改訂履歴

• Version 2

  • 第3章の記法を修正。成分表示の定義を厳密化。
  • フィボナッチ階乗記法を $n{!}_F$ に統一し関連式を更新。§10.3 の $\mathfrak{e}>e$ の説明を「初期項支配」に訂正。

• Version 3

  • 「創発解析学（Emergence Calculus）」を「フルーリオ解析学（Frourio Calculus）」に命名変更。
  • 「創発定数 $\mathfrak{e}$」を「フルーリオ定数 $\mathfrak{f}$」に定義変更。

要旨

本論文は、黄金比を基底とする二次体 $\mathbb{Q}(\sqrt{5})$ 上に新たな微分構造を導入し、フィボナッチ数列と微積分を統一的に扱う理論を構築する。特に、二点 Jackson 微分として特徴づけられるフルーリオ微分作用素を定義し、フルーリオ指数関数とその普遍定数「フルーリオ定数 $\mathfrak{f}$」を導入する。この理論は線形漸化式、Pell 型方程式、組合せ論的構造への応用を通じて、未知の数学的現象の本質を解明する。

第1章：導入

1.1 動機と背景

一般の $q$-微分が

$D_{q}f(x)=\frac{f(qx)-f(x)}{(q-1)x}$

で定義されるのに対し、本研究のフルーリオ微分 $D_{\mathsf{F}}$ は

$D_{\mathsf{F}}f(x)=\frac{f(\phi x)-f(\psi x)}{\sqrt{5}x}$

という二点 Jackson 微分であり、黄金比 $\phi =\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ とその共役 $\psi =\frac{1-\sqrt{5}}{2}$ を対称に用いる。

1.2 主要な貢献

1. フルーリオ微分理論の構築
2. フルーリオ指数関数とフルーリオ定数の導入
3. 二点 Jackson 微分の閉形式表示
4. 数論・組合せ論・力学系への応用

第2章：黄金二次体の基礎理論

2.1 定義と基本性質

定義 2.1（黄金二次体）

$\mathbb{K}=\mathbb{Q}(\phi )=\{a+b\phi \mid a,b\in \mathbb{Q}\},\phi =\frac{1+\sqrt{5}}{2},\psi =\frac{1-\sqrt{5}}{2}.$

定理 2.1（体構造）

$(\mathbb{K},+,\times )$ は体である。証明は ${\phi }^2=\phi +1$ と判別式 $\Delta =5$ を用いる。

2.2 基本不変量

定義 2.2（トレースとノルム）

$\mathrm{Tr}(a+b\phi )=2a+b,N(a+b\phi )=a^2+ab-b^2.$

定理 2.2（逆元）

$N(a+b\phi )\ne 0$ のとき

$(a+b\phi {)}^{-1}=\frac{a+b-b\phi }{a^2+ab-b^2}.$

2.3 整数環と単元群

定義 2.3（整数環）

${\mathcal{O}}_{\mathbb{K}}=\mathbb{Z}[\phi ]=\{a+b\phi \mid a,b\in \mathbb{Z}\}.$

定理 2.3（単元群）

${\mathcal{O}}_{\mathbb{K}}^{\times }=\{\pm {\phi }^n\mid n\in \mathbb{Z}\}.$

2.4 フィボナッチ数列との関係

定理 2.4（フィボナッチ展開）

${\phi }^n=F_n\phi +F_{n-1}(n\ge 1).$

第3章：実埋め込みによる成分解析

3.1 二つの実埋め込み

${\sigma }_{\phi }:\mathbb{K}\to \mathbb{R},a+b\phi \mapsto a+b\phi ,{\sigma }_{\psi }:\mathbb{K}\to \mathbb{R},a+b\phi \mapsto a+b\psi .$

定理 3.1（成分表示）

$\alpha =a+b\phi ⟼({\sigma }_{\phi }(\alpha ),{\sigma }_{\psi }(\alpha ))=(a+b\phi ,a+b\psi )\in {\mathbb{R}}^2.$

3.2 $\mathbb{R}$-線形拡大での分解

定理 3.2

${\mathbb{K}}_{\mathbb{R}}:=\mathbb{R}{\otimes }_{\mathbb{Q}}\mathbb{K}\cong \mathbb{R}\times \mathbb{R}.$

同型 $\Phi :{\mathbb{K}}_{\mathbb{R}}\to {\mathbb{R}}^2$ は $\Phi {|}_{\mathbb{K}}=({\sigma }_{\phi },{\sigma }_{\psi })$ を満たすように $\mathbb{R}$-線形に拡張する。

3.3 関数の成分表示

定義 3.2（射影写像）

$\Phi :{\mathbb{K}}_{\mathbb{R}}\to {\mathbb{R}}^2,\Phi {|}_{\mathbb{K}}=({\sigma }_{\phi },{\sigma }_{\psi }),\Phi (a+b\phi )=(a+b\phi ,a+b\psi ).$

${\mathrm{pr}}_1(x,y)=x,{\mathrm{pr}}_2(x,y)=y,{\pi }_1:={\mathrm{pr}}_1\circ \Phi ,{\pi }_2:={\mathrm{pr}}_2\circ \Phi .$

このとき任意の $z\in \mathbb{K}$ で ${\pi }_1(z)={\sigma }_{\phi }(z),{\pi }_2(z)={\sigma }_{\psi }(z)$。便宜上 $z\in {\mathbb{K}}_{\mathbb{R}}$ に対し $\Phi (z)=({\pi }_1(z),{\pi }_2(z))$ と書く。

定義 3.3（関数の成分分解）

$f:{\mathbb{K}}_{\mathbb{R}}\to {\mathbb{K}}_{\mathbb{R}}$ に対し

$f_1:={\pi }_1\circ f,f_2:={\pi }_2\circ f,$

とおくと

$f(z)=(f_1(z),f_2(z))\in {\mathbb{R}}^2.$

第4章：フルーリオ微分理論

4.1 二点 Jackson 微分

$T_{\phi }f(x):=f(\phi x),T_{\psi }f(x):=f(\psi x).$

$D_{\mathsf{F}}=\frac{T_{\phi }-T_{\psi }}{\sqrt{5}x},D_{\mathsf{F}}f(x)=\frac{f(\phi x)-f(\psi x)}{\sqrt{5}x}.$

形式冪級数 $f(x)={\sum }_{n\ge 0}{a}_n{x}^n$ に対し

$D_{\mathsf{F}}f(x)={\sum }_{n\ge 0}{a}_n\frac{{\phi }^n-{\psi }^n}{\sqrt{5}}{x}^{n-1}={\sum }_{n\ge 0}{a}_n{F}_n{x}^{n-1}.$

系 $D_{\mathsf{F}}[x^n]=F_n{x}^{n-1},D_{\mathsf{F}}[1]=0,D_{\mathsf{F}}[x]=1$。

4.2 積の法則と合成公式

$D_{\mathsf{F}}(fg)=(D_{\mathsf{F}}f)g(\phi x)+f(\psi x)(D_{\mathsf{F}}g),$

$D_{\mathsf{F}}[f\circ g](x)=\frac{f(g(\phi x))-f(g(\psi x))}{\sqrt{5}x}.$

4.3 フルーリオ積分

$I_{\mathsf{F}}[x^n]=\frac{x^{n+1}}{F_{n+1}},D_{\mathsf{F}}\circ I_{\mathsf{F}}=\mathrm{Id},I_{\mathsf{F}}\circ D_{\mathsf{F}}[f]=f-f(0).$

第5章：フルーリオ指数関数とフルーリオ定数

記法（フィボナッチ階乗）

$n{!}_F:={\prod }_{k=1}^n{F}_k,0{!}_F:=1.$

5.1 フルーリオ指数関数

${\exp }_{\mathsf{F}}(x)={\sum }_{n=0}^{\infty }\frac{x^n}{n{!}_F},\mathfrak{f}:={\exp }_{\mathsf{F}}(1)={\sum }_{n=0}^{\infty }\frac{1}{n{!}_F}\approx 3.7045029\dots$

定理 5.1
(i) $D_{\mathsf{F}}[{\exp }_{\mathsf{F}}(x)]={\exp }_{\mathsf{F}}(x)$。
(ii) ${\exp }_{\mathsf{F}}$ は整関数。
(iii) $D_{\mathsf{F}}f=f,f(0)=1$ の唯一の形式的解。

証明の要点：
(i) $D_{\mathsf{F}}[x^n/n{!}_F]=F_n{x}^{n-1}/n{!}_F=x^{n-1}/(n-1){!}_F$。
(ii) Cauchy–Hadamard より

$R^{-1}={\mathrm{limsup}}_{n\to \infty }(\frac{1}{n{!}_F}{)}^{1/n}={\mathrm{limsup}}_{n\to \infty }\exp \left(-\frac{\log n{!}_F}{n}\right)=0,$

ここで

$\log n{!}_F={\sum }_{k=1}^n\log F_k=\frac{n(n+1)}{2}\log \phi -n\log \sqrt{5}+O(1).$

(iii) 係数比較。

Umbral F-加法

$(x{\oplus }_{\mathsf{F}}y{)}^n:={\sum }_{k=0}^n{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)}_{\mathsf{F}}{x}^k{y}^{n-k},{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)}_{\mathsf{F}}:=\frac{n{!}_F}{k{!}_F(n-k){!}_F}.$

形式的冪級数として

${\exp }_{\mathsf{F}}(x{\oplus }_{\mathsf{F}}y)={\exp }_{\mathsf{F}}(x){\exp }_{\mathsf{F}}(y).$

F-対数：${\log }_{\mathsf{F}}$ を ${\exp }_{\mathsf{F}}$ の形式的逆とする（$1$ 近傍）。

積の法則の応用

$D_{\mathsf{F}}[x^m{\exp }_{\mathsf{F}}(x)]=F_m{x}^{m-1}{\exp }_{\mathsf{F}}(\phi x)+{\psi }^m{x}^m{\exp }_{\mathsf{F}}(x).$

作用素の連続極限表示

$T_{\phi }=e^{(\log \phi )x{\partial }_x},T_{\psi }=e^{(\log \psi )x{\partial }_x},D_{\mathsf{F}}=\frac{e^{(\log \phi )x{\partial }_x}-e^{(\log \psi )x{\partial }_x}}{\sqrt{5}x}.$

5.2 フルーリオ的ガンマ関数

${\Gamma }_{\mathsf{F}}(n)=(n-1){!}_F,{\Gamma }_{\mathsf{F}}(n+1)=F_n{\Gamma }_{\mathsf{F}}(n).$

第6章：線形漸化式への応用

6.1 $(a,b)$-フィボナッチ

$G_0=0,G_1=1,G_{n+2}=a{G}_{n+1}+b{G}_n,G_n=\frac{{\alpha }^n-{\beta }^n}{\alpha -\beta },$

ただし $\alpha ,\beta$ は $x^2-ax-b=0$ の根。

6.2 生成関数とフルーリオ微分

$G(x)={\sum }_{n\ge 0}{G}_n{x}^n$ に対し

$D_{\mathsf{F}}G(x)=\frac{G(\phi x)-G(\psi x)}{\sqrt{5}x}.$

フィボナッチ生成関数 $F(x)={\sum }_{n\ge 0}{F}_n{x}^n=\frac{x}{1-x-x^2}$ では

$D_{\mathsf{F}}F(x)={\sum }_{n\ge 0}{F}_{n+1}^2{x}^n=\frac{1-x}{1-2x-2x^2+x^3}.$

6.3 フルーリオ指数母関数

${\mathcal{E}}_{\mathsf{F}}[\{a_n\}](x)={\sum }_{n=0}^{\infty }\frac{a_n{x}^n}{n{!}_F},D_{\mathsf{F}}{\mathcal{E}}_{\mathsf{F}}[\{a_n\}]={\mathcal{E}}_{\mathsf{F}}[\{a_{n+1}\}].$

第7章：数論的応用

7.1 Pell 型方程式

$N(x+y\phi )=x^2+xy-y^2.$

方程式 $x^2+xy-y^2=\pm 1$ の正整数解は

$+1:(x,y)=(F_{2k-1},F_{2k}),-1:(x,y)=(F_{2k},F_{2k+1})(k\ge 1).$

7.2 連分数

$\phi =1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\cdots }}},\frac{F_{n+1}}{F_n}\to \phi .$

7.3 Lucas 数

$L_n=F_{n-1}+F_{n+1},L_n={\phi }^n+{\psi }^n=\mathrm{Tr}({\phi }^n),F_n=\frac{{\phi }^n-{\psi }^n}{\sqrt{5}}.$

第8章：組合せ論的応用

8.1 ドミノ・タイリング

$2\times n$ を $1\times 2$ で敷き詰める方法数は $F_{n+1}$。

8.2 フィボナッチ二項係数

$\boxed{{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)}_{\mathsf{F}}=\frac{n{!}_F}{k{!}_F(n-k){!}_F}}(0\le k\le n),3{!}_F=F_1{F}_2{F}_3=2.$

乗法的合成公式：

${\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+1}{k}\right)}_{\mathsf{F}}=\frac{F_{n+1}}{F_k}{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k-1}\right)}_{\mathsf{F}}=\frac{F_{n+1}}{F_{n+1-k}}{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)}_{\mathsf{F}},{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)}_{\mathsf{F}}={\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{n-k}\right)}_{\mathsf{F}}.$

8.3 フルーリオ的カタラン数

$\boxed{C_{\mathsf{F}}(n)=\frac{(2n){!}_F}{n{!}_{F}n{!}_F{F}_{n+1}}\in \mathbb{Z}}.$

整数性は Lucas 恒等式と $p$-進付値評価に拠る。

計算例

$\begin{array}{rl}& 1{!}_F=1,2{!}_F=1,3{!}_F=2,4{!}_F=6,6{!}_F=240,8{!}_F=65520,\\ & C_{\mathsf{F}}(1)=1,C_{\mathsf{F}}(2)=\frac{4{!}_F}{2{!}_{F}2{!}_F{F}_3}=3,\\ & C_{\mathsf{F}}(3)=\frac{6{!}_F}{3{!}_{F}3{!}_F{F}_4}=20,C_{\mathsf{F}}(4)=\frac{8{!}_F}{4{!}_{F}4{!}_F{F}_5}=364.\end{array}$

8.4 黄金二項展開

$(x{\oplus }_{\mathsf{F}}y{)}^{n+1}={\sum }_{k=0}^{n+1}\frac{F_{n+1}}{F_k}{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k-1}\right)}_{\mathsf{F}}{x}^k{y}^{n+1-k},$

境界は ${\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{-1}\right)}_{\mathsf{F}}={\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{n+1}\right)}_{\mathsf{F}}=0$。

第9章：計算アルゴリズム

9.1 高速フィボナッチ（行列累乗）

$\left[\begin{array}{c}{F}_{n+1}\\ F_n\end{array}\right]={\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 0\end{array}\right]}^n\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right],O(\log n).$

9.2 二点 Jackson 公式

$D_{\mathsf{F}}f(x)=\frac{f(\phi x)-f(\psi x)}{\sqrt{5}x}.$

9.3 打切り誤差

$|R_n(x)|=O\left(\frac{|x{|}^{n+1}}{(n+1){!}_F}\right)(n\to \infty ).$

$|x|<1/\phi$ では幾何級数評価が可能。

第10章：物理現象への展望

10.1 物理学への示唆

準結晶・Penrose タイリング・準周期系などでのフルーリオ秩序の数理記述。

10.2 フルーリオ定数の意義

$\mathfrak{f}={\exp }_{\mathsf{F}}(1),{\exp }_{\mathsf{F}}(x{\oplus }_{\mathsf{F}}y)={\exp }_{\mathsf{F}}(x){\exp }_{\mathsf{F}}(y)\text{（形式的冪級数として）}.$

10.3 三つの普遍定数

$e\approx 2.71828,\phi \approx 1.61803,\mathfrak{f}\approx \mathrm{3.70450.}$

$\mathfrak{f}>e$ の主因は係数列の減衰ではなく初期項の寄与である。実際，

$e=1+1+{\sum }_{n\ge 2}\frac{1}{n!}\le 1+1+{\sum }_{n\ge 2}\frac{1}{2^{n-1}}=3,$

一方

$\mathfrak{f}\ge 1+\frac{1}{1{!}_F}+\frac{1}{2{!}_F}+\frac{1}{3{!}_F}=1+1+1+\frac{1}{2}=3.5,$

より $\mathfrak{f}>3.5>3\ge e$。さらに漸近的には $n{!}_F\gg n!$ で $\frac{1}{n{!}_F}$ は $\frac{1}{n!}$ より速く減衰する。

結論

フルーリオ微分

$D_{\mathsf{F}}f(x)=\frac{f(\phi x)-f(\psi x)}{\sqrt{5}x}$

を軸に，${\exp }_{\mathsf{F}}$，$\mathfrak{f}$，Fibonomial，${\Gamma }_{\mathsf{F}}$ を体系化し，線形漸化式・Pell 型・組合せ論へ統一的応用を与えた。

参考文献

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付録A：基本公式集

フィボナッチ

$F_n=\frac{{\phi }^n-{\psi }^n}{\sqrt{5}},F_{n-1}{F}_{n+1}-F_n^2=(-1{)}^n,F_{m+n}=F_m{F}_{n+1}+F_{m-1}{F}_n,\gcd (F_m,F_n)=F_{\gcd (m,n)}.$

黄金二次体

$\mathrm{Tr}(a+b\phi )=2a+b,N(a+b\phi )=a^2+ab-b^2,(a+b\phi {)}^{-1}=\frac{a+b-b\phi }{a^2+ab-b^2}.$

冪展開（係数漸化）

$\left[\begin{array}{c}{A}_{n+1}\\ B_{n+1}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}a& b\\ b& a+b\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{A}_n\\ B_n\end{array}\right],(A_1,B_1)=(a,b),(a+b\phi {)}^n=A_n+B_n\phi .$

フルーリオ微分の要約

$D_{\mathsf{F}}[x^n]=F_n{x}^{n-1},D_{\mathsf{F}}[{\exp }_{\mathsf{F}}]={\exp }_{\mathsf{F}},D_{\mathsf{F}}[x^n{\exp }_{\mathsf{F}}(x)]=F_n{x}^{n-1}{\exp }_{\mathsf{F}}(\phi x)+{\psi }^n{x}^n{\exp }_{\mathsf{F}}(x).$

フルーリオ定数関連

$\mathfrak{f}={\exp }_{\mathsf{F}}(1)\approx 3.7045029,{\exp }_{\mathsf{F}}(\phi )={\sum }_{n\ge 0}\frac{{\phi }^n}{n{!}_F}\approx 8.9509505,{\exp }_{\mathsf{F}}(\sqrt{5})={\sum }_{n\ge 0}\frac{(\sqrt{5}{)}^n}{n{!}_F}\approx \mathrm{20.4769065.}$

（近似は $N=200$ 項打切り。誤差は §9.3 に従い $O(|x{|}^{201}/(201){!}_F)$。）

付録B：分解代数における冪等元（補遺）

${\mathbb{K}}_{\mathbb{R}}\cong \mathbb{R}\times \mathbb{R},e_{\phi }=(1,0),e_{\psi }=(0,1),e_{\phi }^2=e_{\phi },e_{\psi }^2=e_{\psi },e_{\phi }{e}_{\psi }=0,e_{\phi }+e_{\psi }=1.$