pi ]$。
• 乗法ハール測度 $d\mu (x)=dx/x$。
• 加重空間 $H_{\sigma }:=L^2((0,\infty ),x^{2\sigma -1}dx)$。
• Mellin 変換 $\mathcal{M}[f](s)={\int }_0^{\infty }f(x)x^{s-1}dx$、Plancherel は第二論文 [EA-II] に従う。
• 窓付き Mellin（STMT）：可積分窓 $w$ と中心 $\xi$ で ${\mathcal{M}}_w[f](\sigma +i\tau ;\xi )={\int }_0^{\infty }f(x)w(\log x-\xi )x^{\sigma -1+i\tau }dx$。
• 記号の衝突回避：第一論文の ${\exp }_{\mathsf{F}}$（係数 $n{!}_F$）と区別するため、本稿では必要に応じて ${\exp }_{\Phi },{\cos }_{\Phi },{\sin }_{\Phi }$（係数 $n{!}_{\Phi }$）と表記する。

1. 序論：宇宙の至宝と黄金底解析

Frourio の等式（主値） $\boxed{{\phi }^{i\pi /\log \phi }=-1}$ は、第一・二論文および「フルーリオの等式と公式」論文の接点となる。本稿は、この等式が指し示す零点列／無限積／乗数の整合を出発点に、合成の利得と検証流までをフルーリオ解析学の語彙で接続する。

参照：

• [EA-I] 第一論文：黄金二次体上のフィボナッチ微分理論
• [EA-II] 第二論文：フルーリオ微分の解析的基礎と測定ツール
• [FR] フルーリオの等式と公式：黄金比を底にした古典恒等式の統合と命名

2. 予備：作用素と乗数

• 二点 Jackson 微分（[EA-I]）：$D_{\mathsf{F}}f=\frac{f(\phi x)-f(\psi x)}{\sqrt{5}x}$、$D_{\mathsf{F}}[x^n]=F_n{x}^{n-1}$。
• 正半直線上の作用素（[EA-II]）： $D_{\Phi }f(x):=\frac{{\phi }^{-1}f(\phi x)-\phi f({\phi }^{-1}x)}{x}.$
• Mellin–Φ 表現： $\mathcal{M}[D_{\Phi }f](s)=S_{-s}\mathcal{M}[f](s-1),S_z:={\phi }^z-{\phi }^{-z}=2\sinh (z\log \phi ).$

3. 黄金底の三対応（整合）

命題 3.1（整合）

次の三事実は同一の零点列 $\{s=i\pi k/\log \phi {\}}_{k\in \mathbb{Z}\setminus \{0\}}$ を共有する（$k=0$ を除く）：
(i) Frourio の等式に由来する位相量子化（特に $k=1$ が ${\phi }^{i\pi /\log \phi }=-1$）。
(ii) 黄金オイラー無限積 $\frac{{\phi }^{-s}-{\phi }^s}{-2s\log \phi }={\prod }_{k\ge 1}(1+(s\log \phi {)}^2/(k\pi {)}^2)$ の零点。
(iii) Mellin–Φ 乗数 $S_{-s}$ の零点。

注：$k=0$ は $S_{-s}$ の"自明零点"であり、無限積側では可除特異点として除去済み。

スケッチ：$S_{-s}=2\sinh (-s\log \phi )$ の零と $\sinh$ の零、Frourio の主値等式は同一格子に整合する。$\square$

4. 合成増加原理（Mellin 畳み込み／STMT 近似）

4.1 Mellin 畳み込み（本則）

定義（Mellin 畳み込み） $(f{\ast }_{M}g)(x):={\int }_0^{\infty }f\left(\frac{x}{t}\right)g(t)\frac{dt}{t}.$

基本性質：$\mathcal{M}[f{\ast }_{M}g]=\mathcal{M}[f]\cdot \mathcal{M}[g]$。

利得汎関数の無次元化 ${\mathcal{G}}_{\sigma }[f]:={\int }_{\mathbb{R}}\log (1+\lambda |S_{-(\sigma +i\tau )}{|}^2|\mathcal{M}[f](\sigma -1+i\tau ){|}^2)d\tau ,\lambda >0.$ （$\lambda$ は次元調整定数。実装では $\lambda$ をスペクトルの基準エネルギーで規格化。）

定理 4.2（劣加法境界）

${\mathcal{G}}_{\sigma }$ は Mellin 畳み込みに対して劣加法的： $\boxed{{\mathcal{G}}_{\sigma }[f{\ast }_{M}g]\le {\mathcal{G}}_{\sigma }[f]+{\mathcal{G}}_{\sigma }[g]}.$

証明：点ごとに $(1+\lambda |AB{|}^2)\le (1+\lambda |A{|}^2)(1+\lambda |B{|}^2)$ が成立（右辺−左辺＝$\lambda (|A{|}^2+|B{|}^2)\ge 0$）。$\log$ の単調増加性より $\log (1+\lambda |AB{|}^2)\le \log (1+\lambda |A{|}^2)+\log (1+\lambda |B{|}^2).$ 積分して結論を得る。$\square$

注：${\mathcal{G}}_{\sigma }$ は正則化項として"増えすぎない"ことを保証する。合成で"増える"量は次節の幅 ${\mathrm{width}}_{\delta }$ で主張する。

4.2 点積 $fg$ の STMT 近似

フーリエ化：$u=\log x$、$F_{\sigma }(u)=e^{\sigma u}f(e^u)$ とすると、$\widehat{F_{\sigma }}(\tau )=\mathcal{M}[f](\sigma +i\tau )$。よって $\mathcal{M}[fg](\sigma +i\tau )=\frac{1}{2\pi }{\int }_{\mathbb{R}}\mathcal{M}[f](\sigma +i\xi )\mathcal{M}[g](\sigma +i(\tau -\xi ))d\xi .$ つまり 点積の Mellin 像は畳み込み。

定義（局所幅） ${\mathrm{width}}_{\delta }(f;\sigma ,\xi ):=\mathrm{meas}\{\tau :|{\mathcal{M}}_w[f](\sigma +i\tau ;\xi )|\ge \delta \}.$

命題 4.3（STMT 下の合成増加）

窓 $w$ を十分狭く、$\tau \mapsto \log |{\mathcal{M}}_w[f](\sigma +i\tau ;\xi )|$ が局所的に $\kappa$-強擬凸かつ単峰 と仮定すると、定数 $C(w,\kappa )$ があり ${\mathrm{width}}_{\delta }(fg;\sigma ,\xi )\gtrsim {\mathrm{width}}_{{\delta }^{\prime }}(f;\sigma ,\xi )+{\mathrm{width}}_{{\delta }^{\prime }}(g;\sigma ,\xi ),$ ${\mathcal{G}}_{\sigma }[fg]\ge {\mathcal{G}}_{\sigma }[f]+{\mathcal{G}}_{\sigma }[g]-C(w,\kappa ).$

スケッチ：STMT による近位畳み込みと Young の不等式を併用。$\kappa$-強擬凸性により誤差項を定量化。$\square$

5. 三層原理：演算・スペクトル・対称

• 演算層：$D_{\mathsf{F}},D_{\Phi }$、生成関数、Φ-畳み込み、${\Gamma }_{\Phi }$ などの計算規則
• スペクトル層：Mellin–Φ の乗数・零点・ログ周期と STMT による計測
• 対称層：離散スケール群 $⟨{\phi }^{\mathbb{Z}}⟩$、分解代数 $\mathbb{R}\times \mathbb{R}$

交換関係と共変性 $[x{\partial }_x,D_{\Phi }]=-D_{\Phi }.$

命題 5.1（スケール共変性）：$T_{\phi }^{-1}{D}_{\Phi }{T}_{\phi }=\phi D_{\Phi }$。

証明：交換関係を Baker–Campbell–Hausdorff で用いるか、定義に直接代入して一行計算。$\square$

6. 解析的検証流：energy decay flow の厳密化

エネルギー汎関数 ${\mathcal{E}}_{\sigma }[f]:=\Vert D_{\Phi }f{\Vert }_{H_{\sigma }}^2=\frac{1}{2\pi }{\int }_{\mathbb{R}}|S_{-(\sigma +i\tau )}{|}^2|\mathcal{M}[f](\sigma -1+i\tau ){|}^{2}d\tau .$

6.1 ユニタリ同値と自己共役性

ユニタリ $U_{\sigma }:H_{\sigma }\to L^2(\mathbb{R})$ を Mellin（= $\log x$ 上のフーリエ）として、 $(U_{\sigma }{D}_{\Phi }f)(\tau )=S_{-(\sigma +i\tau )}(U_{\sigma -1}f)(\tau ).$

よって $\boxed{N_{\sigma }:=D_{\Phi }^{†}{D}_{\Phi }\simeq M_{|S_{-(\sigma +i\tau )}{|}^2}}\text{（スペクトル表現・ユニタリ同値）}$

非負自己共役。初期領域は $C_c^{\infty }(0,\infty )$、閉包で Friedrichs 拡張を取る。 $\mathrm{Dom}(N_{\sigma })=\{f\in H_{\sigma }:|S_{-(\sigma +i\tau )}{|}^2\mathcal{M}[f](\sigma -1+i\tau )\in L^2\}.$

6.2 収縮半群と減衰

${\partial }_t{u}_t=-N_{\sigma }{u}_t,e^{-t{N}_{\sigma }}:H_{\sigma }\to H_{\sigma }\text{は収縮半群}.$

エネルギーは単調減少：$\frac{d}{dt}{\mathcal{E}}_{\sigma }[u_t]=-2\Vert N_{\sigma }^{1/2}{u}_t{\Vert }_{H_{\sigma }}^2\le 0$。

7. 離散↔連続辞書と完全計算モデル

辞書：列の EGF（[EA-I]） ${\mathcal{E}}_{\mathsf{F}}[\{a_n\}](x)=\sum a_n{x}^n/n{!}_F$ と関数側 $f(x)$ を対応。$\Phi$-畳み込み（列の合成）↔関数側の積／Mellin 畳み込みに写る。

完全計算モデル：ログ・ガウス波束 $f(x)=x^{{\sigma }_0-1}\exp (-\frac{(\log x-{\xi }_1{)}^2}{2{\eta }_1^2})x^{i{\tau }_1},g(x)=x^{{\sigma }_0-1}\exp (-\frac{(\log x-{\xi }_2{)}^2}{2{\eta }_2^2})x^{i{\tau }_2}.$

Mellin 像はガウス（付録 C.1 参照）： $\mathcal{M}[f](\sigma +i\tau )=\sqrt{2\pi }{\eta }_1\exp (-\frac{(\tau -{\tau }_1{)}^2{\eta }_1^2}{2})e^{(\sigma -{\sigma }_0){\xi }_1+\frac{(\sigma -{\sigma }_0{)}^2{\eta }_1^2}{2}},$ 同様に $g$。

• Mellin 畳み込み：像はガウスの「積」→ 中心は $({\eta }_1^2{\tau }_1+{\eta }_2^2{\tau }_2)/({\eta }_1^2+{\eta }_2^2)$ へ移動（加重平均）、指数係数は ${\eta }_{\text{total}}^2={\eta }_1^2+{\eta }_2^2$（＝"精度"加法→分散は $1/{\eta }_{\text{total}}^2$ で減少）。
• 点積：像はガウスの「畳み込み」→ 中心は ${\tau }_1+{\tau }_2$、分散は加法（幅が広がる）。

8. 計測プロトコル（STMT 版）

1. 窓：正規化ガウス窓 $w(u)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }{\eta }_w}\exp (-u^2/2{\eta }_w^2)$
2. STMT：${\mathcal{M}}_w[y](\sigma +i\tau ;\xi )$ を計算
3. 格子検出：ピーク間隔が $\Delta \tau \approx \pi /\log \phi$ を示すか評価
4. 合成の前後比較：${\mathrm{width}}_{\delta }$ と ${\mathcal{G}}_{\sigma }$ の増分をテーブル化。窓幅 ${\eta }_w$ を変え誤差項 $C(w,\kappa )$ を見積もる

9. 結語

「宇宙の至宝」を端緒に、零点・積表示・乗数の整合を核として、合成の利得を Mellin 畳み込み（厳密）と STMT 近似（点積）で定式化した。さらに、検証流はユニタリ同値により非負自己共役の枠に収まり、収縮半群として解析的に健全である。今後は、離散スケール共変な広い作用素族への表現定理、および一般底 $a>0$ 版の抽象化を進める。

付録 A：基本式・分枝の注意

• $S_z={\phi }^z-{\phi }^{-z}=2\sinh (z\log \phi )$。 零点は $z=\frac{i\pi k}{\log \phi }$（$k\in \mathbb{Z}$、0を含む）。 ただし黄金オイラー積の零点集合は $k\ne 0$（$s=0$は可除特異点として除去）。
• 主値の分枝切断は $\arg \in (-\pi ,\pi ]$。

付録 B：技術補足

B.1 ガウス模型の明示計算

ログ・ガウス波束 $f(x)=x^{{\sigma }_0-1}\exp (-(\log x-\xi {)}^2/2{\eta }^2)x^{i{\tau }_0}$ の Mellin 変換：

変数変換 $u=\log x$ により $\mathcal{M}[f](\sigma +i\tau )={\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{(\sigma -{\sigma }_0+i(\tau -{\tau }_0))u}\exp (-\frac{(u-\xi {)}^2}{2{\eta }^2})du.$

ガウス積分の公式より $\mathcal{M}[f](\sigma +i\tau )=\sqrt{2\pi }\eta \exp (-\frac{(\tau -{\tau }_0{)}^2{\eta }^2}{2})\exp ((\sigma -{\sigma }_0)\xi +\frac{(\sigma -{\sigma }_0{)}^2{\eta }^2}{2}).$

分散加法：Mellin 畳み込みでは点ごとの積、点積では畳み込みによる分散の合成。

B.2 自己共役性の定義域

$C_c^{\infty }(0,\infty )$ からの閉包、Friedrichs 拡張により非負自己共役作用素を構成。

B.3 Young・Jensen の適用条件

$\kappa$-強擬凸性：関数 $h(\tau )=\log |{\mathcal{M}}_w[f](\sigma +i\tau ;\xi )|$ が局所的に $h^{\prime \prime }(\tau )\ge \kappa >0$（2次下に凸）を満たすことを指す。

STMT 近似の仮定（$\kappa$-強擬凸性、単峰性）により誤差項を定量的に制御。